9. 如图,在四边形ABCD中,AD=AB=BC,∠ACD=30°,cos∠BAC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$, CD=2,则AC=.

9.$4\sqrt{3}$ 【点拨】过点 D,B 分别作 $DE⊥AC$,$BH⊥AC$,垂足分别为 E,H,设 $AC=x$.
∵在 $Rt△CDE$ 中,$CD=2$, $∠ACD=30°$,
∴$DE=\frac{1}{2}CD=1$,$CE=CD·\cos 30°=\sqrt{3}$.
∴$AE=x-\sqrt{3}$. 在 $Rt△AED$ 中,由勾股定理,得 $AD^2= AE^2+DE^2=(x-\sqrt{3})^2+1$.
∵$AB=BC$,$BH⊥AC$,
∴$AH= \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}x$.
∵$\cos∠BAC=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{21}}{7}$,$AB=AD$,
∴$(\frac{AH}{AD})^2=\frac{3}{7}$,即$\frac{(\frac{1}{2}x)^2}{(x-\sqrt{3})^2+1}=\frac{3}{7}$,整理得 $5x^2-24\sqrt{3}x+ 48=0$,解得 $x_1=4\sqrt{3}$,$x_2=\frac{4}{5}\sqrt{3}$. 当 $AC=\frac{4}{5}\sqrt{3}$ 时,$AC＜ CD$,与图形不符,舍去.
∴$AC=4\sqrt{3}$.

三、解答题(共46分)
10.(12分)新视角条件开放题已知$△ ABC$为钝角三角形，其中$∠ A＞90°$,有下列条件:
①$AB=10$;②$AC=6\sqrt{5}$;③$\tan B=\frac{3}{4}$;④$\tan C=\frac{1}{2}$.
(1)你认为从中至少选择个条件,可以求出BC边的长;
(2)你选择的条件是(填序号),请写出求BC边的长的解答过程.

10.【解】(1)3
(2)(答案不唯一)①②④
如图,过点 A 作 $AD⊥BC$ 于点 D, 设 $AD=x$,
∵$\tan C=\frac{1}{2}$,
∴$CD=2x$.
∵$AC=6\sqrt{5}$,
∴在 $Rt△ACD$ 中,根据勾股定理,得 $x^2+(2x)^2=(6\sqrt{5})^2$, 解得 $x=6$ 或 $x=-6$(不合题意,舍去).
∴$AD=6$,$CD=12$.
∵$AB=10$,
∴根据勾股定理,得 $BD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
∴$BC=CD+BD=12+8=20$.

11.(16分)新考向传统文化“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图①)，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图②的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是$30°$，他与彩亭中轴的距离$BC=6$米，乙同学借助无人机技术在观测点E处进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角$∠ AEF=45°$，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴$AB=6.3$米，甲同学的眼睛到地面的距离$MC=1.5$米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{3}≈1.73$，$\sqrt{2}≈1.41$)

11.【解】过点 M 作 $MN⊥AB$,垂足为 N.
则易知四边形 CMNB 是矩形.
∴$CM=BN=1.5$米,$MN=CB=6$米.
∴$AN=AB-BN=6.3-1.5=4.8$(米).
在 $Rt△DMN$ 中,
∵$\tan∠DMN=\frac{DN}{MN}$,
∴$DN=\tan∠DMN·MN=\tan 30°×MN=\frac{\sqrt{3}}{3}×6=2\sqrt{3}$(米).
在 $Rt△AEF$ 中,
∵$\sin∠AEF=\frac{AF}{EF}$,
∴$AF=\sin∠AEF·EF=\sin 45°×EF=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$(米).
∵$AF+DN=AN+DF$,
∴$DF=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-4.8≈2×1.73+2×1.41-4.8≈1.5$(米).
∴中轴上 DF 的长度约为 1.5 米.

12.(18分) 如图,在锐角三角形ABC中,AD是高,$\tan∠ABC=3$,E是AB的中点.
(1)求∠BED的正切值；
(2)点F在线段ED的延长线上,且$CF⊥ED$,连结BF,如果$BF=CF$,求$\frac{BC}{AC}$的值.

12.【解】(1)如图,过点 D 作 $DH⊥AB$ 于点 H,
在 $Rt△BDH$ 中,$\tan∠ABC=\frac{DH}{BH}=3$. 设 $BH=a$,则 $DH=3a$,
∴$BD=\sqrt{BH^2+DH^2}=\sqrt{10}a$. 在 $Rt△ABD$ 中,$\tan∠ABC=\frac{AD}{BD}=3$,
∴$AD=3BD=3\sqrt{10}a$.
∴$AB= \sqrt{BD^2+AD^2}=10a$. 又
∵E 是 AB 的中点,
∴$AE=BE= 5a$.
∴$EH=BE-BH=4a$.
∴$\tan∠BED=\frac{DH}{EH}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$.
(2)如图,
∵$CF⊥ED$,$BF=CF$,
∴$∠2+∠3=90°$,$∠1=∠2$.
∴$∠1+∠3=90°$. 由(1)可知 $BE=5a$,$BD=\sqrt{10}a$,$AD=3\sqrt{10}a$,
∵E 是 $Rt△ABD$ 斜边 AB 的中点,
∴$DE=\frac{1}{2}AB= BE=5a$.
∴$∠ABC=∠BDE=∠3$.
∴$∠1+∠ABC=90°$,即$∠EBF=90°$.
在 $Rt△EBF$ 中,$\tan∠BED=\frac{BF}{BE}=\frac{3}{4}$,
∴$BF=\frac{3}{4}BE=\frac{3}{4}×5a=\frac{15a}{4}$.
∴$CF=BF=\frac{15a}{4}$.
∵$∠ABC=∠3$,
∴$\tan∠ABC=\tan∠3=3$.
在 $Rt△CDF$ 中,$\tan∠3=\frac{CF}{DF}=3$,
∴$DF=\frac{CF}{3}=\frac{5a}{4}$.
∴$CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{(\frac{15a}{4})^2+(\frac{5a}{4})^2}=\frac{5\sqrt{10}a}{4}$.
∴$BC=BD+CD=\sqrt{10}a+\frac{5\sqrt{10}a}{4}=\frac{9\sqrt{10}a}{4}$.
在 $Rt△ACD$ 中,
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(3\sqrt{10}a)^2+(\frac{5\sqrt{10}a}{4})^2}=\frac{13\sqrt{10}a}{4}$,
∴$BC:AC=\frac{9\sqrt{10}a}{4}:\frac{13\sqrt{10}a}{4}=9:13$,
即 $\frac{BC}{AC}$ 的值为 $\frac{9}{13}$.