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六、（本题满分14分）
21. 定义:在$△ ABC$中,$∠ C=30°$,我们把$∠ A$的对边与$∠ C$的对边的比叫作$∠ A$的邻弦,记作 thi $A$,即 thi $A=\frac{∠ A\mathrm{ 的对边}}{∠ C\mathrm{ 的对边}}=\frac{BC}{AB}$.请解答下列问题:
已知:在$△ ABC$中,$∠ C=30°$.
(1)若$∠ A=45°$,求 thi $A$ 的值;
(2)若 thi $A=\sqrt{3}$,求$∠ A$的度数;
(3)若$∠ A$是锐角,请你直接写出 thi $A$ 与$\sin A$的数量关系.
21. 定义:在$△ ABC$中,$∠ C=30°$,我们把$∠ A$的对边与$∠ C$的对边的比叫作$∠ A$的邻弦,记作 thi $A$,即 thi $A=\frac{∠ A\mathrm{ 的对边}}{∠ C\mathrm{ 的对边}}=\frac{BC}{AB}$.请解答下列问题:
已知:在$△ ABC$中,$∠ C=30°$.
(1)若$∠ A=45°$,求 thi $A$ 的值;
(2)若 thi $A=\sqrt{3}$,求$∠ A$的度数;
(3)若$∠ A$是锐角,请你直接写出 thi $A$ 与$\sin A$的数量关系.
答案
21. (1) 如图①,过点 B 作 $BH ⊥ AC$,垂足为点 H,在 Rt△BHC 中,$∠C=30°$,
∴ $BC=2BH$,在 Rt△BHA 中,$\sin A= \frac{BH}{AB}$,即 $\frac{BH}{AB}=\sin 45°= \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $AB=\sqrt{2} BH$,
∴ thi $A= \frac{BC}{AB}= \frac{2BH}{\sqrt{2} BH}=\sqrt{2}$.
(2)
∵ thi $A=\sqrt{3}$,
∴ $\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$,即 $BC=\sqrt{3} AB$.
∵ $∠C=30°$,
∴ $BC=2BH$,
∴ $\sqrt{3} AB=2BH$,即 $\frac{BH}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{2}$,如图②,则 $\sin A= \frac{BH}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $∠A=60°$; 根据对称性,$△A'BC$ 是钝角三角形时,$∠BA'C=120°$.综上所述,$∠A$ 的度数为 $60°$或 $120°$.
(3) thi $A=2\sin A$. 解析: 如图①,在$△ABC$ 中,thi $A= \frac{BC}{AB}$,在 Rt△BHA 中,$\sin A= \frac{BH}{AB}$,在 Rt△BHC 中,$∠C=30°$,
∴ $BC=2BH$,
∴ thi $A=2\sin A$.
解析
【分析】
本题是新定义类几何题，解题核心是紧扣“$\mathrm{thi}A=\frac{BC}{AB}$”的定义，结合含$30°$角的直角三角形性质、三角函数的定义求解。
(1) 要求$\mathrm{thi}A$的值，需推导$BC$和$AB$的数量关系，通过作$BH⊥ AC$构造直角三角形，先在$\mathrm{Rt}△ BHC$中利用$∠ C=30°$得到$BC=2BH$，再在$\mathrm{Rt}△ BHA$中利用$∠ A=45°$的正弦值得到$AB$和$BH$的关系，代入比值即可求出结果。
(2) 已知$\mathrm{thi}A=\sqrt{3}$，可得$BC$和$AB$的关系，同样结合$BC=2BH$推导出$\sin A$的值，注意正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角可以是锐角也可以是钝角，需分类讨论避免漏解。
(3) 将前两问的推导过程一般化，把$BC=2BH$代入$\mathrm{thi}A$的表达式，结合$\sin A=\frac{BH}{AB}$即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，过点$B$作$BH ⊥ AC$，垂足为点$H$。
在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，$∠ C=30°$，$\therefore BC=2BH$。
在$\mathrm{Rt}△ BHA$中，$\sin A= \frac{BH}{AB}$，当$∠ A=45°$时，$\frac{BH}{AB}=\sin 45°= \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore AB=\sqrt{2} BH$。
$\therefore \mathrm{thi}A= \frac{BC}{AB}= \frac{2BH}{\sqrt{2} BH}=\sqrt{2}$。
(2) $\because \mathrm{thi}A=\sqrt{3}$，$\therefore \frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，即$BC=\sqrt{3} AB$。
过点$B$作$BH⊥ AC$，垂足为点$H$，在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，$∠ C=30°$，$\therefore BC=2BH$。
