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6.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有
46
两。答案
6. 46
解析
【分析】
这是一道典型的盈亏类实际应用题，解题核心是抓住分配过程中的不变量：总人数和银子总数量均保持不变。我们可以先设客人的人数为未知数，分别用两种分配方式表示出银子的总数量，根据银子总数量相等列方程求解，算出人数后再代入式子就能得到银子的总数量。
【解析】
解：设一共有$x$名客人。
根据“每人7两，还剩4两”，可得银子总数量为$7x + 4$两；
根据“每人9两，则差8两”，可得银子总数量为$9x - 8$两。
因为银子总数量不变，因此列方程：
$7x + 4 = 9x - 8$
移项得：$9x - 7x = 4 + 8$
合并同类项得：$2x = 12$
系数化为1得：$x = 6$
将$x=6$代入$7x + 4$，得银子总数量为：$7×6 + 4 = 46$（两）
【答案】
46
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系列方程
【点评】
本题源自我国古代数学著作，趣味性较强，核心考察学生从实际问题中提取不变量、建立等量关系的能力，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的盈亏类实际应用题，解题核心是抓住分配过程中的不变量：总人数和银子总数量均保持不变。我们可以先设客人的人数为未知数，分别用两种分配方式表示出银子的总数量，根据银子总数量相等列方程求解，算出人数后再代入式子就能得到银子的总数量。
【解析】
解：设一共有$x$名客人。
根据“每人7两，还剩4两”，可得银子总数量为$7x + 4$两；
根据“每人9两，则差8两”，可得银子总数量为$9x - 8$两。
因为银子总数量不变，因此列方程：
$7x + 4 = 9x - 8$
移项得：$9x - 7x = 4 + 8$
合并同类项得：$2x = 12$
系数化为1得：$x = 6$
将$x=6$代入$7x + 4$，得银子总数量为：$7×6 + 4 = 46$（两）
【答案】
46
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系列方程
【点评】
本题源自我国古代数学著作，趣味性较强，核心考察学生从实际问题中提取不变量、建立等量关系的能力，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7.若干学生分若干支铅笔，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支，试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
答案
7.解:设共有x名学生.根据题意,得5x+3=7x−5.解得x=4.5x+3=5×4+3=23.答:共有4名学生,23支铅笔.
解析
【分析】
这是典型的分配类实际应用题，解题核心是抓住铅笔总数量不变这一隐含的不变量。第一步先设未知数，可直接设学生人数为x名；第二步用含x的式子分别表示两种分配方式下的铅笔总数量：每人分5支多余3支，总铅笔数为5x+3；每人分7支缺5支，说明总铅笔数比7x少5，即7x-5；第三步根据铅笔总数相等列方程，解方程求出学生人数后，代入任意一个表示铅笔总数的式子，即可算出铅笔的总数量。
【解析】
解：设共有x名学生。
根据铅笔总数量不变，列方程得：
$5x + 3 = 7x - 5$
移项，得：$5x - 7x = -5 - 3$
合并同类项，得：$-2x = -8$
系数化为1，得：$x = 4$
将$x=4$代入$5x+3$，可得铅笔总数为：
$5×4 + 3 = 23$（支）
答：共有4名学生，23支铅笔。
【答案】
共有4名学生，23支铅笔。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题属于分配型基础应用题，解题的关键是找到题目中隐含的不变量，以此为依据建立方程求解，是列方程解应用题的常规题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的分配类实际应用题，解题核心是抓住铅笔总数量不变这一隐含的不变量。第一步先设未知数，可直接设学生人数为x名；第二步用含x的式子分别表示两种分配方式下的铅笔总数量：每人分5支多余3支，总铅笔数为5x+3；每人分7支缺5支，说明总铅笔数比7x少5，即7x-5；第三步根据铅笔总数相等列方程，解方程求出学生人数后，代入任意一个表示铅笔总数的式子，即可算出铅笔的总数量。
【解析】
解：设共有x名学生。
根据铅笔总数量不变，列方程得：
$5x + 3 = 7x - 5$
移项，得：$5x - 7x = -5 - 3$
合并同类项，得：$-2x = -8$
系数化为1，得：$x = 4$
将$x=4$代入$5x+3$，可得铅笔总数为：
$5×4 + 3 = 23$（支）
答：共有4名学生，23支铅笔。
【答案】
共有4名学生，23支铅笔。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题属于分配型基础应用题，解题的关键是找到题目中隐含的不变量，以此为依据建立方程求解，是列方程解应用题的常规题型。
【难度系数】
0.8
8.某服装厂接到一批校服的生产加工任务,要求按计划天数加工完成.该厂如果每天加工20套校服,按计划时间交货时,比订货任务少加工100套;如果每天加工23套校服,按计划时间交货时,还能比订货任务多加工20套.这批校服的加工任务是多少套?原计划多少天加工完成?
