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四、综合应用题(共22分)
17.(10分)建筑工地需要$400\ \mathrm{m}^3$的沙石，为了估测沙石的密度，用一只空桶平装满一桶沙石，测得桶中的沙石的质量为52 kg，再用这只桶装满一桶水，测得桶中水的质量为20 kg。($\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)求：
(1)桶的容积。
(2)沙石的密度。
(3)若用一辆载重4 000 kg的卡车将沙石运送到工地，至少要运多少车？
17.(10分)建筑工地需要$400\ \mathrm{m}^3$的沙石，为了估测沙石的密度，用一只空桶平装满一桶沙石，测得桶中的沙石的质量为52 kg，再用这只桶装满一桶水，测得桶中水的质量为20 kg。($\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)求：
(1)桶的容积。
(2)沙石的密度。
(3)若用一辆载重4 000 kg的卡车将沙石运送到工地，至少要运多少车？
答案
17.(1)由$\rho =\frac{m}{V}$可得,桶的容积$V=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{20\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$
(2)桶中沙石的体积$V_0=V=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$,沙石的密度$\rho =\frac{m_0}{V_0}=\frac{52\ \mathrm{kg}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3}=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3)由$\rho =\frac{m}{V}$可得,沙石的总质量$m_总=\rho V_总=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×400\ \mathrm{m}^3=1.04×10^6\ \mathrm{kg}$,若用一辆载重4 000 kg的卡车将沙石运送到工地,至少要运的车次$n=\frac{m_总}{m_车}=\frac{1.04×10^6\ \mathrm{kg}}{4\ 000\ \mathrm{kg/车}}=260$ 车
(2)桶中沙石的体积$V_0=V=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$,沙石的密度$\rho =\frac{m_0}{V_0}=\frac{52\ \mathrm{kg}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3}=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3)由$\rho =\frac{m}{V}$可得,沙石的总质量$m_总=\rho V_总=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×400\ \mathrm{m}^3=1.04×10^6\ \mathrm{kg}$,若用一辆载重4 000 kg的卡车将沙石运送到工地,至少要运的车次$n=\frac{m_总}{m_车}=\frac{1.04×10^6\ \mathrm{kg}}{4\ 000\ \mathrm{kg/车}}=260$ 车
解析
【分析】
本题是密度知识在实际中的应用，解题思路如下：①桶的容积固定，装满水时水的体积等于桶的容积，利用密度公式变形可求出桶的容积；②桶中沙石的体积等于桶的容积，结合沙石质量，用密度公式算出沙石密度；③先根据沙石总容积和密度算出总质量，再用总质量除以卡车载重，得到运输车次数（结果取整数）。
【解析】
(1) 桶的容积等于装满水时水的体积，由$\rho =\frac{m}{V}$变形得：
$V=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{20\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$
(2) 桶中沙石的体积$V_0=V=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$，则沙石的密度：
$\rho =\frac{m_0}{V_0}=\frac{52\ \mathrm{kg}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3}=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 沙石的总质量：
$m_总=\rho V_总=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×400\ \mathrm{m}^3=1.04×10^6\ \mathrm{kg}$
需要运输的车次数：
$n=\frac{m_总}{m_车}=\frac{1.04×10^6\ \mathrm{kg}}{4000\ \mathrm{kg/车}}=260$车
【答案】
(1)桶的容积为$2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$；(2)沙石的密度为$2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3)至少要运260车。
【知识点】
密度公式的应用，质量体积密度的计算
【点评】
本题是密度知识在实际工程中的基础应用题，考查密度公式的变形运用，步骤清晰，计算简单，只要掌握密度相关公式即可顺利解答，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
本题是密度知识在实际中的应用，解题思路如下：①桶的容积固定，装满水时水的体积等于桶的容积，利用密度公式变形可求出桶的容积；②桶中沙石的体积等于桶的容积，结合沙石质量，用密度公式算出沙石密度；③先根据沙石总容积和密度算出总质量，再用总质量除以卡车载重，得到运输车次数（结果取整数）。
【解析】
(1) 桶的容积等于装满水时水的体积，由$\rho =\frac{m}{V}$变形得：
$V=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{20\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$
(2) 桶中沙石的体积$V_0=V=2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$，则沙石的密度：
$\rho =\frac{m_0}{V_0}=\frac{52\ \mathrm{kg}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3}=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 沙石的总质量：
$m_总=\rho V_总=2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×400\ \mathrm{m}^3=1.04×10^6\ \mathrm{kg}$
需要运输的车次数：
$n=\frac{m_总}{m_车}=\frac{1.04×10^6\ \mathrm{kg}}{4000\ \mathrm{kg/车}}=260$车
【答案】
(1)桶的容积为$2×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$；(2)沙石的密度为$2.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3)至少要运260车。
【知识点】
密度公式的应用，质量体积密度的计算
【点评】
本题是密度知识在实际工程中的基础应用题，考查密度公式的变形运用，步骤清晰，计算简单，只要掌握密度相关公式即可顺利解答，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
18.(12分)某公司发布了一款名为“风轻扬”的智能单车，在保留经典外型设计的同时，更换车身材料，使得单车整体轻量化。设一辆单车的总质量为27.6 kg，其所使用的钢材的质量为23.7 kg，其中橡胶和钢材各占单车总体积的一半。($\rho_{钢}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)求：
(1)这辆单车所用钢材的体积。
(2)单车所使用橡胶的密度。
