18. ★★★ (2024·大庆中考)如图,CD是一座南北走向的大桥,一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶,在A处测得桥头C在南偏东30°方向上,继续行驶1500米后到达B处,测得桥头C在南偏东60°方向上,桥头D在南偏东45°方向上,求大桥CD的长度.(结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{3}≈1.73$)

18. 如图所示,分别过点 C,D 作 l 的垂线,垂足分别为点 F,E,
∴ 四边形 CDEF 是矩形,
∴ $CF=ED$,$CD=EF$,依题意,$∠CBE=60°$,$∠CAB=30°$,
∴ $∠ACB=∠CBE-∠CAB=30°$,
∴ $∠CAB=∠ACB$,
∴ $AB=BC=1 500$ 米.在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$CF=BC×\sin∠CBF=1 500× \frac{\sqrt{3}}{2}=750\sqrt{3}$ (米),$BF=BC · \cos∠CBF=750$ 米.在 $\mathrm{Rt}△BED$ 中,$ED=BE · \tan∠DBE=BE · \tan 45°=BE=CF=750\sqrt{3}$ 米,
∴ $CD=EF=BE-BF=750\sqrt{3}-750≈548$(米).答:大桥 CD 的长度约为 548 米.

【分析】
这是一道方向角结合解直角三角形的实际应用题，解题时首先需将实际问题转化为几何计算问题：第一步过点C、D分别作公路l的垂线，构造出直角三角形和矩形；第二步利用三角形外角性质推导角的关系，得到等腰三角形，求出BC的长度；第三步分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出相关边长；最后结合矩形对边相等的性质，通过线段差求出CD的长度。
【解析】
分别过点C,D作l的垂线，垂足分别为点F,E，
∴ 四边形CDEF是矩形，
∴ $CF=ED$，$CD=EF$，
依题意，$∠CBE=60°$，$∠CAB=30°$，$AB=1500$米，
∴ $∠ACB=∠CBE-∠CAB=60°-30°=30°$，
∴ $∠CAB=∠ACB$，
∴ $AB=BC=1500$米。
在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中，
$CF=BC×\sin∠CBF=1500× \frac{\sqrt{3}}{2}=750\sqrt{3}$（米），
$BF=BC · \cos∠CBF=1500×\frac{1}{2}=750$（米）。
在 $\mathrm{Rt}△BED$ 中，$∠DBE=45°$，
∴ $ED=BE · \tan∠DBE=BE · \tan45°=BE$，
又
∵$ED=CF=750\sqrt{3}$米，
∴ $BE=750\sqrt{3}$米，
∴ $CD=EF=BE-BF=750\sqrt{3}-750≈750×1.73 -750=547.5≈548$（米）。
【答案】
大桥CD的长度约为548米。
【知识点】
方向角应用，解直角三角形，等腰三角形判定
【点评】
本题以测量大桥长度为背景，考查了解直角三角形在方向角问题中的应用，解题核心是合理构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值、等腰三角形和矩形的性质计算线段长度，贴近生活实际，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6

五、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分)
19. 某片绿地的形状如图所示,其中$∠ A = 60°$,$AB ⊥ BC$,$AD ⊥ CD$,$AB = 200\ \mathrm{m}$,$CD = 100\ \mathrm{m}$,求$AD$,$BC$的长.(结果精确到1 m,$\sqrt{3} \approx 1.732$)

19. 如图,延长 AD,BC 相交于点 E,在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,由 $AB=200$ m,$∠A=60°$,得 $BE=AB · \tan A=200\sqrt{3}$ m,$AE= \frac{AB}{\cos 60°}=400$ m. 在 $\mathrm{Rt}△CDE$ 中,由 $CD=100$ m,$∠CED=90°-∠A=30°$,得 $CE=2CD=200$ m,$DE= \frac{CD}{\tan∠CED}=100\sqrt{3}$ m,
∴ $AD=AE-DE=400-100\sqrt{3}≈227$(m),$BC=BE-CE=200\sqrt{3}-200≈146$(m).故 AD 的长约为 227 m,BC 的长约为 146 m.

【分析】
题目给出的是含有两个直角的不规则四边形，无法直接计算边长，因此可通过延长AD、BC交于点E，将图形转化为两个含特殊角的直角三角形$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△CDE$。首先利用$∠ A=60°$在$\mathrm{Rt}△ABE$中求出AE、BE的长度，再根据$∠ E=30°$在$\mathrm{Rt}△CDE$中求出CE、DE的长度，最后通过线段的差即可得到AD、BC的长度。
【解析】
解：如图，延长AD，BC相交于点E。
1. 在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ B=90°$，$∠ A=60°$，$AB=200\ \mathrm{m}$：
$\tan A = \frac{BE}{AB}$，因此$BE=AB · \tan60°=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
$\cos A = \frac{AB}{AE}$，因此$AE=\frac{AB}{\cos60°}=\frac{200}{\frac{1}{2}}=400\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$∠ CDE=90°$，$∠ CED=90°-∠ A=30°$，$CD=100\ \mathrm{m}$：
直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，因此$CE=2CD=200\ \mathrm{m}$；
$\tan∠ CED = \frac{CD}{DE}$，因此$DE=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
3. 计算AD、BC的长度：
$AD=AE-DE=400-100\sqrt{3}\approx400-100×1.732=227\ \mathrm{m}$；
$BC=BE-CE=200\sqrt{3}-200\approx200×1.732-200\approx146\ \mathrm{m}$。
【答案】
AD的长约为227 m，BC的长约为146 m。
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，直角三角形性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，将不规则图形的边长计算转化为直角三角形的边角计算，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7

20. （2024·广东中考）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,$∠ABQ=60°$,$AB=5.4$ m,$CE=1.6$ m,$GH⊥CD$,$GH$是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1 m,参考数据$\sqrt{3}≈1.73$)
(1)求PQ的长;
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.

