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一、选择题
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$. 下列选项中，$\odot O$的半径为$\frac{ab}{a+b}$的是().
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$. 下列选项中，$\odot O$的半径为$\frac{ab}{a+b}$的是().
答案
$\boxed{C}$
解析
【分析】
要判断哪个选项中⊙O的半径为$\frac{ab}{a+b}$，我们可结合切线的性质，通过面积法分别推导每个选项的圆半径，再和目标式对比即可。首先明确：圆与直线相切时，圆心到切线的距离等于半径，再结合直角三角形的面积和差关系就能快速计算半径。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：该圆是$Rt△ ABC$的内切圆，由面积法$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$，不符合要求，排除A。
2. 选项B：圆心O在AC上，⊙O与AB、BC相切，半径为r，则O到BC、AB的距离均为r。由面积关系$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ ABO}$，得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}cr$，解得$r=\frac{ab}{a+c}$，不符合要求，排除B。
3. 选项C：圆心O在AB上，⊙O与AC、BC相切，半径为r，则O到AC、BC的距离均为r。连接OC，可得$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}ar$
两边同乘2化简得：$ab=r(a+b)$，即$r=\frac{ab}{a+b}$，符合要求。
4. 选项D：该圆是与AB、BC所在直线、AC所在直线相切的旁切圆，推导可得其半径不等于$\frac{ab}{a+b}$，不符合要求，排除D。
【答案】
$\boxed{C}$
【知识点】
切线的性质；三角形面积计算；直角三角形的性质
【点评】
本题考查切线性质的综合应用，解题的关键是结合图形特征，灵活选用面积法推导圆的半径，通过逐个验证选项得出结果，需要同学们具备一定的图形分析和公式推导能力。
【难度系数】
0.6
要判断哪个选项中⊙O的半径为$\frac{ab}{a+b}$，我们可结合切线的性质，通过面积法分别推导每个选项的圆半径，再和目标式对比即可。首先明确：圆与直线相切时，圆心到切线的距离等于半径，再结合直角三角形的面积和差关系就能快速计算半径。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：该圆是$Rt△ ABC$的内切圆，由面积法$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$，不符合要求，排除A。
2. 选项B：圆心O在AC上，⊙O与AB、BC相切，半径为r，则O到BC、AB的距离均为r。由面积关系$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ ABO}$，得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}cr$，解得$r=\frac{ab}{a+c}$，不符合要求，排除B。
3. 选项C：圆心O在AB上，⊙O与AC、BC相切，半径为r，则O到AC、BC的距离均为r。连接OC，可得$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}ar$
两边同乘2化简得：$ab=r(a+b)$，即$r=\frac{ab}{a+b}$，符合要求。
4. 选项D：该圆是与AB、BC所在直线、AC所在直线相切的旁切圆，推导可得其半径不等于$\frac{ab}{a+b}$，不符合要求，排除D。
【答案】
$\boxed{C}$
【知识点】
切线的性质；三角形面积计算；直角三角形的性质
【点评】
本题考查切线性质的综合应用，解题的关键是结合图形特征，灵活选用面积法推导圆的半径，通过逐个验证选项得出结果，需要同学们具备一定的图形分析和公式推导能力。
【难度系数】
0.6
2. 同一平面内有$\odot O$和点$A$，$B$，$\odot O$的半径为$6\ \mathrm{cm}$，线段$OA=10\ \mathrm{cm}$，线段$OB=6\ \mathrm{cm}$，那么直线$AB$与$\odot O$的位置关系为().
