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例3 △ABC在平面直角坐标系中的位置如图4-14所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，画出平移后的△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标.
（2）将△ABC绕点(-1,0)按顺时针方向旋转180°，画出旋转后的△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标.
（3）观察△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，画出平移后的△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标.
（2）将△ABC绕点(-1,0)按顺时针方向旋转180°，画出旋转后的△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标.
（3）观察△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.
答案
解：
（1）图略，平移后的△A₁B₁C₁各顶点坐标为：
$A_1(0,3)$，$B_1(-2,2)$，$C_1(-1,1)$。
（2）图略，旋转后的△A₂B₂C₂各顶点坐标为：
$A_2(0,-3)$，$B_2(2,-2)$，$C_2(1,-1)$。
（3）△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂关于某点成中心对称，对称中心的坐标为$(0,0)$。
（1）图略，平移后的△A₁B₁C₁各顶点坐标为：
$A_1(0,3)$，$B_1(-2,2)$，$C_1(-1,1)$。
（2）图略，旋转后的△A₂B₂C₂各顶点坐标为：
$A_2(0,-3)$，$B_2(2,-2)$，$C_2(1,-1)$。
（3）△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂关于某点成中心对称，对称中心的坐标为$(0,0)$。
解析
【分析】
解题首先先确定原△ABC三个顶点的坐标：观察网格可得A(-2,3)、B(-4,2)、C(-3,1)。
1. 解决平移问题：向右平移2个单位长度，遵循“横坐标加2，纵坐标不变”的平移坐标变化规律，即可算出平移后各顶点坐标，描点连线得到平移后的图形。
2. 解决旋转180°问题：绕定点旋转180°本质是关于该定点成中心对称，对应点连线的中点为旋转中心，根据中点坐标公式反推即可得到旋转后各顶点的坐标，描点连线得到旋转后的图形。
3. 解决中心对称判定问题：若两个图形成中心对称，则所有对应点连线的中点为同一个对称中心，只需计算三组对应点连线的中点，判断是否为同一点即可。
【解析】
首先确定原△ABC各顶点坐标：A(-2,3)，B(-4,2)，C(-3,1)。
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，横坐标加2，纵坐标不变：
A₁的坐标：$-2+2=0$，纵坐标为3，即$A_1(0,3)$；
B₁的坐标：$-4+2=-2$，纵坐标为2，即$B_1(-2,2)$；
C₁的坐标：$-3+2=-1$，纵坐标为1，即$C_1(-1,1)$；
在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
（2）绕点(-1,0)顺时针旋转180°，设原点点坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(x',y')$，根据中点坐标公式可得：$\frac{x+x'}{2}=-1$，$\frac{y+y'}{2}=0$，推导得$x'=-2-x$，$y'=-y$：
A₂的坐标：$x'=-2-(-2)=0$，$y'=-3$，即$A_2(0,-3)$；
B₂的坐标：$x'=-2-(-4)=2$，$y'=-2$，即$B_2(2,-2)$；
C₂的坐标：$x'=-2-(-3)=1$，$y'=-1$，即$C_2(1,-1)$；
在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
（3）计算三组对应点连线的中点：
$A_1(0,3)$与$A_2(0,-3)$的中点：$(\frac{0+0}{2},\frac{3+(-3)}{2})=(0,0)$；
$B_1(-2,2)$与$B_2(2,-2)$的中点：$(\frac{-2+2}{2},\frac{2+(-2)}{2})=(0,0)$；
$C_1(-1,1)$与$C_2(1,-1)$的中点：$(\frac{-1+1}{2},\frac{1+(-1)}{2})=(0,0)$；
所有对应点连线的中点均为$(0,0)$，说明两个三角形关于该点成中心对称。
【答案】
（1）$A_1(0,3)$，$B_1(-2,2)$，$C_1(-1,1)$，图略；
（2）$A_2(0,-3)$，$B_2(2,-2)$，$C_2(1,-1)$，图略；
（3）是，对称中心的坐标为$(0,0)$。
