登录
10.「★★★」如图,在矩形$ABCD$中,$O$为对角线$BD$的中点,$∠ABD=60°$.动点$E$在线段$OB$上,动点$F$在线段$OD$上,点$E,F$同时从点$O$出发,分别向终点$B,D$运动,且始终保持$OE=OF$.点$E$关于$AD,AB$的对称点为$E_1,E_2$;点$F$关于$BC,CD$的对称点为$F_1,F_2$.在整个过程中,四边形$E_1E_2F_1F_2$形状的变化依次是 (
A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
A
)A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
答案
10.A
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AB// CD$,$∠BAD=∠ABC=90°$,
∴ $∠BDC=∠ABD=60°$,
∴ $∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°$,
∵ $OE=OF$,$OB=OD$,
∴ $DF=EB$.
由对称的性质可知 $DF=DF_2$,$BF=BF_1$,$BE=BE_2$,$DE=DE_1$,
∴ $E_1F_2=E_2F_1$.
易知 $∠F_2DC=∠CDF=60°$,$∠EDA=∠E_1DA=30°$,
∴ $∠E_1DB=60°$,
同理 $∠F_1BD=60°$,
∴ $DE_1// BF_1$,
∴ $E_1F_2// E_2F_1$,
∴ 四边形 $E_1E_2F_1F_2$ 是平行四边形.
如图 1 所示,当 E,F,O 三点重合时,$DO=BO$,
∴ $DE_1=DF_2=AE_1=AE_2$,即 $E_1E_2=E_1F_2$,
∴ 四边形 $E_1E_2F_1F_2$ 是菱形.
如图 2 所示,当 E,F 分别为 OB,OD 的中点时,
设 $DB=4$,则 $DF_2=DF=1$,$DE_1=DE=3$,
在 $Rt△ABD$ 中,$AB=\frac{1}{2}BD=2$,
∴ $AD=2\sqrt{3}$,
连接 AE,AO,
∵ $∠ABO=60°$,$BO=2=AB$,
∴ $△ABO$ 是等边三角形,
∵ E 为 OB 中点,
∴ $AE⊥OB$,
∴ $AE=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
根据对称性可得 $AE_1=AE=\sqrt{3}$,
∵ $AD^2=12$,$DE_1^2=9$,$AE_1^2=3$,
∴ $AD^2=AE_1^2+DE_1^2$,
∴ $△DE_1A$ 是直角三角形,且 $∠E_1=90°$,
∴ 四边形 $E_1E_2F_1F_2$ 是矩形.
如图 3,当 F,E 分别与 D,B 重合时,$△BE_1D$,$△BDF_1$ 都是等边三角形,则四边形 $E_1E_2F_1F_2$ 是菱形.
∴ 在整个过程中,四边形 $E_1E_2F_1F_2$ 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形,故选 A.
11.「2026福建三明沙县期末，★☆」如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，当$AC=$
10
时，四边形ABCD是矩形。答案
11.答案 10
解析 当 $AB=6$,$BC=8$,$AC=10$ 时,$AB^2+BC^2=AC^2$,
∴ $∠ABC=90°$,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形,故答案为 10.
解析 当 $AB=6$,$BC=8$,$AC=10$ 时,$AB^2+BC^2=AC^2$,
∴ $∠ABC=90°$,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形,故答案为 10.
12.「2026山西吕梁石楼月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的中线，且$BC+AD=18$，则BC的长为
12
。答案
12.答案 12
解析
∵ $∠BAC=90°$,AD 是斜边 BC 上的中线,
∴ $AD=\frac{1}{2}BC$,
∵ $BC+AD=18$,
∴ $BC=12$.故答案为 12.
解析
∵ $∠BAC=90°$,AD 是斜边 BC 上的中线,
∴ $AD=\frac{1}{2}BC$,
∵ $BC+AD=18$,
∴ $BC=12$.故答案为 12.
13.「2026河北张家口期末，★★☆」如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为$60°$,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为
8√3
cm.答案
13.答案 $8\sqrt{3}$
解析 如图,过点 A 作 $AE⊥BC$ 于点 E,$AF⊥CD$ 于点 F,则 $AE=AF=3\ \mathrm{cm}$,
由题意可知 $AB// CD$,$AD// BC$,
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∵ $S_{□ ABCD}=BC· AE=CD· AF$,
∴ $BC=CD$,
∴ 四边形 ABCD 为菱形.
在 $Rt△ADF$ 中,$∠ADF=60°$,
∴ $∠DAF=30°$,
∴ $DF=\frac{1}{2}AD$,
在 $Rt△ADF$ 中,$DF^2+AF^2=AD^2$,即 $(\frac{1}{2}AD)^2+3^2=AD^2$,
∴ $AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
∴ 四边形 ABCD 的周长为 $2\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.
故答案为 $8\sqrt{3}$.
