10.已知$a^m=4,a^n=3$,则$a^{m+n}$的值为 （）

A.7
B.9
C.12
D.13

10.C

【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的逆应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。题目要求$a^{m+n}$的值，我们可以把法则反过来使用，得到$a^{m+n}=a^m · a^n$，再代入已知的$a^m=4$、$a^n=3$计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n$
将$a^m=4$，$a^n=3$代入上式：
$a^{m+n}=4×3=12$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法法则，幂的运算逆应用
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握同底数幂乘法法则的正向和逆向使用，只要熟悉幂的运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9

11.(1)若$ 2^a · 2^b = 8 $，则$ a + b $的值为；
(2)已知$ 3^x = 4 $，则$ 3^{x+1} = $。

11.(1)3 (2)12

【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可正用也可逆用。
(1) 先利用法则把左边的式子合并为指数是a+b的幂，再把右边的8转化为底数为2的幂，根据同底数幂相等时指数相等即可求出a+b的值；
(2) 逆用同底数幂的乘法法则，把$3^{x+1}$拆分为$3^x$乘3的形式，代入已知的$3^x=4$即可计算出结果。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则可得：$2^a · 2^b = 2^{a+b}$，
又因为$8 = 2^3$，所以$2^{a+b} = 2^3$，
底数相同的幂相等则指数相等，因此$a+b=3$。
(2) 逆用同底数幂的乘法法则：$3^{x+1}=3^x · 3^1$，
已知$3^x=4$，代入得：$3^{x+1}=4×3=12$。
【答案】
(1)3；(2)12
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂乘法的逆用
【点评】
本题是同底数幂乘法相关的基础题型，重点考查法则的正向应用和逆向应用，解题关键是熟练掌握法则，同时要会将常数转化为对应底数的幂来建立指数的等量关系。
【难度系数】
0.9

12.计算：
(1)$x^{m+1} · (-x) · x^{1-m}$；
(2)$x^3 · x^{n-1} - x^4 · x^{n-2} + x^{n+2}$。

12.(1)$-x^3$ (2)$x^{n+2}$

【分析】
解答本题需熟练运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
(1) 先处理负号，将原式转化为同底数幂相乘的形式，再将所有指数相加即可，注意含m的指数会相互抵消；
(2) 先分别计算前两项的同底数幂乘法，得到同类项后再合并同类项，最终得到化简结果。
【解析】
(1) 先处理负号，再根据同底数幂的乘法法则计算：
$\begin{aligned}x^{m+1} · (-x) · x^{1-m}&=-x^{m+1}·x·x^{1-m}\\&=-x^{(m+1)+1+(1-m)}\\&=-x^3\end{aligned}$
(2) 分别计算每一项的同底数幂乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}x^3 · x^{n-1} - x^4 · x^{n-2} + x^{n+2}&=x^{3+(n-1)}-x^{4+(n-2)}+x^{n+2}\\&=x^{n+2}-x^{n+2}+x^{n+2}\\&=x^{n+2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-x^3$；(2)$x^{n+2}$
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础运算题，计算时需注意负号的处理，指数相加时要准确运算，合并同类项时先判断同类项再计算，熟练掌握运算法则即可正确求解。
【难度系数】
0.8