(3)若将单车钢材部分更换成密度为$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$的铝合金材料，则单车的质量是多少千克？
(1)这辆单车所用钢材的体积。
(2)单车所使用橡胶的密度。
(3)若将单车钢材部分更换成密度为$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$的铝合金材料，则单车的质量是多少千克？
答案
18.(1)由$\rho =\frac{m}{V}$可得单车所用钢材的体积$V_{钢}=\frac{m_{钢}}{\rho_{钢}}=\frac{23.7\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2)单车所使用橡胶的质量$m_{橡胶}=m_总 - m_{钢}=27.6\ \mathrm{kg}-23.7\ \mathrm{kg}=3.9\ \mathrm{kg}$,由题知,单车所使用橡胶的体积$V_{橡胶}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则橡胶的密度$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.9\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3)若将单车钢材更换成铝合金材料,铝合金材料的体积$V_{合金}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,铝合金的质量$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=8.4\ \mathrm{kg}$,此时单车的质量$m_总'=m_{橡胶}+m_{合金}=3.9\ \mathrm{kg}+8.4\ \mathrm{kg}=12.3\ \mathrm{kg}$
(2)单车所使用橡胶的质量$m_{橡胶}=m_总 - m_{钢}=27.6\ \mathrm{kg}-23.7\ \mathrm{kg}=3.9\ \mathrm{kg}$,由题知,单车所使用橡胶的体积$V_{橡胶}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则橡胶的密度$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.9\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3)若将单车钢材更换成铝合金材料,铝合金材料的体积$V_{合金}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,铝合金的质量$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=8.4\ \mathrm{kg}$,此时单车的质量$m_总'=m_{橡胶}+m_{合金}=3.9\ \mathrm{kg}+8.4\ \mathrm{kg}=12.3\ \mathrm{kg}$
解析
【分析】
本题围绕密度公式的应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知钢材的质量和密度，利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$，代入数据直接计算钢材体积；
2. 第(2)问：先通过总质量减去钢材质量得到橡胶的质量，再根据题意确定橡胶体积等于钢材体积，最后用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算橡胶密度；
3. 第(3)问：更换材料后，铝合金体积与原钢材体积相等，先由密度公式算出铝合金质量，再加上橡胶质量得到更换后的单车总质量。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得钢材体积：
$V_{钢}=\frac{m_{钢}}{\rho_{钢}}=\frac{23.7\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) 橡胶的质量：
$m_{橡胶}=m_{总}-m_{钢}=27.6\ \mathrm{kg}-23.7\ \mathrm{kg}=3.9\ \mathrm{kg}$
由题意知橡胶体积等于钢材体积：$V_{橡胶}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
则橡胶的密度：
$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.9\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 更换为铝合金后，铝合金体积：$V_{合金}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
铝合金的质量：
$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=8.4\ \mathrm{kg}$
更换材料后单车总质量：
$m_{总}'=m_{橡胶}+m_{合金}=3.9\ \mathrm{kg}+8.4\ \mathrm{kg}=12.3\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；(2) $1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $12.3\ \mathrm{kg}$
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算
【点评】
本题考查密度公式的基础应用，核心是明确各物质的质量、体积关系，熟练运用密度公式及其变形计算，属于常规基础题，侧重公式的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.8
本题围绕密度公式的应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知钢材的质量和密度，利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$，代入数据直接计算钢材体积；
2. 第(2)问：先通过总质量减去钢材质量得到橡胶的质量，再根据题意确定橡胶体积等于钢材体积，最后用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算橡胶密度；
3. 第(3)问：更换材料后，铝合金体积与原钢材体积相等，先由密度公式算出铝合金质量，再加上橡胶质量得到更换后的单车总质量。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得钢材体积：
$V_{钢}=\frac{m_{钢}}{\rho_{钢}}=\frac{23.7\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) 橡胶的质量：
$m_{橡胶}=m_{总}-m_{钢}=27.6\ \mathrm{kg}-23.7\ \mathrm{kg}=3.9\ \mathrm{kg}$
由题意知橡胶体积等于钢材体积：$V_{橡胶}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
则橡胶的密度：
$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.9\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 更换为铝合金后，铝合金体积：$V_{合金}=V_{钢}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
铝合金的质量：
$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=8.4\ \mathrm{kg}$
更换材料后单车总质量：
$m_{总}'=m_{橡胶}+m_{合金}=3.9\ \mathrm{kg}+8.4\ \mathrm{kg}=12.3\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；(2) $1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $12.3\ \mathrm{kg}$
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算
【点评】
本题考查密度公式的基础应用，核心是明确各物质的质量、体积关系，熟练运用密度公式及其变形计算，属于常规基础题，侧重公式的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.8