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，中心对称判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转以及中心对称的相关知识，核心是掌握不同变换对应的坐标变化规律，解题时注意找准变换参照点，计算坐标时避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题首先先确定原△ABC三个顶点的坐标：观察网格可得A(-2,3)、B(-4,2)、C(-3,1)。
1. 解决平移问题：向右平移2个单位长度，遵循“横坐标加2，纵坐标不变”的平移坐标变化规律，即可算出平移后各顶点坐标，描点连线得到平移后的图形。
2. 解决旋转180°问题：绕定点旋转180°本质是关于该定点成中心对称，对应点连线的中点为旋转中心，根据中点坐标公式反推即可得到旋转后各顶点的坐标，描点连线得到旋转后的图形。
3. 解决中心对称判定问题：若两个图形成中心对称，则所有对应点连线的中点为同一个对称中心，只需计算三组对应点连线的中点，判断是否为同一点即可。
【解析】
首先确定原△ABC各顶点坐标：A(-2,3)，B(-4,2)，C(-3,1)。
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，横坐标加2，纵坐标不变：
A₁的坐标：$-2+2=0$，纵坐标为3，即$A_1(0,3)$；
B₁的坐标：$-4+2=-2$，纵坐标为2，即$B_1(-2,2)$；
C₁的坐标：$-3+2=-1$，纵坐标为1，即$C_1(-1,1)$；
在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
（2）绕点(-1,0)顺时针旋转180°，设原点点坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(x',y')$，根据中点坐标公式可得：$\frac{x+x'}{2}=-1$，$\frac{y+y'}{2}=0$，推导得$x'=-2-x$，$y'=-y$：
A₂的坐标：$x'=-2-(-2)=0$，$y'=-3$，即$A_2(0,-3)$；
B₂的坐标：$x'=-2-(-4)=2$，$y'=-2$，即$B_2(2,-2)$；
C₂的坐标：$x'=-2-(-3)=1$，$y'=-1$，即$C_2(1,-1)$；
在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
（3）计算三组对应点连线的中点：
$A_1(0,3)$与$A_2(0,-3)$的中点：$(\frac{0+0}{2},\frac{3+(-3)}{2})=(0,0)$；
$B_1(-2,2)$与$B_2(2,-2)$的中点：$(\frac{-2+2}{2},\frac{2+(-2)}{2})=(0,0)$；
$C_1(-1,1)$与$C_2(1,-1)$的中点：$(\frac{-1+1}{2},\frac{1+(-1)}{2})=(0,0)$；
所有对应点连线的中点均为$(0,0)$，说明两个三角形关于该点成中心对称。
【答案】
（1）$A_1(0,3)$，$B_1(-2,2)$，$C_1(-1,1)$，图略；
（2）$A_2(0,-3)$，$B_2(2,-2)$，$C_2(1,-1)$，图略；
（3）是，对称中心的坐标为$(0,0)$。
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，中心对称判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转以及中心对称的相关知识，核心是掌握不同变换对应的坐标变化规律，解题时注意找准变换参照点，计算坐标时避免符号错误。
【难度系数】
0.7
（1）下列说法中，能确定物体位置的是（）。
A.东经 110°、北纬 20°
B.离小明家 5 km 的大楼
C.电影院中 20 座
D.北偏西 55°方向
A.东经 110°、北纬 20°
B.离小明家 5 km 的大楼
C.电影院中 20 座
D.北偏西 55°方向
答案
A
解析
【分析】
要判断能否确定物体位置，首先要明确：平面内确定一个点的位置需要两个相互独立的有效信息，二者缺一不可。我们只需要以此为标准逐一分析每个选项是否满足条件，就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 东经110°是经度信息，北纬20°是纬度信息，两个独立数据可以唯一锁定地球表面的一个具体位置，符合要求；
B. 仅给出“离小明家5km”的距离信息，没有说明方向，满足该距离的位置有无数个，无法确定唯一的大楼位置，不符合要求；
C. 电影院座位需要“排数”和“座号”两个信息，仅给出20座，没有对应排数，无法确定具体位置，不符合要求；
D. 仅给出“北偏西55°”的方向信息，没有说明距离观测点的距离，满足该方向的位置有无数个，无法确定具体位置，不符合要求。
综上，只有A选项能确定物体位置。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面内位置的确定
2. 方位角定位
【点评】