答案
8.解:设原计划x天加工完成.根据题意,得20x+100=23x−20.解得x=40.20x+100=20×40+100=900.答:这批校服的加工任务是900套,原计划40天加工完成.
解析
【分析】
这是典型的实际应用问题，解题核心是抓住题中的不变量：这批校服的总加工任务、原计划加工天数是固定的。我们可以设原计划加工天数为未知数，根据“两种加工方式下总订货任务相等”的等量关系列方程求解。首先设原计划x天完成，再分别用含x的式子表示两种情况的总任务：每天加工20套时，总任务为20x加上少加工的100套；每天加工23套时，总任务为23x减去多加工的20套，最后令两个式子相等列方程，解出天数后代入计算总任务即可。
【解析】
解：设原计划x天加工完成。
根据总订货任务相等列方程：
$20x + 100 = 23x - 20$
移项得：$23x - 20x = 100 + 20$
合并同类项得：$3x = 120$
解得：$x = 40$
将$x=40$代入$20x+100$计算总任务：
$20×40 + 100 = 900$（套）
答：这批校服的加工任务是900套，原计划40天加工完成。
【答案】
这批校服的加工任务是900套，原计划40天加工完成。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 实际问题等量关系寻找
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是找准题目中的不变量，构建对应等量关系列出方程，计算量较小，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的实际应用问题，解题核心是抓住题中的不变量：这批校服的总加工任务、原计划加工天数是固定的。我们可以设原计划加工天数为未知数，根据“两种加工方式下总订货任务相等”的等量关系列方程求解。首先设原计划x天完成，再分别用含x的式子表示两种情况的总任务：每天加工20套时，总任务为20x加上少加工的100套；每天加工23套时，总任务为23x减去多加工的20套，最后令两个式子相等列方程，解出天数后代入计算总任务即可。
【解析】
解：设原计划x天加工完成。
根据总订货任务相等列方程：
$20x + 100 = 23x - 20$
移项得：$23x - 20x = 100 + 20$
合并同类项得：$3x = 120$
解得：$x = 40$
将$x=40$代入$20x+100$计算总任务：
$20×40 + 100 = 900$（套）
答：这批校服的加工任务是900套，原计划40天加工完成。
【答案】
这批校服的加工任务是900套，原计划40天加工完成。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 实际问题等量关系寻找
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是找准题目中的不变量，构建对应等量关系列出方程，计算量较小，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
9. A,B两地相距4 km,甲、乙二人分别从A,B两地同时出发,同向而行,开始时乙在前,甲在后.已知甲每小时行驶5 km,甲2 h追上乙,设乙每小时行驶x km,根据图中的线段示意图可列方程:
2×5−2x=4
.答案
9. 2×5−2x=4
解析
【分析】
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及过程中的路程等量关系。首先明确：甲、乙同时出发到甲追上乙时，两人的行驶时间均为2h；追及问题中，快者行驶的路程减去慢者行驶的路程等于两人初始的距离差。接下来我们分别表示出甲、乙2小时行驶的路程，结合初始相距4km的条件，就能列出方程。
【解析】
首先根据“路程=速度×时间”，分别计算两人2小时的行驶路程：
1. 甲的速度为5km/h，行驶2h的路程为：$2×5$ km；
2. 乙的速度为x km/h，行驶2h的路程为：$2x$ km。
因为出发时甲在A地、乙在B地，两人同向而行且乙在前，初始距离差为4km，甲追上乙时，甲比乙多行驶的路程刚好等于初始的4km距离差，因此可列方程：
$2×5 - 2x = 4$
【答案】
$2×5 - 2x = 4$
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题；路程公式
【点评】
本题是行程问题的基础题型，解题关键是理解追及过程中路程差等于初始的相距距离，结合路程计算公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及过程中的路程等量关系。首先明确：甲、乙同时出发到甲追上乙时，两人的行驶时间均为2h；追及问题中，快者行驶的路程减去慢者行驶的路程等于两人初始的距离差。接下来我们分别表示出甲、乙2小时行驶的路程，结合初始相距4km的条件，就能列出方程。
【解析】
首先根据“路程=速度×时间”，分别计算两人2小时的行驶路程：
1. 甲的速度为5km/h，行驶2h的路程为：$2×5$ km；
2. 乙的速度为x km/h，行驶2h的路程为：$2x$ km。
因为出发时甲在A地、乙在B地，两人同向而行且乙在前，初始距离差为4km，甲追上乙时，甲比乙多行驶的路程刚好等于初始的4km距离差，因此可列方程：
$2×5 - 2x = 4$
【答案】
$2×5 - 2x = 4$
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题；路程公式
【点评】
本题是行程问题的基础题型，解题关键是理解追及过程中路程差等于初始的相距距离，结合路程计算公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
10.如图，甲、乙两人分别从A，B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经4 h两人在C地相遇，相遇后乙经1 h到达A地.