代入得$\sqrt{3} AB=2BH$，即$\frac{BH}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \sin A= \frac{BH}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{2}$。
当$∠ A$为锐角时，$∠ A=60°$；根据对称性，当$△ A'BC$为钝角三角形时，$∠ BA'C=120°$也满足条件。
综上所述，$∠ A$的度数为$60°$或$120°$。
(3) 如图①，在$△ ABC$中，$\mathrm{thi}A= \frac{BC}{AB}$。
在$\mathrm{Rt}△ BHA$中，$\sin A= \frac{BH}{AB}$；在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，$∠ C=30°$，$\therefore BC=2BH$。
将$BC=2BH$代入$\mathrm{thi}A$的表达式得：$\mathrm{thi}A=\frac{2BH}{AB}=2·\frac{BH}{AB}=2\sin A$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $60°$或$120°$；(3) $\mathrm{thi}A=2\sin A$
【知识点】
新定义运算，解直角三角形，特殊角的三角函数值
【点评】
本题将新定义与解直角三角形的知识相结合，解题的关键是通过作高构造直角三角形，将边的关系转化到直角三角形中利用三角函数求解。解题时要注意第二问中角的两种情况，避免漏解，同时考查了从特殊到一般的归纳思维和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类几何题，解题核心是紧扣“$\mathrm{thi}A=\frac{BC}{AB}$”的定义，结合含$30°$角的直角三角形性质、三角函数的定义求解。
(1) 要求$\mathrm{thi}A$的值，需推导$BC$和$AB$的数量关系，通过作$BH⊥ AC$构造直角三角形，先在$\mathrm{Rt}△ BHC$中利用$∠ C=30°$得到$BC=2BH$，再在$\mathrm{Rt}△ BHA$中利用$∠ A=45°$的正弦值得到$AB$和$BH$的关系，代入比值即可求出结果。
(2) 已知$\mathrm{thi}A=\sqrt{3}$，可得$BC$和$AB$的关系，同样结合$BC=2BH$推导出$\sin A$的值，注意正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角可以是锐角也可以是钝角，需分类讨论避免漏解。
(3) 将前两问的推导过程一般化，把$BC=2BH$代入$\mathrm{thi}A$的表达式，结合$\sin A=\frac{BH}{AB}$即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，过点$B$作$BH ⊥ AC$，垂足为点$H$。
在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，$∠ C=30°$，$\therefore BC=2BH$。
在$\mathrm{Rt}△ BHA$中，$\sin A= \frac{BH}{AB}$，当$∠ A=45°$时，$\frac{BH}{AB}=\sin 45°= \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore AB=\sqrt{2} BH$。
$\therefore \mathrm{thi}A= \frac{BC}{AB}= \frac{2BH}{\sqrt{2} BH}=\sqrt{2}$。
(2) $\because \mathrm{thi}A=\sqrt{3}$，$\therefore \frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，即$BC=\sqrt{3} AB$。
过点$B$作$BH⊥ AC$，垂足为点$H$，在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，$∠ C=30°$，$\therefore BC=2BH$。
代入得$\sqrt{3} AB=2BH$，即$\frac{BH}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \sin A= \frac{BH}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{2}$。
当$∠ A$为锐角时，$∠ A=60°$；根据对称性，当$△ A'BC$为钝角三角形时，$∠ BA'C=120°$也满足条件。
综上所述，$∠ A$的度数为$60°$或$120°$。
(3) 如图①，在$△ ABC$中，$\mathrm{thi}A= \frac{BC}{AB}$。
在$\mathrm{Rt}△ BHA$中，$\sin A= \frac{BH}{AB}$；在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，$∠ C=30°$，$\therefore BC=2BH$。
将$BC=2BH$代入$\mathrm{thi}A$的表达式得：$\mathrm{thi}A=\frac{2BH}{AB}=2·\frac{BH}{AB}=2\sin A$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $60°$或$120°$；(3) $\mathrm{thi}A=2\sin A$
【知识点】
新定义运算，解直角三角形，特殊角的三角函数值
【点评】
