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1. 如图，在$□ ABCD$中，点E在AD边上，$EF // CD$，交对角线BD于点F，则下列结论中，错误的是（
A.$\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{DF}{BF}$
B.$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{DF}{DB}$
C.$\dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{BF}$
D.$\dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{DB}$
第1题图
C
）A.$\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{DF}{BF}$
B.$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{DF}{DB}$
C.$\dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{BF}$
D.$\dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{DB}$
第1题图答案
1.C
解析
【分析】
本题是平行四边形背景下判断比例线段正误的题目，解题思路如下：1. 首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知$EF// CD$，推出$EF// AB// CD$；2. 再根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，逐一验证每个选项的比例式是否成立，最终选出错误的选项即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$。
又$\because EF// CD$，
$\therefore EF// AB// CD$。
选项A：$\because EF// AB$，根据平行线分线段成比例，可得$\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{DF}{BF}$，结论正确，不符合题意；
选项B：$\because EF// AB$，$\therefore △ DEF∽△ DAB$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{DF}{DB}$，结论正确，不符合题意；
选项C：由$AB=CD$，结合选项B的结论可得$\dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{DB}≠\dfrac{DF}{BF}$，结论错误，符合题意；
选项D：$\because AB=CD$，$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{DF}{DB}$，$\therefore \dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{DB}$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是结合平行四边形的性质得到平行关系，再借助平行线分线段成比例或相似三角形的性质推导比例式，要注意相似三角形对应边的对应关系，避免比例式前后项匹配错误。
【难度系数】
0.7
本题是平行四边形背景下判断比例线段正误的题目，解题思路如下：1. 首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知$EF// CD$，推出$EF// AB// CD$；2. 再根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，逐一验证每个选项的比例式是否成立，最终选出错误的选项即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$。
又$\because EF// CD$，
$\therefore EF// AB// CD$。
选项A：$\because EF// AB$，根据平行线分线段成比例，可得$\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{DF}{BF}$，结论正确，不符合题意；
选项B：$\because EF// AB$，$\therefore △ DEF∽△ DAB$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{DF}{DB}$，结论正确，不符合题意；
选项C：由$AB=CD$，结合选项B的结论可得$\dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{DB}≠\dfrac{DF}{BF}$，结论错误，符合题意；
选项D：$\because AB=CD$，$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{DF}{DB}$，$\therefore \dfrac{EF}{CD}=\dfrac{DF}{DB}$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是结合平行四边形的性质得到平行关系，再借助平行线分线段成比例或相似三角形的性质推导比例式，要注意相似三角形对应边的对应关系，避免比例式前后项匹配错误。
【难度系数】
0.7
2.如图，在$△ ABC$中，D、E为边AB上的三等分点，点F、G在边BC上，$AC// DG// EF$，H为AF与DG的交点.若$EF=4$，则HG的长为 （
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
2.A
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，结合E是AB三等分点、EF//AC的条件，判定△BEF与△BAC相似，通过相似比求出AC的长度；第二步，结合D是AB三等分点、DG//AC的条件，判定△BDG与△BAC相似，求出DG的长度；第三步，利用D是AE中点、DG//EF的条件，得DH是△AEF的中位线，求出DH长度，最终用DG减去DH即可得到HG的长。
【解析】
解：
∵D、E为AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，即$BE:BA=1:3$，$BD:BA=2:3$，且D为AE中点。
① 由$EF// AC$，可得$△ BEF ∽ △ BAC$，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，
将$EF=4$代入，得$\frac{4}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=12$。
② 由$DG// AC$，可得$△ BDG ∽ △ BAC$，
∴$\frac{DG}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$，
将$AC=12$代入，得$DG=\frac{2}{3} × 12=8$。
③ 由$DG// EF$，D为AE中点，H是AF与DG的交点，
可知DH是△AEF的中位线，
∴$DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2} × 4=2$。