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
D
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，核心依据是：圆心到直线的距离$d$与半径$r$的大小关系，$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先先明确点A、B和$\odot O$的位置：$\odot O$半径$r=6\mathrm{cm}$，$OA=10\mathrm{cm}＞r$，因此A在圆外；$OB=6\mathrm{cm}=r$，因此B在圆上。已知B是圆上的点，接下来分情况讨论直线AB的位置即可：当AB垂直OB时，圆心到AB的距离等于半径，为相切；当AB和OB不垂直时，根据垂线段最短，圆心到AB的距离小于半径，为相交，因此两种位置关系都存在。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=6\mathrm{cm}$，
1. 判定点与圆的位置关系：
$\because OA=10\mathrm{cm}＞6\mathrm{cm}$，$\therefore$点A在$\odot O$外；
$\because OB=6\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点B在$\odot O$上。
2. 分情况讨论直线AB与$\odot O$的位置：
若$AB⊥ OB$，此时圆心O到直线AB的距离$d=OB=6\mathrm{cm}=r$，直线AB与$\odot O$相切；
若AB与OB不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线AB的距离$d＜OB=6\mathrm{cm}$，即$d＜r$，直线AB与$\odot O$相交。
因此直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点与圆的位置关系；垂线段最短
【点评】
本题解题关键是结合点的位置分情况讨论，易错点是遗漏AB与OB垂直的特殊情况，误选B或者C。
【难度系数】
0.7
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，核心依据是：圆心到直线的距离$d$与半径$r$的大小关系，$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先先明确点A、B和$\odot O$的位置：$\odot O$半径$r=6\mathrm{cm}$，$OA=10\mathrm{cm}＞r$，因此A在圆外；$OB=6\mathrm{cm}=r$，因此B在圆上。已知B是圆上的点，接下来分情况讨论直线AB的位置即可：当AB垂直OB时，圆心到AB的距离等于半径，为相切；当AB和OB不垂直时，根据垂线段最短，圆心到AB的距离小于半径，为相交，因此两种位置关系都存在。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=6\mathrm{cm}$，
1. 判定点与圆的位置关系：
$\because OA=10\mathrm{cm}＞6\mathrm{cm}$，$\therefore$点A在$\odot O$外；
$\because OB=6\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点B在$\odot O$上。
2. 分情况讨论直线AB与$\odot O$的位置：
若$AB⊥ OB$，此时圆心O到直线AB的距离$d=OB=6\mathrm{cm}=r$，直线AB与$\odot O$相切；
若AB与OB不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线AB的距离$d＜OB=6\mathrm{cm}$，即$d＜r$，直线AB与$\odot O$相交。
因此直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点与圆的位置关系；垂线段最短
【点评】
本题解题关键是结合点的位置分情况讨论，易错点是遗漏AB与OB垂直的特殊情况，误选B或者C。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$ 的圆心在定角 $∠ α$（$0°＜∠ α＜180°$）的角平分线上运动，且$\odot O$ 与$∠ α$ 的两边相切，图中阴影部分的面积 $S$ 关于$\odot O$ 的半径 $r$ 变化的函数图象大致是（）。
答案
C
解析
【分析】
要判断阴影面积S关于半径r的函数图象，首先需要推导S与r的函数关系式：先明确阴影面积的构成，即角顶点与两切点、圆心围成的四边形面积减去圆内对应扇形的面积。再利用切线性质、三角函数表示出四边形面积，结合四边形内角和求出扇形圆心角，得到扇形面积，两者作差得到函数表达式，最后根据函数类型和自变量r的取值范围判断图象即可。
【解析】
设∠α的顶点为P，连接OP、圆心O到两个切点的线段：
1. 根据切线的性质，O到∠α两边的距离均为半径r，且半径与切线垂直，因此两个切点处的角均为90°；
2. 因为O在∠α的角平分线上，所以OP平分∠α，每个小角为$\frac{α}{2}$。在含$\frac{α}{2}$的直角三角形中，切线长为$\frac{r}{\tan\frac{α}{2}}$，因此两个直角三角形的总面积（即四边形面积）为$2×\frac{1}{2}× r×\frac{r}{\tan\frac{α}{2}}=\frac{r^2}{\tan\frac{α}{2}}$；
