1. 如图,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$.
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.
(2)当$y≤-2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围.

1.解:(1)把$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$.
$\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$,
$\therefore$ 顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2)$-3≤x≤1$ [提示]如图.
$\because$ 点$A(1,-2)$关于对称轴直线$x=-1$的对称点$C(-3,-2)$,
$\therefore$ 当$y≤-2$时,$x$的取值范围是$-3≤x≤1$.

2. 已知二次函数的图象经过点$A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点$D$与点$E$是抛物线上关于对称轴对称的两点,如果点$D$的横坐标为$-2$,试求点$E$的坐标.

2.解:(1)设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
由题意,得$\begin{cases}9a+3b+c=0,\\4a+2b+c=-3,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 这个抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)由(1),得$y=x^2-2x-3$,
$\therefore$ 该抛物线的对称轴是直线$x=1$.
$\because$ 点$D$与点$E$是抛物线上关于对称轴对称的两点,点$D$的横坐标为$-2$,$\therefore$ 点$E$的横坐标是$4$,
$\therefore$ 当$x=4$时,$y=16-8-3=5$,$\therefore E(4,5)$.

3. 如图,已知某二次函数图象的顶点坐标为$A(1,-2)$,且与$y$轴交于点$B(0,-\dfrac{3}{2})$.
(1)求该二次函数的解析式(结果写顶点式).
(2)当$-2≤ x≤ 2$时,求$y$的取值范围.
(3)当$0＜ y＜ 6$时,求$x$的取值范围.

3.解:(1)设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-2$.
把$B(0,-\dfrac{3}{2})$的坐标代入,得$-\dfrac{3}{2}=a(0-1)^2-2$,解得$a=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore$ 该二次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2-2$.
(2)$\because a=\dfrac{1}{2}＞0$,顶点为$A(1,-2)$,
$\therefore$ 开口向上,当$x=1$时,$y$有最小值$-2$.
$\because$ 当$x=-2$时,$y=\dfrac{1}{2}(-2-1)^2-2=\dfrac{5}{2}$,
当$x=2$时,$y=\dfrac{1}{2}(2-1)^2-2=-\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$ 当$-2≤x≤2$时,$y$的取值范围为$-2≤y≤\dfrac{5}{2}$.
(3)当$y=0$时,$\dfrac{1}{2}(x-1)^2-2=0$,解得$x=3$或$x=-1$;
当$y=6$时,$\dfrac{1}{2}(x-1)^2-2=6$,解得$x=5$或$x=-3$.
$\because$ 二次函数的图象开口向上,
$\therefore$ 当$0＜y＜6$时,$x$的取值范围为$-3＜x＜-1$或$3＜x＜5$.

4. 已知一抛物线与 $ x $ 轴的交点是 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $，且经过点 $ C(2,8) $，求该抛物线的表达式.

4.解:设这个抛物线的表达式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$,
$\because$ 抛物线与$x$轴的交点是$A(-2,0)$,$B(1,0)$,
$\therefore y=a(x+2)(x-1)$.
把$C(2,8)$代入,得$8=4a$,解得$a=2$,
$\therefore y=2(x+2)(x-1)=2x^2+2x-4$,
即该抛物线的表达式为$y=2x^2+2x-4$.