6. 按图示的程序计算，若开始输入的$x$为正整数，最后输出的结果为40，则$x$的值是。
（第6题）

解：我们分情况逆推计算符合条件的正整数x：
1. 若第一次运算就直接输出结果：
列方程 $3x+1=40$，
解得 $x=13$，13是正整数，符合条件。
2. 若第一次运算结果不大于30，第二次运算输出结果：
列方程 $3(3x+1)+1=40$，
化简得 $9x+4=40$，
解得 $x=4$，4是正整数，符合条件。
3. 若前两次运算结果都不大于30，第三次运算输出结果：
列方程 $3[3(3x+1)+1]+1=40$，
化简得 $27x+13=40$，
解得 $x=1$，1是正整数，符合条件。
4. 若继续逆推，下一个满足方程的解为$x=0$，不是正整数，不符合要求。
综上，x的值是1或4或13。

7. 解下列方程：
(1) $3x+7=32-2x$；
(2) $\frac{3y-1}{4} -1 = \frac{5y-7}{6}$；
(3) $3(20-y)=6y-4(y-11)$；
(4) $5(x+\frac{1}{2})-$$=7(x+\frac{1}{2})-13$；

解：
(1) 移项，得
$3x + 2x = 32 - 7$
合并同类项，得
$5x = 25$
系数化为1，得
$x = 5$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(3y - 1) - 12 = 2(5y - 7)$
去括号，得
$9y - 3 - 12 = 10y - 14$
移项，得
$9y - 10y = -14 + 3 + 12$
合并同类项，得
$-y = 1$
系数化为1，得
$y = -1$
(3) 去括号，得
$60 - 3y = 6y - 4y + 44$
移项，得
$-3y - 6y + 4y = 44 - 60$
合并同类项，得
$-5y = -16$
系数化为1，得
$y = \frac{16}{5}$
(4) 移项，得
$5(x+\frac{1}{2}) - 7(x+\frac{1}{2}) = -13 + 9$
合并同类项，得
$-2(x+\frac{1}{2}) = -4$
两边同除以$-2$，得
$x + \frac{1}{2} = 2$
移项，得
$x = 2 - \frac{1}{2}$
即 $x = \frac{3}{2}$