3. 四边形内角和为360°，因此扇形的圆心角为$360°-90°-90°-α=180°-α$，扇形面积为$\frac{180°-α}{360°}×π r^2$；
4. 阴影面积$S=\frac{r^2}{\tan\frac{α}{2}}-\frac{π(180°-α)}{360°}r^2$，因为α为定角，因此S是关于r的二次函数，且二次项系数大于0，开口向上；
5. 半径r＞0，因此函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分，原点处为空心，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，二次函数的图象
【点评】
本题将几何面积计算与函数图象判断相结合，解题的核心是正确推导阴影面积的函数表达式，同时要注意半径r的取值为正数，避免误选包含r负半轴的B选项。
【难度系数】
0.65
要判断阴影面积S关于半径r的函数图象，首先需要推导S与r的函数关系式：先明确阴影面积的构成，即角顶点与两切点、圆心围成的四边形面积减去圆内对应扇形的面积。再利用切线性质、三角函数表示出四边形面积，结合四边形内角和求出扇形圆心角，得到扇形面积，两者作差得到函数表达式，最后根据函数类型和自变量r的取值范围判断图象即可。
【解析】
设∠α的顶点为P，连接OP、圆心O到两个切点的线段：
1. 根据切线的性质，O到∠α两边的距离均为半径r，且半径与切线垂直，因此两个切点处的角均为90°；
2. 因为O在∠α的角平分线上，所以OP平分∠α，每个小角为$\frac{α}{2}$。在含$\frac{α}{2}$的直角三角形中，切线长为$\frac{r}{\tan\frac{α}{2}}$，因此两个直角三角形的总面积（即四边形面积）为$2×\frac{1}{2}× r×\frac{r}{\tan\frac{α}{2}}=\frac{r^2}{\tan\frac{α}{2}}$；
3. 四边形内角和为360°，因此扇形的圆心角为$360°-90°-90°-α=180°-α$，扇形面积为$\frac{180°-α}{360°}×π r^2$；
4. 阴影面积$S=\frac{r^2}{\tan\frac{α}{2}}-\frac{π(180°-α)}{360°}r^2$，因为α为定角，因此S是关于r的二次函数，且二次项系数大于0，开口向上；
5. 半径r＞0，因此函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分，原点处为空心，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，二次函数的图象
【点评】
本题将几何面积计算与函数图象判断相结合，解题的核心是正确推导阴影面积的函数表达式，同时要注意半径r的取值为正数，避免误选包含r负半轴的B选项。
【难度系数】
0.65
4. 如图，$△ ACD$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的切线，$∠ C=45°$，$∠ B=30°$，$AD=4$，则AB的长为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 遇到圆的切线，优先利用切线性质：切线垂直于过切点的半径，因此连接OA，可得OA⊥AB，△OAB为直角三角形，已知∠B=30°，只需求出半径OA的长度即可求AB。2. ∠C是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOD=2∠C=90°，结合OA=OD，可知△OAD是等腰直角三角形，已知AD=4，即可求出OA的长。3. 最后在Rt△OAB中利用特殊角的三角函数或勾股定理求出AB的长度。
【解析】
连接OA、OD：
1. 由切线性质得：
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°。
2. 由圆周角定理得：∠C是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴∠AOD=2∠C=2×45°=90°。
∵OA、OD是⊙O的半径，
∴OA=OD，△OAD为等腰直角三角形。
已知AD=4，由勾股定理：$OA^2+OD^2=AD^2$，即$2OA^2=16$，解得$OA=2\sqrt{2}$（半径为正，舍去负根）。
3. 在Rt△OAB中，∠B=30°，∠OAB=90°：
由勾股定理，30°角对的直角边OA等于斜边OB的一半，即$OB=2OA=4\sqrt{2}$，
∴$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32-8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，特殊直角三角形计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型综合题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合圆周角定理求出半径长度，需要熟练掌握圆的基础性质和特殊角直角三角形的边长计算规律。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 遇到圆的切线，优先利用切线性质：切线垂直于过切点的半径，因此连接OA，可得OA⊥AB，△OAB为直角三角形，已知∠B=30°，只需求出半径OA的长度即可求AB。2. ∠C是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOD=2∠C=90°，结合OA=OD，可知△OAD是等腰直角三角形，已知AD=4，即可求出OA的长。3. 最后在Rt△OAB中利用特殊角的三角函数或勾股定理求出AB的长度。
