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2. 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DOP=20°，则∠OPE=
70
°；若PD=1，则PE=1
。答案
2. 70；1
解析
【分析】
解题思路可分两步走：①求∠OPE：先根据角平分线的定义得到∠POB与已知∠DOP相等，再结合PE⊥OB得到△OPE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出角度；②求PE：根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可直接得到PE与PD的等量关系，代入PD的长度即可得解。
【解析】
1. 计算∠OPE的度数：
∵ OC平分∠AOB，∠DOP=20°，
∴ ∠EOP=∠DOP=20°，
又
∵ PE⊥OB，
∴ ∠PEO=90°，
在Rt△PEO中，两个锐角互余，
∴ ∠OPE=90°-∠EOP=90°-20°=70°。
2. 计算PE的长度：
∵ 点P在∠AOB的角平分线OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ PE=PD，
又
∵ PD=1，
∴ PE=1。
【答案】
70；1
【知识点】
角平分线的定义，角平分线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的基础应用题目，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和性质，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，需注意区分角平分线的定义和性质的适用场景。
【难度系数】
0.9
解题思路可分两步走：①求∠OPE：先根据角平分线的定义得到∠POB与已知∠DOP相等，再结合PE⊥OB得到△OPE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出角度；②求PE：根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可直接得到PE与PD的等量关系，代入PD的长度即可得解。
【解析】
1. 计算∠OPE的度数：
∵ OC平分∠AOB，∠DOP=20°，
∴ ∠EOP=∠DOP=20°，
又
∵ PE⊥OB，
∴ ∠PEO=90°，
在Rt△PEO中，两个锐角互余，
∴ ∠OPE=90°-∠EOP=90°-20°=70°。
2. 计算PE的长度：
∵ 点P在∠AOB的角平分线OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ PE=PD，
又
∵ PD=1，
∴ PE=1。
【答案】
70；1
【知识点】
角平分线的定义，角平分线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的基础应用题目，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和性质，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，需注意区分角平分线的定义和性质的适用场景。
【难度系数】
0.9
3. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则线段PQ的最小值为
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
要解决求线段PQ最小值的问题，首先回忆动点类线段最小值的常见结论：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，因此可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小。再结合已知条件OP是∠MON的角平分线、PA⊥ON，可想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可推出最短的PQ和PA长度相等。
【解析】
过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，此时PQ的长度为最小值，依据是：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ=PA（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵PA=2，
∴PQ的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是先确定PQ取最小值时的位置，再结合角平分线的性质即可快速得到结果，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
要解决求线段PQ最小值的问题，首先回忆动点类线段最小值的常见结论：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，因此可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小。再结合已知条件OP是∠MON的角平分线、PA⊥ON，可想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可推出最短的PQ和PA长度相等。
【解析】
过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，此时PQ的长度为最小值，依据是：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ=PA（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵PA=2，
∴PQ的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是先确定PQ取最小值时的位置，再结合角平分线的性质即可快速得到结果，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，已知$∠ ABC$，D是$∠ ABC$的平分线上的一点，点E，F分别在AB，BC上，且$DE=DF$.试判断$∠ BED$与$∠ BFD$的关系，并说明理由.