(1)乙的行驶速度是甲的
(2)若已知相遇时乙比甲多行驶了120 km，求甲、乙行驶的速度分别是多少.
(1)乙的行驶速度是甲的
4
倍；(2)若已知相遇时乙比甲多行驶了120 km，求甲、乙行驶的速度分别是多少.
答案
10.解:(1)4 (2)设甲行驶的速度是x km/h,则乙行驶的速度是4x km/h.根据题意,得4(4x−x)=120.解得x=10.4x=4×10=40.答:甲行驶的速度是10 km/h,乙行驶的速度是40 km/h.
解析
【分析】
(1) 要推导甲乙速度的倍数关系，先找到相等的路程：相遇时甲4小时行驶的路程就是A到C的距离，这段路程相遇后乙仅用1小时就走完，根据“路程=速度×时间”，同一段路程的速度与时间的乘积相等，即可求出速度的倍数关系。
(2) 已知相遇时乙比甲多行驶120km，相遇时两人都行驶了4小时，以“乙4小时行驶的路程减去甲4小时行驶的路程等于120km”为等量关系，结合第一问得到的速度倍数关系，设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设甲的行驶速度为$v_甲$，乙的行驶速度为$v_乙$。
A、C两地的距离等于相遇前甲4小时行驶的路程，即$AC = 4v_甲$；
同时A、C两地的距离也等于相遇后乙1小时行驶的路程，即$AC = 1× v_乙$。
因此$4v_甲 = v_乙$，即乙的行驶速度是甲的4倍。
(2) 设甲行驶的速度是$x$ km/h，由(1)可知乙的行驶速度是$4x$ km/h。
相遇时两人均行驶了4小时，根据乙比甲多行驶120km，可列方程：
$4×(4x - x) = 120$
化简得$12x=120$，解得$x=10$
则乙的速度为$4x=4×10=40$（km/h）
【答案】
(1) 4；(2) 甲行驶的速度是10 km/h，乙行驶的速度是40 km/h
【知识点】
行程相遇问题；一元一次方程的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题核心是抓住相遇前后两人行驶的同一段路程相等这一隐含条件，得到速度的数量关系，再结合路程差列方程求解，解题时需注意区分各段路程对应的行驶主体和时间，避免混淆。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导甲乙速度的倍数关系，先找到相等的路程：相遇时甲4小时行驶的路程就是A到C的距离，这段路程相遇后乙仅用1小时就走完，根据“路程=速度×时间”，同一段路程的速度与时间的乘积相等，即可求出速度的倍数关系。
(2) 已知相遇时乙比甲多行驶120km，相遇时两人都行驶了4小时，以“乙4小时行驶的路程减去甲4小时行驶的路程等于120km”为等量关系，结合第一问得到的速度倍数关系，设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设甲的行驶速度为$v_甲$，乙的行驶速度为$v_乙$。
A、C两地的距离等于相遇前甲4小时行驶的路程，即$AC = 4v_甲$；
同时A、C两地的距离也等于相遇后乙1小时行驶的路程，即$AC = 1× v_乙$。
因此$4v_甲 = v_乙$，即乙的行驶速度是甲的4倍。
(2) 设甲行驶的速度是$x$ km/h，由(1)可知乙的行驶速度是$4x$ km/h。
相遇时两人均行驶了4小时，根据乙比甲多行驶120km，可列方程：
$4×(4x - x) = 120$
化简得$12x=120$，解得$x=10$
则乙的速度为$4x=4×10=40$（km/h）
【答案】
(1) 4；(2) 甲行驶的速度是10 km/h，乙行驶的速度是40 km/h
【知识点】
行程相遇问题；一元一次方程的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题核心是抓住相遇前后两人行驶的同一段路程相等这一隐含条件，得到速度的数量关系，再结合路程差列方程求解，解题时需注意区分各段路程对应的行驶主体和时间，避免混淆。
【难度系数】
0.7
