如图1-13,要在一条笔直的路边l上修建一个燃气站,向l同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.要求燃气站到A,B两个城镇的距离相等,该燃气站应修建在什么位置?在图上标出它的位置. 图1-13

解：
作法：
1. 连接点A、B；
2. 作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P。
点P即为所求的燃气站的位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB，点P满足到A、B两个城镇距离相等的要求。

【分析】
首先明确燃气站需要满足两个条件：①建在直线l上；②到A、B两个城镇的距离相等。根据所学知识，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有满足到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，我们只需找到线段AB的垂直平分线与直线l的交点，该点就同时满足两个条件，即为所求的燃气站位置。
【解析】
作法如下：
1. 连接A、B两点，得到线段AB；
2. 用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线l相交于点P。
依据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点P到A、B的距离相等，同时点P在直线l上，符合选址要求。
【答案】
连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P，点P即为所求的燃气站位置。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的实际应用题目，解题核心是将实际问题转化为数学问题，把“到两点距离相等”的要求转化为找线段的垂直平分线，再结合“在直线l上”的条件找交点即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

例1 如图1-14，在△ABC中，BC=8，边BC的垂直平分线分别与边AB，BC相交于点E，D，BE=5. 求△BCE的周长. 图1-14

解：
∵ ED是BC的垂直平分线，
∴ EC = BE = 5。
又∵ BC = 8，
∴ △BCE的周长 = BE + EC + BC = 5 + 5 + 8 = 18。

【分析】
要求△BCE的周长，需要先明确三角形周长是三边长度之和，已知BC=8、BE=5，只需要求出EC的长度即可。观察图形可得ED是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，点E在BC的垂直平分线上，因此EC=BE，即可得到EC的长度，代入周长公式计算即可。
【解析】
∵ ED是BC的垂直平分线，
∴ EC = BE = 5。
又
∵ BC = 8，
∴ △BCE的周长 = BE + EC + BC = 5 + 5 + 8 = 18。
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质，将未知边EC转化为已知长度的BE，即可快速求出三角形周长，不需要复杂推导，掌握对应性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.9

例2 如图1-15,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$O$是$△ ABC$内一点,且$OB=OC$.求证:直线$AO$垂直平分线段$BC$.

证明：
∵ AB = AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又∵ OB = OC，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AO垂直平分线段BC。

【分析】
要证明直线AO垂直平分线段BC，可结合线段垂直平分线的判定定理推导：首先回忆判定定理“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，我们先根据已知条件AB=AC，可判断点A在BC的垂直平分线上；再根据OB=OC，可判断点O也在BC的垂直平分线上；最后根据“两点确定一条直线”的基本事实，就能得出点A和点O所在的直线AO就是BC的垂直平分线。
【解析】
证明：
∵ AB = AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵ OB = OC，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AO垂直平分线段BC。
【答案】
证明过程如上，直线AO垂直平分线段BC成立。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用，无需通过全等三角形推导，直接利用判定定理结合直线的基本事实即可快速求证，能够帮助学生熟悉定理的直接运用，简化几何证明步骤。
【难度系数】
0.8

1.（1）线段垂直平分线上的点到的距离相等.
如图，∵ 点P在线段AB的垂直平分线l上，
∴ = .
（2）到的距离相等的点在线段垂直平分线上.
如图，∵ = ，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线l上.

解：
（1）线段两个端点；$PA$；$PB$
（2）线段两个端点；$PA$；$PB$

【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质与判定的基础应用：
1. 解决第(1)问时，先回忆线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，结合图形中点P在AB的垂直平分线上的条件，即可得到P到A、B两个端点的距离相等，即PA=PB。
2. 解决第(2)问时，回忆线段垂直平分线的判定定理，它是性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只要满足PA=PB，就可推出点P在AB的垂直平分线上。
【解析】
（1）根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线l上，
∴点P到A、B两个端点的距离相等，即$PA=PB$。
（2）根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
∵$PA=PB$，即点P到A、B两个端点的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线l上。
【答案】
（1）线段两个端点；$PA$；$PB$
（2）线段两个端点；$PA$；$PB$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查线段垂直平分线的性质和判定的内容，二者是互逆的逻辑关系，性质可用来推导线段相等，判定可用来证明点在垂直平分线上，是几何中很常用的基础定理。
【难度系数】
0.9

2.（1）如图，在$△ ABC$中，$DE$，$EF$分别是边$AB$，$AC$的垂直平分线，$AE=3$，$BC=5$，则$△ BCE$的周长是。
（2）如图，$AB=4$，$PA=PB$，$QA=QB$，连接$PQ$，交$AB$于点$C$，则$AC=$。

(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{2}$

【分析】
（1）解题思路：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。已知DE、EF分别是AB、AC的垂直平分线，点E是两条垂直平分线的交点，因此可推出EB=AE、EC=AE，得到BE和CE的长度后，代入△BCE的周长公式（周长=BC+BE+CE）即可计算出结果。
（2）解题思路：根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由PA=PB、QA=QB可得P、Q两点都在AB的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，可知PQ是AB的垂直平分线，因此C是AB的中点，结合AB的长度即可求出AC的长度。
【解析】
（1）
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴$EB = AE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵EF是AC的垂直平分线，点E在EF上，
∴$EC = AE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
已知$AE=3$，
∴$EB=EC=3$，
又
∵$BC=5$，
∴$△ BCE$的周长$= BC + EB + EC = 5 + 3 + 3 = 11$。
（2）
∵$PA=PB$，
∴点P在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵$QA=QB$，
∴点Q在AB的垂直平分线上，
∴PQ是AB的垂直平分线（两点确定一条直线），
∵PQ交AB于点C，
∴C是AB的中点，即$AC=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=4$，
∴$AC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{11}$；（2）$\boldsymbol{2}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定
【点评】
这两道题是线段垂直平分线相关定理的基础应用，解题核心是准确对应垂直平分线的性质和判定条件，快速建立已知线段和待求线段的数量关系，熟练掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85