本题将新定义与解直角三角形的知识相结合，解题的关键是通过作高构造直角三角形，将边的关系转化到直角三角形中利用三角函数求解。解题时要注意第二问中角的两种情况，避免漏解，同时考查了从特殊到一般的归纳思维和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
七、(本题满分16分)
22. （无锡中考）已知二次函数 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，且经过点 $B(4,\sqrt{2})$ 和点 $C(-1,\sqrt{2})$。
(1) 请直接写出 $b,c$ 的值。
(2) 直线 $BC$ 交 $y$ 轴于点 $D$，点 $E$ 是二次函数 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 图象上位于直线 $AB$ 下方的动点，过点 $E$ 作直线 $AB$ 的垂线，垂足为点 $F$。
① 求 $EF$ 的最大值；
② 若 $△ AEF$ 中有一个内角是 $∠ ABC$ 的两倍，求点 $E$ 的横坐标。
22. （无锡中考）已知二次函数 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，且经过点 $B(4,\sqrt{2})$ 和点 $C(-1,\sqrt{2})$。
(1) 请直接写出 $b,c$ 的值。
(2) 直线 $BC$ 交 $y$ 轴于点 $D$，点 $E$ 是二次函数 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 图象上位于直线 $AB$ 下方的动点，过点 $E$ 作直线 $AB$ 的垂线，垂足为点 $F$。
① 求 $EF$ 的最大值；
② 若 $△ AEF$ 中有一个内角是 $∠ ABC$ 的两倍，求点 $E$ 的横坐标。
答案
22. (1) $b=-3,c=-2$. 解析:
∵ 二次函数 $y= \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 A,且经过点 $B(4,\sqrt{2})$ 和点 $C(-1,\sqrt{2})$,
∴ $\begin{cases}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(4^2+4b+c),\\\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-b+c),\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-3,\\c=-2.\end{cases}$
(2)① 如图①,过点 E 作 y 轴平行线分别交 AB,BD 于点 G,H.
∵ $y= \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2-3x-2)$,当 $x=0$ 时,$y=-\sqrt{2}$,
∴ $A(0,-\sqrt{2})$,
∴ $AD=2\sqrt{2}$,$BD=4$,
∴ $AB= \sqrt{AD^2+BD^2}=2\sqrt{6}$,
∴ $\cos∠ABD= \frac{BD}{AB}= \frac{\sqrt{6}}{3}$.
∵ $∠GFE=∠GHB=90°$,$∠FGE=∠HGB$,
∴ $∠FEG=∠ABD$,
∴ $\cos∠FEG= \frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴ $\frac{EF}{EG}= \frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴ $EF= \frac{\sqrt{6}}{3} EG$.
∵ $A(0,-\sqrt{2})$,$B(4,\sqrt{2})$,设直线 AB 的表达式为 $y=kx+d$,
∴ $\begin{cases}d=-\sqrt{2},\\4k+d=\sqrt{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{\sqrt{2}}{2},\\d=-\sqrt{2},\end{cases}$
∴ 直线 AB 的表达式为 $y= \frac{\sqrt{2}}{2} x -\sqrt{2}$. 设 $E(m, \frac{\sqrt{2}}{2} m^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})$,
∴ $G(m, \frac{\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})$,
∴ $EG=- \frac{\sqrt{2}}{2} m^2+2\sqrt{2} m=- \frac{\sqrt{2}}{2} (m-2)^2+2\sqrt{2}$,
∴ 当 $m=2$ 时,$EG$ 取得最大值为 $2\sqrt{2}$,
∴ $EF$ 的最大值为 $ \frac{\sqrt{6}}{3} ×2\sqrt{2}= \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
② 如图②,已知 $\tan∠ABC= \frac{\sqrt{2}}{2}$,令 $AC=\sqrt{2}$,则 $BC=2$,在 BC 上取点 D,使得 $AD=BD$,
∴ $∠ADC=2∠ABC$,设 $CD=x$,则 $AD=BD=2-x$,则 $x^2+(\sqrt{2})^2=(2-x)^2$,解得 $x= \frac{1}{2}$,
∴ $\tan∠ADC= \frac{AC}{CD}=2\sqrt{2}$,即 $\tan(2∠ABC)=2\sqrt{2}$.