答案
4. ∠BED=∠BFD，理由略
解析
【分析】
要判断∠BED与∠BFD的关系，我们可以利用角平分线的性质构造全等三角形推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D分别作AB、BC的垂线，即可得到两个直角三角形，结合已知条件DE=DF，可证明这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等就能得到两个角的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠BED=∠BFD}$，理由如下：
过点D作$DM⊥AB$于点M，$DN⊥BC$于点N。
∵D是$∠ABC$平分线上的点，$DM⊥AB$，$DN⊥BC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠DME=∠DNF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△DME$和$\mathrm{Rt}△DNF$中：
$\{\begin{array}{l}DE=DF\\ DM=DN\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△DME≌\mathrm{Rt}△DNF$（HL）。
∴$∠DEM=∠DFN$，即$∠BED=∠BFD$。
【答案】
$∠BED=∠BFD$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的解题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要判断∠BED与∠BFD的关系，我们可以利用角平分线的性质构造全等三角形推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D分别作AB、BC的垂线，即可得到两个直角三角形，结合已知条件DE=DF，可证明这两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等就能得到两个角的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠BED=∠BFD}$，理由如下：
过点D作$DM⊥AB$于点M，$DN⊥BC$于点N。
∵D是$∠ABC$平分线上的点，$DM⊥AB$，$DN⊥BC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠DME=∠DNF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△DME$和$\mathrm{Rt}△DNF$中：
$\{\begin{array}{l}DE=DF\\ DM=DN\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△DME≌\mathrm{Rt}△DNF$（HL）。
∴$∠DEM=∠DFN$，即$∠BED=∠BFD$。
【答案】
$∠BED=∠BFD$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的解题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,OD⊥BC,垂足为D,△ABC的周长为12,OD=2,则△ABC的面积为
12
。答案
1. 12
解析
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=2。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
$=\frac{1}{2}× OD×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=12$，OD=2，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×12=12$
【答案】
12
【知识点】
角平分线的性质
三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，将大三角形面积转化为三个共高的小三角形面积之和，结合整体代入周长条件求解，是角平分线性质在面积计算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=2。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
$=\frac{1}{2}× OD×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=12$，OD=2，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×12=12$
【答案】
12
【知识点】
角平分线的性质
三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，将大三角形面积转化为三个共高的小三角形面积之和，结合整体代入周长条件求解，是角平分线性质在面积计算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
2. 已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AD垂直平分EF.
B D C
B D C
答案
2. 由角平分线的性质,可得DE=DF,由∠ADE=∠ADF,得AE=AF,所以点A,D在EF的垂直平分线上
解析
【分析】
要证明AD垂直平分EF，可依据线段垂直平分线的判定思路：只要证明点A、点D都在EF的垂直平分线上，再结合两点确定一条直线即可得出结论。第一步先利用角平分线的性质，得到DE=DF，可推出D在EF的垂直平分线上；第二步证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，得到AE=AF，可推出A在EF的垂直平分线上，最终就能推导出AD垂直平分EF。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠AED=∠AFD=90°。
在Rt△ADE和Rt△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\ DE=DF\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF。
根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、点D都在EF的垂直平分线上，又因为两点确定一条直线，因此AD垂直平分EF。
【答案】
由角平分线的性质,可得DE=DF,由∠ADE=∠ADF,得AE=AF,所以点A,D在EF的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可得AD垂直平分EF。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考察了角平分线、全等三角形、线段垂直平分线的相关知识，解题核心是熟练掌握对应性质和判定定理，通过“两点确定一条直线”将两个点在线段垂直平分线上的结论转化为直线垂直平分线段的结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明AD垂直平分EF，可依据线段垂直平分线的判定思路：只要证明点A、点D都在EF的垂直平分线上，再结合两点确定一条直线即可得出结论。第一步先利用角平分线的性质，得到DE=DF，可推出D在EF的垂直平分线上；第二步证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，得到AE=AF，可推出A在EF的垂直平分线上，最终就能推导出AD垂直平分EF。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠AED=∠AFD=90°。
在Rt△ADE和Rt△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\ DE=DF\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF。
根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、点D都在EF的垂直平分线上，又因为两点确定一条直线，因此AD垂直平分EF。
【答案】
由角平分线的性质,可得DE=DF,由∠ADE=∠ADF,得AE=AF,所以点A,D在EF的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可得AD垂直平分EF。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考察了角平分线、全等三角形、线段垂直平分线的相关知识，解题核心是熟练掌握对应性质和判定定理，通过“两点确定一条直线”将两个点在线段垂直平分线上的结论转化为直线垂直平分线段的结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
