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1. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东$37°$方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，则B处与灯塔P的距离可以表示为 （
A.50海里
B.$50\sin 37°$海里
C.$50\cos 37°$海里
D.$50\tan 37°$海里
B
）A.50海里
B.$50\sin 37°$海里
C.$50\cos 37°$海里
D.$50\tan 37°$海里
答案
1.B
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$\tan A=2$，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E。点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD为（
A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.2.5 cm
A
）A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.2.5 cm
答案
2.A 【点拨】
∵点 B,C,D,E 处的读数分别为 15,12,0,1,
∴BC=3 cm,DE=1 cm.
∵tan A=2,易知∠ADE=∠ABC=90°,
∴DE=2AD,BC=2AB,即 AD=$\frac{1}{2}$DE, AB=$\frac{1}{2}$BC.
∵BD=AB-AD,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}(BC-DE)=\frac{1}{2}×(3-1)=1$(cm).
∵点 B,C,D,E 处的读数分别为 15,12,0,1,
∴BC=3 cm,DE=1 cm.
∵tan A=2,易知∠ADE=∠ABC=90°,
∴DE=2AD,BC=2AB,即 AD=$\frac{1}{2}$DE, AB=$\frac{1}{2}$BC.
∵BD=AB-AD,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}(BC-DE)=\frac{1}{2}×(3-1)=1$(cm).
3. 如图,考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为$60°$,斜坡AD的长为5米,坡度$i=3:4$,点B为古塔底座中心,BD长为6米,则古塔BC的高度为 (
A.$9\sqrt{3}$米
B.$10\sqrt{3}$米
C.$(3+10\sqrt{3})$米
D.$(4+9\sqrt{3})$米
C
)A.$9\sqrt{3}$米
B.$10\sqrt{3}$米
C.$(3+10\sqrt{3})$米
D.$(4+9\sqrt{3})$米
答案
3.C 【点拨】作 $AE⊥BC$ 于点 E,作 $AF⊥BD$,交 BD 的延长线于点 F,易得四边形 AEBF 是矩形,
∴$AE=FB$, $AF=BE$.
∵斜坡 AD 的坡度 $i=3:4$,
∴设 $AF=3x$ 米, 则 $DF=4x$ 米.
∴$AD=5x$ 米. 又
∵$AD=5$ 米,
∴$x=1$.
∴$AF=3$ 米,$DF=4$ 米.
∵BD 长为 6 米,
∴$AE=FB= DF+BD=4+6=10$(米).
∵$∠CAE=60°$,
∴$CE=AE× \tan∠CAE=10\sqrt{3}$米.
∴$BC=BE+CE=AF+CE=(3+ 10\sqrt{3})$米,即古塔 BC 的高度为$(3+10\sqrt{3})$米.
∴$AE=FB$, $AF=BE$.
∵斜坡 AD 的坡度 $i=3:4$,
∴设 $AF=3x$ 米, 则 $DF=4x$ 米.
∴$AD=5x$ 米. 又
∵$AD=5$ 米,
∴$x=1$.
∴$AF=3$ 米,$DF=4$ 米.
∵BD 长为 6 米,
∴$AE=FB= DF+BD=4+6=10$(米).
∵$∠CAE=60°$,
∴$CE=AE× \tan∠CAE=10\sqrt{3}$米.
∴$BC=BE+CE=AF+CE=(3+ 10\sqrt{3})$米,即古塔 BC 的高度为$(3+10\sqrt{3})$米.
4. 如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（
A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C
）A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
4.C 【点拨】连结 AC,如图
.∵菱形 ABCD 中,AC 与 BD 互相垂直平分,且点 O 是 BD 的中点,
∴A,O,C 三点在同一直线上,
∴$OA=OC$.
∵$OM=2$,$AM⊥BC$,
∴$OA= OC=OM=2$,
∴$AC=4$.