如图③,构造$△AMF∽△FNE$,且 $MN//x$ 轴,相似比为 $AF:EF$.
又
∵ $\tan∠MFA=\tan∠CBA=\tan∠FEN= \frac{\sqrt{2}}{2}$,设 $AM=\sqrt{2} a$,则 $MF=2a$. 分类讨论: i 当$∠FAE=2∠ABC$ 时,则 $\tan∠FAE= \frac{EF}{AF}=2\sqrt{2}$,
∴ $△AMF$ 与 $△FNE$ 的相似比为 $1:2\sqrt{2}$,
∴ $FN=2\sqrt{2} AM=4a$,$NE=2\sqrt{2} MF=4\sqrt{2} a$,
∴ $E(6a,-\sqrt{2}-3\sqrt{2} a)$,代入抛物线求得 $a_1= \frac{1}{3}$,$a_2=0$(舍),
∴ 点 E 横坐标为 $6a=2$. ii 当$∠FEA=2∠ABC$ 时,则 $\tan∠FEA= \frac{AF}{EF}=2\sqrt{2}$,
∴ 此时相似比为 $2\sqrt{2}:1$,
∴ $FN= \frac{AM}{2\sqrt{2}}= \frac{1}{2} a$,$NE= \frac{MF}{2\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2} a$,
∴ $E( \frac{5a}{2},-\sqrt{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2} a )$,代入抛物线求得 $a_1= \frac{34}{25}$,$a_2=0$(舍),
∴ 点 E 横坐标为 $ \frac{5a}{2}= \frac{17}{5}$.
综上所述,点 E 的横坐标为 2 或 $\frac{17}{5}$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过B、C两点，将两点坐标代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) ① 先求出二次函数与y轴交点A的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式；过点E作y轴平行线交AB于G，利用角度互余关系推出EF与EG的三角函数关系，将EF的最值转化为竖直线段EG的最值，构造关于横坐标的二次函数求EG最大值，即可得到EF最大值。
② 先通过构造等腰三角形求出2∠ABC的正切值，再分两种情况讨论：∠FAE=2∠ABC、∠FEA=2∠ABC，结合相似三角形性质设参数表示点E坐标，代入二次函数解析式求解，舍去不合理解即可得到点E的横坐标。
【解析】
(1)
∵ 二次函数 $y= \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 的图象经过点 $B(4,\sqrt{2})$ 和点 $C(-1,\sqrt{2})$，
∴ 代入坐标得：
$\begin{cases}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(4^2+4b+c),\\\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-b+c),\end{cases}$
化简得$\begin{cases}16+4b+c=2,\\1-b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-3,\\c=-2.\end{cases}$
(2) ① 如图①，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于点G、H。
由(1)得二次函数解析式为 $y= \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2-3x-2)$，当$x=0$时，$y=-\sqrt{2}$，
∴ $A(0,-\sqrt{2})$。
由题意得$D(0,\sqrt{2})$，则$AD=2\sqrt{2}$，$BD=4$，在$Rt△ABD$中：
$AB= \sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+4^2}=2\sqrt{6}$，
∴ $\cos∠ABD= \frac{BD}{AB}= \frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
∵ $EF⊥AB$，$∠GFE=∠GHB=90°$，$∠FGE=∠HGB$，
∴ $∠FEG=∠ABD$，
∴ $\cos∠FEG= \frac{EF}{EG}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即 $EF= \frac{\sqrt{6}}{3} EG$。
设直线AB的解析式为$y=kx+d$，代入$A(0,-\sqrt{2})$、$B(4,\sqrt{2})$得：
$\begin{cases}d=-\sqrt{2},\\4k+d=\sqrt{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{\sqrt{2}}{2},\\d=-\sqrt{2},\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为 $y= \frac{\sqrt{2}}{2} x -\sqrt{2}$。
设点E横坐标为m，则$E(m, \frac{\sqrt{2}}{2} m^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})$，$G(m, \frac{\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})$，
∵ E在直线AB下方，
∴ $EG=(\frac{\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})-(\frac{\sqrt{2}}{2} m^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})=- \frac{\sqrt{2}}{2} m^2+2\sqrt{2} m$，