因此$HG=DG-DH=8-2=6$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形与中位线的综合应用题，解题核心是利用三等分点得到线段比例关系，结合平行线的性质判定相似三角形或中位线，逐步推导所求线段长度，熟悉相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题可按三步推导：第一步，结合E是AB三等分点、EF//AC的条件，判定△BEF与△BAC相似，通过相似比求出AC的长度；第二步，结合D是AB三等分点、DG//AC的条件，判定△BDG与△BAC相似，求出DG的长度；第三步，利用D是AE中点、DG//EF的条件，得DH是△AEF的中位线，求出DH长度，最终用DG减去DH即可得到HG的长。
【解析】
解：
∵D、E为AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，即$BE:BA=1:3$，$BD:BA=2:3$，且D为AE中点。
① 由$EF// AC$，可得$△ BEF ∽ △ BAC$，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，
将$EF=4$代入，得$\frac{4}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=12$。
② 由$DG// AC$，可得$△ BDG ∽ △ BAC$，
∴$\frac{DG}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$，
将$AC=12$代入，得$DG=\frac{2}{3} × 12=8$。
③ 由$DG// EF$，D为AE中点，H是AF与DG的交点，
可知DH是△AEF的中位线，
∴$DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2} × 4=2$。
因此$HG=DG-DH=8-2=6$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形与中位线的综合应用题，解题核心是利用三等分点得到线段比例关系，结合平行线的性质判定相似三角形或中位线，逐步推导所求线段长度，熟悉相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.6
3.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$E$为$BC$上一点，过点$E$作$ED ⊥ AB$，垂足为$D$，并交$AC$的延长线于点$F$，连接$AE$。如果$AE=6$，$CE=2$，那么$\frac{CF}{BC}$的值为
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
。答案
3.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
要计算$\frac{CF}{BC}$的值，首先可以通过角度关系证明三角形相似，将所求线段比转化为已知线段的比。首先由直角和对顶角相等推出$∠ F=∠ B$，结合两个直角相等可证$△ FCE ∽ △ ACB$，得到$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$的比例关系。再在$Rt△ ACE$中，利用勾股定理求出$AC$的长度，代入比例式即可得到结果。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，$ED⊥ AB$
$\therefore ∠ F + ∠ FEC = 90°$，$∠ B + ∠ BED = 90°$
又$\because ∠ FEC=∠ BED$（对顶角相等）
$\therefore ∠ F=∠ B$
又$\because ∠ FCE=∠ ACB=90°$
$\therefore △ FCE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{CE}{BC}$，变形得$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$
在$Rt△ ACE$中，$∠ ACE=90°$，$AE=6$，$CE=2$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2 - CE^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
将$CE=2$，$AC=4\sqrt{2}$代入得：
$\frac{CF}{BC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何计算题，解题核心是通过角度推导找到相似三角形，将未知线段比转化为可计算的线段比，再结合勾股定理求解，对学生的图形观察能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算$\frac{CF}{BC}$的值，首先可以通过角度关系证明三角形相似，将所求线段比转化为已知线段的比。首先由直角和对顶角相等推出$∠ F=∠ B$，结合两个直角相等可证$△ FCE ∽ △ ACB$，得到$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$的比例关系。再在$Rt△ ACE$中，利用勾股定理求出$AC$的长度，代入比例式即可得到结果。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，$ED⊥ AB$
$\therefore ∠ F + ∠ FEC = 90°$，$∠ B + ∠ BED = 90°$
又$\because ∠ FEC=∠ BED$（对顶角相等）
$\therefore ∠ F=∠ B$
又$\because ∠ FCE=∠ ACB=90°$
$\therefore △ FCE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{CE}{BC}$，变形得$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$
在$Rt△ ACE$中，$∠ ACE=90°$，$AE=6$，$CE=2$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2 - CE^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
将$CE=2$，$AC=4\sqrt{2}$代入得：
$\frac{CF}{BC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何计算题，解题核心是通过角度推导找到相似三角形，将未知线段比转化为可计算的线段比，再结合勾股定理求解，对学生的图形观察能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在$△ ABC$中,AD和BG是$△ ABC$的高,连接GD.求证:
(1)$△ ADC ∽ △ BGC$;
(2)$CG · AB=CB · DG$.
(1)$△ ADC ∽ △ BGC$;
(2)$CG · AB=CB · DG$.
答案
4. 证明:(1)$\because$在$△ ABC$中,AD和BG是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ BGC=∠ ADC=90°$.
又$∠ C=∠ C, \therefore △ ADC ∽ △ BGC$.
(2)$\because △ BGC ∽ △ ADC, \therefore \dfrac{CG}{CD}=\dfrac{BC}{AC}$.
又$∠ C=∠ C, \therefore △ GDC ∽ △ BAC$,
$\therefore \dfrac{CG}{CB}=\dfrac{DG}{AB}, \therefore CG · AB=CB · DG$.
$\therefore ∠ BGC=∠ ADC=90°$.
又$∠ C=∠ C, \therefore △ ADC ∽ △ BGC$.
(2)$\because △ BGC ∽ △ ADC, \therefore \dfrac{CG}{CD}=\dfrac{BC}{AC}$.
