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5.「2026甘肃酒泉二中月考，★★☆」如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止。设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则AB的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
5.B 如图,连接 BD,
在菱形 ABCD 中,$∠A=60°$,
∴ $△ABD$ 为等边三角形,设 $AB=a$,由题图②可知,$△ABD$ 的面积为 $3\sqrt{3}$,
∴ $△ABD$ 的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=3\sqrt{3}$,
∴ $a=2\sqrt{3}$,即 $AB=2\sqrt{3}$.故选 B.
6.「2025四川德阳中考，★★☆」如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，若BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GH=（
A.4
B.5
C.8
D.10
B
）A.4
B.5
C.8
D.10
答案
6.B 如图,连接 EG,交 HF 于点 O,
∵ E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边的中点,
∴ $EH=\frac{1}{2}BD$,$FG=\frac{1}{2}BD$,$EF=\frac{1}{2}AC$,$GH=\frac{1}{2}AC$,
∵ $BD=AC$,
∴ $EH=FG=EF=GH$,
∴ 四边形 EFGH 是菱形,
∴ $EG⊥HF$,$OH=\frac{1}{2}HF=3$,$OG=\frac{1}{2}EG$,
∴ $∠HOG=90°$,
∵ 四边形 EFGH 的面积为 24,$HF=6$,
∴ $24=\frac{1}{2}×6×EG$,解得 $EG=8$,
∴ $OG=\frac{1}{2}EG=4$,在 $Rt△HOG$ 中,$GH=\sqrt{OH^2+OG^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.故选 B.
7.「2026山东青岛即墨实验中学月考，★★☆」如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O。若AE=5，BF=3，则AO的长为（
A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$
C
）A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$
答案
7.C
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AD// BC$,$∠B=90°$,
∴ $∠EFC=∠AEF$,由折叠得 $∠EFC=∠AFE$,
∴ $∠AFE=∠AEF$,
∴ $AE=AF=5$,由折叠得 $FC=AF$,$OA=OC$,
∴ $BC=3+5=8$,在 $Rt△ABF$ 中,$AB=\sqrt{5^2-3^2}=4$,在 $Rt△ABC$ 中,$AC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$.故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AD// BC$,$∠B=90°$,
∴ $∠EFC=∠AEF$,由折叠得 $∠EFC=∠AFE$,
∴ $∠AFE=∠AEF$,
∴ $AE=AF=5$,由折叠得 $FC=AF$,$OA=OC$,
∴ $BC=3+5=8$,在 $Rt△ABF$ 中,$AB=\sqrt{5^2-3^2}=4$,在 $Rt△ABC$ 中,$AC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$.故选 C.
8.「2026黑龙江大庆肇源期中，★☆」如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数为 (
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$67.5°$
C
)A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$67.5°$
答案
8.C
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $∠BAD=∠ABC=90°$,
∵ AE 平分 $∠BAD$,
∴ $∠BAE=∠DAE=45°$,
∴ $∠AEB=45°$,
∴ $△ABE$ 是等腰直角三角形,
∴ $AB=BE$,
∵ $∠CAE=15°$,
∴ $∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°$,
∴ $∠BAO=90°-30°=60°$,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $OA=OB$,
∴ $△ABO$ 是等边三角形,
∴ $OB=AB$,$∠ABO=60°$,
∴ $OB=BE$,$∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°$,
∴ $∠BOE=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $∠BAD=∠ABC=90°$,
∵ AE 平分 $∠BAD$,
∴ $∠BAE=∠DAE=45°$,
∴ $∠AEB=45°$,
∴ $△ABE$ 是等腰直角三角形,
∴ $AB=BE$,
∵ $∠CAE=15°$,
∴ $∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°$,
∴ $∠BAO=90°-30°=60°$,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $OA=OB$,
∴ $△ABO$ 是等边三角形,
∴ $OB=AB$,$∠ABO=60°$,
∴ $OB=BE$,$∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°$,
∴ $∠BOE=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.故选 C.
9. 聚焦$\frac{中考}{过程性学习}$「2026 山东济南莱芜月考，★★☆」【操作探究】在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.
同学们用一张钝角三角形纸片$ABC$（$∠ BAC$为钝角），进行了如下操作：
第一步:如图1,折出$△ ABC$的角平分线$AD$;
第二步:如图2,展平纸片,再次折叠该三角形纸片,使点$A$与点$D$重合,折痕$EF$分别与$AB,AC$交于点$E,F$;
第三步:如图3,再次展平纸片,连接$DE,DF$,可得四边形$AEDF$的形状为 (
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
同学们用一张钝角三角形纸片$ABC$（$∠ BAC$为钝角），进行了如下操作：
第一步:如图1,折出$△ ABC$的角平分线$AD$;
第二步:如图2,展平纸片,再次折叠该三角形纸片,使点$A$与点$D$重合,折痕$EF$分别与$AB,AC$交于点$E,F$;
第三步:如图3,再次展平纸片,连接$DE,DF$,可得四边形$AEDF$的形状为 (
C
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案
9.C 由折叠易知 AD 是$∠BAC$的平分线,直线 EF 是 AD 的垂直平分线,
∴ $∠EAD=∠FAD$,$AE=DE$,$AF=DF$,
∴ $∠EAD=∠EDA$,$∠FAD=∠FDA$,
∴ $∠EAD=∠FDA$,$∠EDA=∠FAD$,
∴ $AE// DF$,$DE// AF$,
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形.
∵ $AE=DE$,
∴ 平行四边形 AEDF 是菱形.故选 C.
∴ $∠EAD=∠FAD$,$AE=DE$,$AF=DF$,
∴ $∠EAD=∠EDA$,$∠FAD=∠FDA$,
∴ $∠EAD=∠FDA$,$∠EDA=∠FAD$,
∴ $AE// DF$,$DE// AF$,
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形.
∵ $AE=DE$,
∴ 平行四边形 AEDF 是菱形.故选 C.