配方得 $EG=- \frac{\sqrt{2}}{2} (m-2)^2+2\sqrt{2}$，
∵ $-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，
∴ 当$m=2$时，EG取得最大值$2\sqrt{2}$，
∴ $EF_{max}=\frac{\sqrt{6}}{3}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
② 如图②，已知$\tan∠ABC=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，构造等腰三角形求2∠ABC的正切值：设直角边$AC=\sqrt{2}$，$BC=2$，在BC上取点D使$AD=BD$，则$∠ADC=2∠ABC$。
设$CD=x$，则$AD=BD=2-x$，在$Rt△ACD$中由勾股定理得：$x^2+(\sqrt{2})^2=(2-x)^2$，解得$x=\frac{1}{2}$，
∴ $\tan∠ADC=\frac{AC}{CD}=2\sqrt{2}$，即$\tan(2∠ABC)=2\sqrt{2}$。
如图③，构造$△AMF∽△FNE$，$MN//x$轴，由$\tan∠MFA=\tan∠CBA=\tan∠FEN=\frac{\sqrt{2}}{2}$，设$AM=\sqrt{2}a$，则$MF=2a$。
分两种情况讨论：
i 当$∠FAE=2∠ABC$时，$\tan∠FAE=\frac{EF}{AF}=2\sqrt{2}$，$△AMF$与$△FNE$相似比为$1:2\sqrt{2}$，
∴ $FN=2\sqrt{2}AM=4a$，$NE=2\sqrt{2}MF=4\sqrt{2}a$，则$E(6a,-\sqrt{2}-3\sqrt{2}a)$，
代入抛物线解析式化简得$18a^2-6a=0$，解得$a_1=\frac{1}{3}$，$a_2=0$（舍去），
∴ 点E横坐标为$6×\frac{1}{3}=2$。
ii 当$∠FEA=2∠ABC$时，$\tan∠FEA=\frac{AF}{EF}=2\sqrt{2}$，$△AMF$与$△FNE$相似比为$2\sqrt{2}:1$，
∴ $FN=\frac{AM}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}a$，$NE=\frac{MF}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，则$E(\frac{5a}{2},-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}a)$，
代入抛物线解析式化简得$25a^2-34a=0$，解得$a_1=\frac{34}{25}$，$a_2=0$（舍去），
∴ 点E横坐标为$\frac{5}{2}×\frac{34}{25}=\frac{17}{5}$。
综上，点E的横坐标为2或$\frac{17}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=-3,c=-2}$；
(2) ① $\boldsymbol{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$；
② 点E的横坐标为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，相似与三角函数
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了一次函数、三角函数、相似三角形等知识，既考查了基础的代数计算能力，也通过二倍角分类讨论考查了转化思想和逻辑推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.3
(1) 已知二次函数图象经过B、C两点，将两点坐标代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) ① 先求出二次函数与y轴交点A的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式；过点E作y轴平行线交AB于G，利用角度互余关系推出EF与EG的三角函数关系，将EF的最值转化为竖直线段EG的最值，构造关于横坐标的二次函数求EG最大值，即可得到EF最大值。
② 先通过构造等腰三角形求出2∠ABC的正切值，再分两种情况讨论：∠FAE=2∠ABC、∠FEA=2∠ABC，结合相似三角形性质设参数表示点E坐标，代入二次函数解析式求解，舍去不合理解即可得到点E的横坐标。
【解析】
(1)
∵ 二次函数 $y= \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+bx+c)$ 的图象经过点 $B(4,\sqrt{2})$ 和点 $C(-1,\sqrt{2})$，
∴ 代入坐标得：
$\begin{cases}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(4^2+4b+c),\\\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-b+c),\end{cases}$
化简得$\begin{cases}16+4b+c=2,\\1-b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-3,\\c=-2.\end{cases}$
(2) ① 如图①，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于点G、H。
由(1)得二次函数解析式为 $y= \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2-3x-2)$，当$x=0$时，$y=-\sqrt{2}$，
∴ $A(0,-\sqrt{2})$。