∵$BD=8$,
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD= 4$,
∴$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,$\tan∠OBC= \frac{OC}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
∵$∠ACM+∠MAC=90°$,$∠ACM+ ∠OBC=90°$,
∴$∠MAC=∠OBC$,
∴$\sin∠MAC=\sin∠OBC=\frac{OC}{BC}=\frac{2}{2\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴$MC=AC·\sin∠MAC=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
∴$BM=BC-MC=2\sqrt{5}-\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
∴$MN=BM·\tan∠OBC=\frac{6\sqrt{5}}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
5. [宁波期末]在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改变成矩形，如图①②所示，由两对全等的直角三角形（$△ AHD ≌ △ CFB$，$△ ABE ≌ △ CDG$）和矩形$EFGH$拼成大矩形$ABCD$。连结$CH$，设$∠ CHG = α$，$∠ CDG = β$。若$BC=2AB$，$\tan β = \tan^2 α$，则矩形$EFGH$与矩形$ABCD$的面积比为（
A.$\dfrac{13}{34}$
B.$\dfrac{7}{17}$
C.$\dfrac{15}{34}$
D.$\dfrac{8}{17}$
B
）A.$\dfrac{13}{34}$
B.$\dfrac{7}{17}$
C.$\dfrac{15}{34}$
D.$\dfrac{8}{17}$
答案
5.B 【点拨】
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴$∠ADC=90°$, $AB=CD$,$AD=BC$.
∵$BC=2AB$,
∴$AD=2CD$. 设 $CG= x$,$HG=y$. 由题意知 $AE=CG=x$,$∠AHD=∠DGC= 90°$.
∴$∠DAH+∠ADH = ∠ADH + ∠CDG = 90°$.
∴$∠CDG=∠DAH$.
∴$△ADH ∽ △DCG$.
∴$\frac{DH}{CG}= \frac{AH}{DG}=\frac{AD}{CD}=2$.
∴$DH=2x$.
∴$DG=2x+y$.
∴$AH=4x+ 2y$.
∴$EH=3x+2y$.
∵$∠CHG=α$,$∠CDG=β$,$\tan β= \tan^2 α$,
∴$\frac{x}{2x+y}=\frac{x^2}{y^2}$,即 $2x^2+xy=y^2$,
∴$y^2-xy-2x^2=0$.
∴$(y-2x)(y+x)=0$. 又
∵$y+x≠0$,
∴$y=2x$.
∴$HG= 2x$,$DG=4x$,$EH=3x+2y=7x$.
∴$DC=\sqrt{17}x$,
∴$AD= 2\sqrt{17}x$.
∴$\frac{S_{矩形EFGH}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{7x×2x}{\sqrt{17}x×2\sqrt{17}x}=\frac{7}{17}$.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴$∠ADC=90°$, $AB=CD$,$AD=BC$.
∵$BC=2AB$,
∴$AD=2CD$. 设 $CG= x$,$HG=y$. 由题意知 $AE=CG=x$,$∠AHD=∠DGC= 90°$.
∴$∠DAH+∠ADH = ∠ADH + ∠CDG = 90°$.
∴$∠CDG=∠DAH$.
∴$△ADH ∽ △DCG$.
∴$\frac{DH}{CG}= \frac{AH}{DG}=\frac{AD}{CD}=2$.
∴$DH=2x$.
∴$DG=2x+y$.
∴$AH=4x+ 2y$.
∴$EH=3x+2y$.
∵$∠CHG=α$,$∠CDG=β$,$\tan β= \tan^2 α$,
∴$\frac{x}{2x+y}=\frac{x^2}{y^2}$,即 $2x^2+xy=y^2$,
∴$y^2-xy-2x^2=0$.
∴$(y-2x)(y+x)=0$. 又
∵$y+x≠0$,
∴$y=2x$.
∴$HG= 2x$,$DG=4x$,$EH=3x+2y=7x$.
∴$DC=\sqrt{17}x$,
∴$AD= 2\sqrt{17}x$.
∴$\frac{S_{矩形EFGH}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{7x×2x}{\sqrt{17}x×2\sqrt{17}x}=\frac{7}{17}$.
6. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面 30 m 的点 P 处，测得教学楼底端点 A 的俯角为 $37°$，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 26.6 m 至点 Q 处，测得教学楼顶端点 B 的俯角为 $45°$，已知 A，B，P，Q 在同一平面内，则教学楼 AB 的高度约为
17
m.（精确到 1 m，参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$）答案
6. 17 【点拨】如图
,设 AB 的延长线与 PQ 的延长线交于点 C,由题意,知 $AC=30$ m,$PQ=26.6$ m,$∠APC=37°$, $∠BQC=45°$,在 $Rt△APC$ 中,$PC=\frac{AC}{\tan 37°}≈\frac{30}{0.75}=40(m)$,∴$QC=PC-PQ≈40-26.6=13.4(m)$. 在 $Rt△BQC$ 中,$BC= QC≈13.4$ m,
∴$AB=AC-BC≈ 30-13.4≈17(m)$.
7.如图,大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4:3,背水坡BC的坡比为1:2,大坝高DE=40 m,坝顶宽CD=15 m,则大坝横截面的面积为
2800
m².答案
7. 2800 【点拨】
∵迎水坡 AD 的坡比为 $4:3$,$DE= 40$ m,
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{4}{3}$,即 $\frac{40}{AE}=\frac{4}{3}$.
∴$AE=30$ m.
∵背水坡 BC 的坡比为 $1:2$,$CF=DE=40$ m,
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,即 $\frac{40}{BF}=\frac{1}{2}$.
∴$BF=80$ m.
∴大坝横截面的面积为 $\frac{1}{2} × (15+30+15+80)×40=2800(m^2)$.
∵迎水坡 AD 的坡比为 $4:3$,$DE= 40$ m,
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{4}{3}$,即 $\frac{40}{AE}=\frac{4}{3}$.
∴$AE=30$ m.
∵背水坡 BC 的坡比为 $1:2$,$CF=DE=40$ m,
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$,即 $\frac{40}{BF}=\frac{1}{2}$.
∴$BF=80$ m.
∴大坝横截面的面积为 $\frac{1}{2} × (15+30+15+80)×40=2800(m^2)$.
8. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$\tan A=\frac{3}{4}$,$BC=6$,$E$ 是 $AC$ 边上的定点,且 $AE:CE=1:3$,$D,F$ 分别是 $AC,AB$ 边上的动点,且满足 $BD⊥ CF$,垂足为 $G$.
(1)$CE$ 的长为
(2)$GE$ 的最小值为
(1)$CE$ 的长为
6
;(2)$GE$ 的最小值为
3√5 - 3
.答案
8.(1)6 (2)$3\sqrt{5}-3$ 【点拨】(1)
∵在 $Rt△ABC$ 中, $\tan A=\frac{3}{4}=\frac{BC}{AC}$,$BC=6$,
∴$AC=8$. 又
∵$AE:CE=1:3$,
∴$CE=6$.(2)取 BC 的中点 M,连结 EM,GM,
∵$BD⊥ CF$,
∴$∠BGC=90°$.
∴$GM=CM=\frac{1}{2}BC=3$. 在 $Rt△ECM$ 中,$EM=\sqrt{CE^2+CM^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$. 易知 $GE≥ EM-GM=3\sqrt{5}-3$.
∴当 G,E,M 三点共线时,GE 的值最小,为 $3\sqrt{5}-3$.
∵在 $Rt△ABC$ 中, $\tan A=\frac{3}{4}=\frac{BC}{AC}$,$BC=6$,
∴$AC=8$. 又
∵$AE:CE=1:3$,
∴$CE=6$.(2)取 BC 的中点 M,连结 EM,GM,
∵$BD⊥ CF$,
∴$∠BGC=90°$.
∴$GM=CM=\frac{1}{2}BC=3$. 在 $Rt△ECM$ 中,$EM=\sqrt{CE^2+CM^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$. 易知 $GE≥ EM-GM=3\sqrt{5}-3$.
∴当 G,E,M 三点共线时,GE 的值最小,为 $3\sqrt{5}-3$.