20. (1)
∵ 四边形 PQMN 是矩形,
∴ $∠Q=∠P=90°$,在Rt△ABQ 中,$∠ABQ=60°$,$AB=5.4$ m,
∴ $AQ=AB · \sin∠ABQ= \frac{27\sqrt{3}}{10}$ m,$∠QAB=30°$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AD=BC$,$∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°$,
∴ $∠CBE=30°$,
∴ $BC= \frac{CE}{\tan∠CBE}= \frac{8\sqrt{3}}{5}$ m,
∴ $AD= \frac{8\sqrt{3}}{5}$ m.
∵ $∠PAD=180°-30°-90°=60°$,
∴ $AP=AD · \cos∠PAD= \frac{4\sqrt{3}}{5}$ m,
∴ $PQ=AP+AQ= \frac{35\sqrt{3}}{10}≈6.1$ m.
(2) 在 Rt△BCE 中,$BE= \frac{CE}{\sin∠CBE}=3.2$ m,在 Rt△ABQ 中,$BQ=AB · \cos∠ABQ=2.7$ m.
∵ 该充电站有 20 个停车位,
∴ $QM=QB+20BE=66.7$ m.
∵ 四边形 PQMN 是矩形,
∴ $PN=MQ=66.7$ m.

【分析】
(1) 求PQ的长时，观察图形可得PQ=AP+AQ，只需分别计算两段长度即可：①先在Rt△ABQ中，已知AB的长度和∠ABQ=60°，利用正弦函数求出AQ的长，同时得到∠QAB=30°；②结合矩形ABCD的性质推出∠CBE=30°，在Rt△BCE中已知CE的长度，利用正切函数求出BC的长，也就是AD的长；③最后根据平角定义得到∠PAD=60°，在Rt△APD中利用余弦函数求出AP的长，将AP与AQ相加就是PQ的长。
(2) 求PN的长时，根据矩形对边相等可知PN=QM，只需计算QM的长度即可：①先分别在Rt△BCE和Rt△ABQ中求出BE、BQ的长度；②观察图形可知20个停车位并列时，QM的长度为BQ加上20个BE的长度，计算后即可得到PN的长，注意结果按要求精确到0.1m。
【解析】
(1)
∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ $∠ Q=∠ P=90°$，
在$Rt△ ABQ$中，$∠ ABQ=60°$，$AB=5.4\ \mathrm{m}$，
∴ $AQ=AB·\sin∠ ABQ=5.4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{10}\ \mathrm{m}$，$∠ QAB=90°-60°=30°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD=BC$，$∠ BAD=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ CBE=180°-∠ ABC-∠ ABQ=180°-90°-60°=30°$，
在$Rt△ BCE$中，$CE=1.6\ \mathrm{m}$，$∠ CBE=30°$，
∴ $BC=\frac{CE}{\tan∠ CBE}=\frac{1.6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，即$AD=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$。
∵ $∠ PAD=180°-∠ QAB-∠ BAD=180°-30°-90°=60°$，
在$Rt△ APD$中，$AP=AD·\cos∠ PAD=\frac{8\sqrt{3}}{5}×\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，
∴ $PQ=AP+AQ=\frac{4\sqrt{3}}{5}+\frac{27\sqrt{3}}{10}=\frac{35\sqrt{3}}{10}\approx\frac{35×1.73}{10}\approx6.1\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ BCE$中，$∠ CBE=30°$，$CE=1.6\ \mathrm{m}$，
∴ $BE=\frac{CE}{\sin∠ CBE}=\frac{1.6}{0.5}=3.2\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ABQ$中，$∠ ABQ=60°$，$AB=5.4\ \mathrm{m}$，
∴ $BQ=AB·\cos∠ ABQ=5.4×0.5=2.7\ \mathrm{m}$。
∵ 充电站有20个停车位，结合图形可得$QM=BQ+20× BE$，
∴ $QM=2.7+20×3.2=66.7\ \mathrm{m}$，
∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ $PN=QM=66.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $PQ$的长约为$6.1\ \mathrm{m}$；
(2) $PN$的长约为$66.7\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形，矩形的性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合新能源汽车充电站的实际场景命题，将几何知识与生活实际紧密结合，解题关键是结合图形梳理各直角三角形的边角关系，利用锐角三角函数求解对应线段长度，同时要准确分析多个车位排列时的线段和差关系。
【难度系数】
0.7