由题意得$D(0,\sqrt{2})$，则$AD=2\sqrt{2}$，$BD=4$，在$Rt△ABD$中：
$AB= \sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+4^2}=2\sqrt{6}$，
∴ $\cos∠ABD= \frac{BD}{AB}= \frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
∵ $EF⊥AB$，$∠GFE=∠GHB=90°$，$∠FGE=∠HGB$，
∴ $∠FEG=∠ABD$，
∴ $\cos∠FEG= \frac{EF}{EG}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即 $EF= \frac{\sqrt{6}}{3} EG$。
设直线AB的解析式为$y=kx+d$，代入$A(0,-\sqrt{2})$、$B(4,\sqrt{2})$得：
$\begin{cases}d=-\sqrt{2},\\4k+d=\sqrt{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{\sqrt{2}}{2},\\d=-\sqrt{2},\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为 $y= \frac{\sqrt{2}}{2} x -\sqrt{2}$。
设点E横坐标为m，则$E(m, \frac{\sqrt{2}}{2} m^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})$，$G(m, \frac{\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})$，
∵ E在直线AB下方，
∴ $EG=(\frac{\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})-(\frac{\sqrt{2}}{2} m^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} m -\sqrt{2})=- \frac{\sqrt{2}}{2} m^2+2\sqrt{2} m$，
配方得 $EG=- \frac{\sqrt{2}}{2} (m-2)^2+2\sqrt{2}$，
∵ $-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，
∴ 当$m=2$时，EG取得最大值$2\sqrt{2}$，
∴ $EF_{max}=\frac{\sqrt{6}}{3}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
② 如图②，已知$\tan∠ABC=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，构造等腰三角形求2∠ABC的正切值：设直角边$AC=\sqrt{2}$，$BC=2$，在BC上取点D使$AD=BD$，则$∠ADC=2∠ABC$。
设$CD=x$，则$AD=BD=2-x$，在$Rt△ACD$中由勾股定理得：$x^2+(\sqrt{2})^2=(2-x)^2$，解得$x=\frac{1}{2}$，
∴ $\tan∠ADC=\frac{AC}{CD}=2\sqrt{2}$，即$\tan(2∠ABC)=2\sqrt{2}$。
如图③，构造$△AMF∽△FNE$，$MN//x$轴，由$\tan∠MFA=\tan∠CBA=\tan∠FEN=\frac{\sqrt{2}}{2}$，设$AM=\sqrt{2}a$，则$MF=2a$。
分两种情况讨论：
i 当$∠FAE=2∠ABC$时，$\tan∠FAE=\frac{EF}{AF}=2\sqrt{2}$，$△AMF$与$△FNE$相似比为$1:2\sqrt{2}$，
∴ $FN=2\sqrt{2}AM=4a$，$NE=2\sqrt{2}MF=4\sqrt{2}a$，则$E(6a,-\sqrt{2}-3\sqrt{2}a)$，
代入抛物线解析式化简得$18a^2-6a=0$，解得$a_1=\frac{1}{3}$，$a_2=0$（舍去），
∴ 点E横坐标为$6×\frac{1}{3}=2$。
ii 当$∠FEA=2∠ABC$时，$\tan∠FEA=\frac{AF}{EF}=2\sqrt{2}$，$△AMF$与$△FNE$相似比为$2\sqrt{2}:1$，
∴ $FN=\frac{AM}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}a$，$NE=\frac{MF}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，则$E(\frac{5a}{2},-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}a)$，
代入抛物线解析式化简得$25a^2-34a=0$，解得$a_1=\frac{34}{25}$，$a_2=0$（舍去），
∴ 点E横坐标为$\frac{5}{2}×\frac{34}{25}=\frac{17}{5}$。
综上，点E的横坐标为2或$\frac{17}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=-3,c=-2}$；
(2) ① $\boldsymbol{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$；
② 点E的横坐标为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，相似与三角函数
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了一次函数、三角函数、相似三角形等知识，既考查了基础的代数计算能力，也通过二倍角分类讨论考查了转化思想和逻辑推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.3