又$∠ C=∠ C, \therefore △ GDC ∽ △ BAC$,
$\therefore \dfrac{CG}{CB}=\dfrac{DG}{AB}, \therefore CG · AB=CB · DG$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADC∽△BGC，可从相似三角形的判定定理入手：已知AD、BG是△ABC的高，可得到两个三角形的一组对应直角，再结合公共角∠C，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，即可得证。
(2) 要证等积式CG·AB=CB·DG，首先将等积式转化为比例式$\frac{CG}{CB}=\frac{DG}{AB}$，观察比例式的对应边，可知需证明△GDC∽△BAC。首先利用第(1)问的相似结论得到两组边对应成比例，再结合公共角∠C，用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△GDC∽△BAC，最后根据相似三角形的性质得到对应边成比例，交叉相乘即可得到待证等积式。
【解析】
(1) 证明：
∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC=∠ADC=90°，
又
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BGC。
(2) 由(1)知△BGC∽△ADC，
∴$\dfrac{CG}{CD}=\dfrac{BC}{AC}$，
又
∵∠C=∠C，
∴△GDC∽△BAC，
∴$\dfrac{CG}{CB}=\dfrac{DG}{AB}$，
交叉相乘得CG · AB=CB · DG。
【答案】
(1) $\because$在$△ ABC$中,AD和BG是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ BGC=∠ ADC=90°$，
又$∠ C=∠ C, \therefore △ ADC ∽ △ BGC$；
(2) $\because △ BGC ∽ △ ADC, \therefore \dfrac{CG}{CD}=\dfrac{BC}{AC}$，
又$∠ C=∠ C, \therefore △ GDC ∽ △ BAC$，
$\therefore \dfrac{CG}{CB}=\dfrac{DG}{AB}, \therefore CG · AB=CB · DG$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题型，解题的核心是灵活运用公共角，先通过两角相等证明第一组相似，再借助已得的边的比例关系证明第二组相似，进而完成等积式的推导，能有效训练相似相关的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ADC∽△BGC，可从相似三角形的判定定理入手：已知AD、BG是△ABC的高，可得到两个三角形的一组对应直角，再结合公共角∠C，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，即可得证。
(2) 要证等积式CG·AB=CB·DG，首先将等积式转化为比例式$\frac{CG}{CB}=\frac{DG}{AB}$，观察比例式的对应边，可知需证明△GDC∽△BAC。首先利用第(1)问的相似结论得到两组边对应成比例，再结合公共角∠C，用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△GDC∽△BAC，最后根据相似三角形的性质得到对应边成比例，交叉相乘即可得到待证等积式。
【解析】
(1) 证明：
∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC=∠ADC=90°，
又
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BGC。
(2) 由(1)知△BGC∽△ADC，
∴$\dfrac{CG}{CD}=\dfrac{BC}{AC}$，
又
∵∠C=∠C，
∴△GDC∽△BAC，
∴$\dfrac{CG}{CB}=\dfrac{DG}{AB}$，
交叉相乘得CG · AB=CB · DG。
【答案】
(1) $\because$在$△ ABC$中,AD和BG是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ BGC=∠ ADC=90°$，
又$∠ C=∠ C, \therefore △ ADC ∽ △ BGC$；
(2) $\because △ BGC ∽ △ ADC, \therefore \dfrac{CG}{CD}=\dfrac{BC}{AC}$，
又$∠ C=∠ C, \therefore △ GDC ∽ △ BAC$，
$\therefore \dfrac{CG}{CB}=\dfrac{DG}{AB}, \therefore CG · AB=CB · DG$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题型，解题的核心是灵活运用公共角，先通过两角相等证明第一组相似，再借助已得的边的比例关系证明第二组相似，进而完成等积式的推导，能有效训练相似相关的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
5 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G。若DE:CE=3:1，则AF:FG的值为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{9}{16}$
D.$\frac{9}{25}$
A
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{9}{16}$
D.$\frac{9}{25}$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，找到第一组相似三角形△ADE和△GCE，结合已知的DE:CE的比例，求出AD与CG的比值；再结合平行四边形对边相等的性质，推导得到AD与BG的比值；最后找到第二组相似三角形△AFD和△GFB，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出AF:FG的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴AD//CG，
∴△ADE∽△GCE，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}=\frac{3}{1}$，即$CG=\frac{1}{3}AD$，
∴$BG=BC+CG=AD+\frac{1}{3}AD=\frac{4}{3}AD$，
又
∵AD//BG，
∴△AFD∽△GFB，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AD}{BG}=\frac{AD}{\frac{4}{3}AD}=\frac{3}{4}$，即$AF:FG=\frac{3}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的基础综合题，解题核心是通过平行线找到两组相似三角形，借助比例的传递性推导所求线段比，解题时注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，找到第一组相似三角形△ADE和△GCE，结合已知的DE:CE的比例，求出AD与CG的比值；再结合平行四边形对边相等的性质，推导得到AD与BG的比值；最后找到第二组相似三角形△AFD和△GFB，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出AF:FG的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴AD//CG，
∴△ADE∽△GCE，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}=\frac{3}{1}$，即$CG=\frac{1}{3}AD$，
∴$BG=BC+CG=AD+\frac{1}{3}AD=\frac{4}{3}AD$，
又
∵AD//BG，
∴△AFD∽△GFB，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AD}{BG}=\frac{AD}{\frac{4}{3}AD}=\frac{3}{4}$，即$AF:FG=\frac{3}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的基础综合题，解题核心是通过平行线找到两组相似三角形，借助比例的传递性推导所求线段比，解题时注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