本题考查位置确定的基本条件，解题关键是牢记平面内定位需要两个独立的有效信息，只有同时具备两类信息才能唯一确定位置，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
要判断能否确定物体位置，首先要明确：平面内确定一个点的位置需要两个相互独立的有效信息，二者缺一不可。我们只需要以此为标准逐一分析每个选项是否满足条件，就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 东经110°是经度信息，北纬20°是纬度信息，两个独立数据可以唯一锁定地球表面的一个具体位置，符合要求；
B. 仅给出“离小明家5km”的距离信息，没有说明方向，满足该距离的位置有无数个，无法确定唯一的大楼位置，不符合要求；
C. 电影院座位需要“排数”和“座号”两个信息，仅给出20座，没有对应排数，无法确定具体位置，不符合要求；
D. 仅给出“北偏西55°”的方向信息，没有说明距离观测点的距离，满足该方向的位置有无数个，无法确定具体位置，不符合要求。
综上，只有A选项能确定物体位置。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面内位置的确定
2. 方位角定位
【点评】
本题考查位置确定的基本条件，解题关键是牢记平面内定位需要两个独立的有效信息，只有同时具备两类信息才能唯一确定位置，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
（2）平面直角坐标系的第三象限内有一点P，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为（）。
A.$(-3,2)$
B.$(-2,3)$
C.$(-3,-2)$
D.$(-2,-3)$
A.$(-3,2)$
B.$(-2,3)$
C.$(-3,-2)$
D.$(-2,-3)$
答案
D
解析
【分析】
解题时可按两步推导：第一步明确点到坐标轴的距离和坐标的对应关系：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，据此先确定点P横、纵坐标的绝对值；第二步结合第三象限内点的坐标符号特征（横、纵坐标均为负数），即可确定点P的具体坐标，再匹配对应选项。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$：
1. 根据点到坐标轴的距离规则：点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值。已知P到x轴距离是3，到y轴距离是2，因此可得$|y|=3$，$|x|=2$。
2. 因为点P在第三象限，第三象限内的点横坐标小于0、纵坐标小于0，因此$x=-2$，$y=-3$。
所以点P的坐标为$(-2,-3)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，易错点在于混淆点到x轴、y轴的距离对应的坐标类型，或者记错各象限点的符号规律，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步推导：第一步明确点到坐标轴的距离和坐标的对应关系：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，据此先确定点P横、纵坐标的绝对值；第二步结合第三象限内点的坐标符号特征（横、纵坐标均为负数），即可确定点P的具体坐标，再匹配对应选项。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$：
1. 根据点到坐标轴的距离规则：点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值。已知P到x轴距离是3，到y轴距离是2，因此可得$|y|=3$，$|x|=2$。
2. 因为点P在第三象限，第三象限内的点横坐标小于0、纵坐标小于0，因此$x=-2$，$y=-3$。
所以点P的坐标为$(-2,-3)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，易错点在于混淆点到x轴、y轴的距离对应的坐标类型，或者记错各象限点的符号规律，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（3）在平面直角坐标系中，点$P(m-1,\dfrac{1+m}{2})$在第二象限，则$m$的取值范围是（）。
A.$m＜1$
B.$m＞-1$
C.$-1＜m＜1$
D.$-1≤ m≤1$
A.$m＜1$
B.$m＞-1$
C.$-1＜m＜1$
D.$-1≤ m≤1$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为正。根据点P的坐标可列出关于m的一元一次不等式组，分别求解两个不等式后，取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 平面直角坐标系中第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，点$P(m-1,\dfrac{1+m}{2})$在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\{\begin{array}{l}m-1＜0 \quad \mathrm{①} \\ \dfrac{1+m}{2}＞0 \quad \mathrm{②}\end{array} $