【解析】
连接OA、OD：
1. 由切线性质得：
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°。
2. 由圆周角定理得：∠C是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴∠AOD=2∠C=2×45°=90°。
∵OA、OD是⊙O的半径，
∴OA=OD，△OAD为等腰直角三角形。
已知AD=4，由勾股定理：$OA^2+OD^2=AD^2$，即$2OA^2=16$，解得$OA=2\sqrt{2}$（半径为正，舍去负根）。
3. 在Rt△OAB中，∠B=30°，∠OAB=90°：
由勾股定理，30°角对的直角边OA等于斜边OB的一半，即$OB=2OA=4\sqrt{2}$，
∴$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32-8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，特殊直角三角形计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型综合题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合圆周角定理求出半径长度，需要熟练掌握圆的基础性质和特殊角直角三角形的边长计算规律。
【难度系数】
0.6
5. 如图，以等边三角形ABC的边BC为直径画半圆O，分别交AB，AC于点E，D，DF是半圆O的切线，过点F作$FG⊥ BC$于点G.若AF的长为2，则FG的长为.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$
解析
【分析】
解题时首先考虑切线的性质，连接辅助线OD得到OD⊥DF；结合等边三角形ABC的内角为60°，可判定△ODC为等边三角形，进而得到OD//AB，推出DF⊥AB；在Rt△AFD中利用30°直角三角形的性质求出AD的长度，再结合AC=BC=2OC，求出等边三角形ABC的边长，进而得到FB的长度；最后在Rt△FBG中利用勾股定理求出FG的长度即可。
【解析】
连接OD，
∵ DF是半圆O的切线，
∴ OD⊥DF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC。
∵ OD=OC，∠C=60°，
∴ △ODC是等边三角形，
∴ ∠ODC=60°=∠A，
∴ OD//AB，
∴ DF⊥AB，即∠AFD=90°。
在Rt△AFD中，∠A=60°，
∴ ∠ADF=30°，
∵ AF=2，
∴ AD=2AF=4。
设半圆O的半径为r，则BC=AC=2r，DC=OC=r，
∴ AC=AD+DC=4+r=2r，解得r=4，
∴ AB=2r=8，
∴ FB=AB-AF=8-2=6。
在Rt△FBG中，∠B=60°，
∴ ∠BFG=30°，
∴ BG=$\frac{1}{2}$FB=3，
由勾股定理得：FG=$\sqrt{FB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合中档题，解题的关键是正确添加辅助线，结合圆的切线性质和等边三角形的特征推导线段间的关系，再通过解直角三角形求出目标线段长度，考查了逻辑推理和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先考虑切线的性质，连接辅助线OD得到OD⊥DF；结合等边三角形ABC的内角为60°，可判定△ODC为等边三角形，进而得到OD//AB，推出DF⊥AB；在Rt△AFD中利用30°直角三角形的性质求出AD的长度，再结合AC=BC=2OC，求出等边三角形ABC的边长，进而得到FB的长度；最后在Rt△FBG中利用勾股定理求出FG的长度即可。
【解析】
连接OD，
∵ DF是半圆O的切线，
∴ OD⊥DF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC。
∵ OD=OC，∠C=60°，
∴ △ODC是等边三角形，
∴ ∠ODC=60°=∠A，
∴ OD//AB，
∴ DF⊥AB，即∠AFD=90°。
在Rt△AFD中，∠A=60°，
∴ ∠ADF=30°，
∵ AF=2，
∴ AD=2AF=4。
设半圆O的半径为r，则BC=AC=2r，DC=OC=r，
∴ AC=AD+DC=4+r=2r，解得r=4，
∴ AB=2r=8，
∴ FB=AB-AF=8-2=6。
在Rt△FBG中，∠B=60°，
∴ ∠BFG=30°，
∴ BG=$\frac{1}{2}$FB=3，
由勾股定理得：FG=$\sqrt{FB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合中档题，解题的关键是正确添加辅助线，结合圆的切线性质和等边三角形的特征推导线段间的关系，再通过解直角三角形求出目标线段长度，考查了逻辑推理和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