13.规定 $ a*b=2^a × 2^b $，求：
(1)求1*2的值；
(2)若 $ 2*(x+1)=32 $，求x的值。

13.(1)8 (2)2

【分析】
本题是新定义运算结合同底数幂乘法的基础题，解题思路如下：
1. 首先准确理解新运算规则：$a*b$的本质是两个以2为底、$a、b$为指数的幂相乘；
2. 第(1)问直接将$a=1、b=2$代入新运算公式，再利用同底数幂乘法法则计算即可；
3. 第(2)问先按新运算规则将左边的式子转化为同底数幂乘法的形式，计算化简后，将右侧的32转化为以2为底的幂，再利用“同底数的两个非零幂相等，则指数相等”的性质列一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$a*b=2^a × 2^b$，将$a=1,b=2$代入得：
$1*2=2^1 × 2^2$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^1 × 2^2 = 2^{1+2}=2^3=8$
(2) 先根据新运算规则计算左边的式子：
$2*(x+1)=2^2 × 2^{x+1}$
由同底数幂乘法法则化简得：
$2^2 × 2^{x+1}=2^{2+x+1}=2^{x+3}$
已知右侧$32=2^5$，因此原等式可转化为：
$2^{x+3}=2^5$
因为底数2≠0且2≠1，所以两个幂相等时指数相等，即：
$x+3=5$
解得：$x=2$
【答案】
(1)8；(2)2
【知识点】
新定义运算，同底数幂乘法，一元一次方程求解
【点评】
本题考查新定义运算与幂的运算的结合，解题核心是正确理解新运算的规则，将新运算转化为熟悉的幂运算，再结合相关性质求解即可，侧重对基础运算能力和知识迁移能力的考查。
【难度系数】
0.8

14.(1)已知$2^x=3$，求$2^{x+3}$的值；
(2)若$4^{2a+1}=64$，求$a$的值。

14.(1)24 (2)1

【分析】
(1) 解题思路：本题可逆用同底数幂的乘法公式$a^{m+n}=a^m·a^n$，将待求式$2^{x+3}$拆分为$2^x$与$2^3$的乘积，再代入已知条件$2^x=3$即可计算结果。
(2) 解题思路：先将等式右边的64转化为以4为底的幂的形式，再根据“底数相同的两个幂相等，则指数相等”的性质，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$2^{x+3}=2^x × 2^3$
已知$2^x=3$，代入上式得：
$2^{x+3}=3 × 8=24$
(2) 先化简等式右边：$64=4^3$
因此原等式可转化为：
$4^{2a+1}=4^3$
因为底数相同的幂相等时，对应指数相等，所以：
$2a+1=3$
移项计算得：$2a=2$，解得$a=1$
【答案】
(1)24；(2)1
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的性质、解一元一次方程
【点评】
本题侧重考察幂的运算性质的灵活运用，既包含公式的逆向使用，也包含同底数幂相等的性质应用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算规则，能快速对幂的形式进行合理转化，是幂运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8

15.若$a\oplus b=c$,则$a^c=b$,例如$2\oplus8=3$,则$2^3=8$.
(1)根据上述规定,$4\oplus64=$;
(2)记$2\oplus3=a$,$2\oplus5=b$,$2\oplus15=c$,求$a,b,c$之间的数量关系.

15.(1)3 (2)$a+b=c$

【分析】
首先明确题目给出的新运算规则：若$a \oplus b = c$，则$a^c = b$，即新运算的结果是使底数$a$的幂等于$b$的指数。第(1)问直接代入新运算规则，找到4的多少次幂等于64即可得解；第(2)问先根据新运算规则把$a、b、c$转化为对应的幂的等式，再结合同底数幂的乘法法则，利用$3×5=15$的数量关系推导三者的数量关系。
【解析】
(1) 设$4 \oplus 64 = x$，根据新运算规则可得$4^x = 64$。
因为$4^3 = 4×4×4 = 64$，所以$x=3$，即$4 \oplus 64 = 3$。
(2) 根据新运算规则：
由$2 \oplus 3 = a$可得$2^a = 3$；
由$2 \oplus 5 = b$可得$2^b = 5$；
由$2 \oplus 15 = c$可得$2^c = 15$。
已知$3×5=15$，代入上述式子得：
$2^a × 2^b = 2^c$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a+b} = 2^c$。
因为底数相同、幂相等时指数也相等，所以$a+b = c$。
【答案】
(1) $3$；(2) $a+b=c$
【知识点】
自定义新运算，同底数幂的乘法，幂的性质
【点评】
本题结合自定义运算考查幂运算的应用，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为已学的幂运算问题，侧重考查知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7