解不等式①：移项得$m＜1$
解不等式②：两边同乘2得$1+m＞0$，移项得$m＞-1$
∴ 不等式组的解集为$-1＜m＜1$，即m的取值范围是$-1＜m＜1$
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是坐标系与不等式的基础综合题，核心是牢记各象限内点的坐标符号规律，结合解不等式组的方法即可求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平面直角坐标系中第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为正。根据点P的坐标可列出关于m的一元一次不等式组，分别求解两个不等式后，取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 平面直角坐标系中第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，点$P(m-1,\dfrac{1+m}{2})$在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\{\begin{array}{l}m-1＜0 \quad \mathrm{①} \\ \dfrac{1+m}{2}＞0 \quad \mathrm{②}\end{array} $
解不等式①：移项得$m＜1$
解不等式②：两边同乘2得$1+m＞0$，移项得$m＞-1$
∴ 不等式组的解集为$-1＜m＜1$，即m的取值范围是$-1＜m＜1$
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是坐标系与不等式的基础综合题，核心是牢记各象限内点的坐标符号规律，结合解不等式组的方法即可求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
（4）如图是象棋棋盘的一部分，如果用$(1,-2)$表示“帥”的位置，那么点$(-2,1)$上的棋子是().
A.“相”
B.“馬”
C.“炮”
D.“兵”
[第1(4)题]
A.“相”
B.“馬”
C.“炮”
D.“兵”
[第1(4)题]
答案
C
解析
【分析】
要确定坐标$(-2,1)$对应的棋子，首先需要根据已知“帥”的坐标$(1,-2)$明确坐标系规则：水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度。接下来根据坐标的含义，横坐标表示水平方向位置，向左x减小、向右x增大；纵坐标表示竖直方向位置，向下y减小、向上y增大，通过平移找到$(-2,1)$对应的位置即可判断棋子类型。
【解析】
解：已知“帥”的位置为$(1,-2)$，由此可得坐标系规则：水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每格代表1个单位长度。
要找坐标$(-2,1)$的位置：
1. 横坐标对比：$-2$比“帥”的横坐标1小$1-(-2)=3$，即从“帥”的位置向左平移3格；
2. 纵坐标对比：$1$比“帥”的纵坐标$-2$大$1-(-2)=3$，即从“帥”的位置向上平移3格；
平移后对应位置的棋子为“炮”。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置
【点评】
本题是坐标应用的基础题，解题关键是根据已知点的坐标明确坐标系的正方向和单位长度，再结合坐标的平移规律找到目标点对应的位置，考查对坐标含义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9
要确定坐标$(-2,1)$对应的棋子，首先需要根据已知“帥”的坐标$(1,-2)$明确坐标系规则：水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度。接下来根据坐标的含义，横坐标表示水平方向位置，向左x减小、向右x增大；纵坐标表示竖直方向位置，向下y减小、向上y增大，通过平移找到$(-2,1)$对应的位置即可判断棋子类型。
【解析】
解：已知“帥”的位置为$(1,-2)$，由此可得坐标系规则：水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每格代表1个单位长度。
要找坐标$(-2,1)$的位置：
1. 横坐标对比：$-2$比“帥”的横坐标1小$1-(-2)=3$，即从“帥”的位置向左平移3格；
2. 纵坐标对比：$1$比“帥”的纵坐标$-2$大$1-(-2)=3$，即从“帥”的位置向上平移3格；
平移后对应位置的棋子为“炮”。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置
【点评】
本题是坐标应用的基础题，解题关键是根据已知点的坐标明确坐标系的正方向和单位长度，再结合坐标的平移规律找到目标点对应的位置，考查对坐标含义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9
