知识储备
1. 角的平分线上的点到角的两边的相等.
2. 证明一个用文字语言叙述的几何命题的一般步骤:(1)明确命题中和.
(2)根据题意,并用符号表示已知和求证.(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
01 基础练 必备知识梳理

1. 距离 2.(1)已知 求证 (2)画出图形

【分析】
这两道题均属于教材基础概念识记类题目。第1题考查角平分线的核心性质，回忆教材中角平分线的性质定理内容即可直接填写，注意要准确区分“距离”和一般线段的区别，距离指的是点到直线的垂线段长度，是角平分线性质里的核心要素。第2题考查文字类几何命题的证明规范步骤，回忆教材中对证明几何命题的流程要求，第一步首先要拆解命题的组成部分，分清已知条件和要证明的结论，第二步需要将文字内容转化为几何图形，用符号语言标注已知和求证，再进行后续证明，对应步骤填写即可。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，因此此处填“距离”。
2. 证明文字叙述的几何命题时，(1)首先要明确命题中的已知（题设）和求证（结论）；(2)之后需要根据题意画出图形，用符号语言表示出已知和求证，再进行后续证明推导，因此依次填“已知”“求证”“画出图形”。
【答案】
1. 距离 2.(1)已知 求证 (2)画出图形
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 几何命题证明规范
【点评】
本题是基础概念考查题，内容均来自教材核心基础知识，侧重对概念表述准确性的考察，只要日常重视教材知识点的梳理记忆，就能顺利作答，注意不要混淆相近概念，确保填写内容准确规范。
【难度系数】
0.9

1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明$∠ AOC=∠ BOC$的依据是

()

A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS

1. A

【分析】
要判断∠AOC=∠BOC的依据，首先结合尺规作角平分线的步骤找相等的边：第一步以O为圆心画弧，可得OM=ON；第二步分别以M、N为圆心画弧交于C，可得MC=NC；再加上公共边OC，可证明△OMC和△ONC全等，进而得到对应角相等，最后对应全等判定定理即可选出答案。
【解析】
连接NC、MC，根据尺规作角平分线的过程可知：
1. $ ON = OM $（以O为圆心画弧所得）
2. $ MC = NC $（分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的相同长度为半径画弧所得）
3. $ OC = OC $（公共边）
因此$ △ ONC ≌ △ OMC $（SSS），根据全等三角形对应角相等，可得$ ∠ AOC = ∠ BOC $，故依据是SSS，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 全等三角形判定
3. 全等三角形性质
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题关键是结合作图步骤找出三角形中相等的边，再匹配对应的全等判定定理，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

2.如图，已知$△ ABC$，用直尺和圆规作$∠ ABC$的平分线，保留作图痕迹，不写作法。

2. 解:图略.

【分析】
要作∠ABC的平分线，需回忆尺规作角平分线的核心思路：通过构造三边相等的全等三角形得到相等的角，从而得到角平分线。思考时按照三步推进：第一步以角的顶点B为圆心，取适当长度为半径画弧，让弧线和BA、BC两条边都相交得到两个交点；第二步分别以这两个交点为圆心，取大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两段弧会在∠ABC内部交于一点；第三步连接顶点B和这个交点得到的射线就是角平分线，作图时要保留所有辅助弧线痕迹。
【解析】
按照尺规作角平分线的标准步骤操作即可：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点；
3. 过点B和该交点作射线，这条射线就是∠ABC的平分线，全程保留所有作图痕迹。
【答案】
图略
【知识点】
尺规作图；角平分线的作法
【点评】
本题是基础的尺规作图题，属于几何作图的基础操作，需要熟练掌握常见基本作图的步骤规范，作图时需按要求保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8

3.【教材P49“探究”变式】如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，则点P到OC的距离是。

3. 3

【分析】
解题时首先梳理已知条件：点P在∠AOC的角平分线上，PD⊥OA且PD=3，待求点P到OC的距离。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，其中“距离”是指点到直线的垂线段长度。PD就是点P到OA的距离，因此点P到OC的距离与PD长度相等，即可直接得出结果。
【解析】
过点P作PE⊥OC，垂足为E。
∵ OP是∠AOC的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OC，
∴ 根据角平分线的性质，可得PE = PD，
又
∵ PD = 3，
∴ PE = 3，即点P到OC的距离是3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是基础题，侧重对基础性质的直接应用，解题关键是准确理解角平分线性质中“距离”的含义，熟练掌握相关性质就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9

4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$CD$平分$∠ ACB$，$DE⊥ AC$于点$E$，$AE=3$，$AB=7$，则$△ ADE$的周长为________。

4. 10

【分析】
要求△ADE的周长，根据周长定义可知其周长为AD+DE+AE，已知AE=3，因此只需计算出AD+DE的值即可。由题可知CD是∠ACB的角平分线，∠B=90°即DB垂直于BC，同时DE垂直于AC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可推出DE=DB，由此可将AD+DE转化为AD+DB，也就是线段AB的长度，代入已知数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠B=90°（DB⊥BC），DE⊥AC
∴根据角平分线的性质可得：DE=DB
△ADE的周长=AD+DE+AE
将DE=DB代入得：
周长=AD+DB+AE
又
∵AD+DB=AB=7，AE=3
∴△ADE的周长=7+3=10
【答案】
10
【知识点】
角平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知长度的线段，体现了几何中转化思想的运用。
【难度系数】
0.8

5.【教材P52习题T1变式】如图，在$△ ABC$中，$BE=CF$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$.求证:$D$是$BC$的中点.

5. 证明:$\because AD$平分$∠ BAC,DE⊥ AB,DF⊥ AC, \therefore DE = DF, ∠ BED = ∠ CFD = 90°$. 在$△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中,$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ BED=∠ CFD,\\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore△ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS}). \therefore DB=DC$,即 $D$ 是 $BC$ 的中点.

【分析】
要证明D是BC的中点，本质是要证明BD=CD。观察图形可知BD、CD分别是△BDE和△CDF的边，因此可通过证明△BDE≌△CDF得到对应边相等。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合AD平分∠BAC、DE⊥AB、DF⊥AC，可推出DE=DF，且∠BED=∠CFD=90°；再结合题目给出的BE=CF的已知条件，即可通过SAS判定两个三角形全等，最终由全等三角形对应边相等得到BD=DC，完成证明。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠BED=∠CFD,\\ DE=DF, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（SAS）。
∴DB=DC，即D是BC的中点。
【答案】
证明:$\because AD$平分$∠ BAC,DE⊥ AB,DF⊥ AC, \therefore DE = DF, ∠ BED = ∠ CFD = 90°$. 在$△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中,$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ BED=∠ CFD,\\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore△ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS}). \therefore DB=DC$,即 $D$ 是 $BC$ 的中点.
【知识点】
角平分线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，解题关键是先利用角平分线的性质得到全等所需的等边和等角条件，再结合已知条件判定三角形全等，最终通过全等的性质推导得到结论，逻辑链条清晰，注重对基础性质和判定的考察。
【难度系数】
0.8

6.(答题模板)证明命题“全等三角形对应边上的中线相等”,下面是根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.请你将过程补充完整.
已知:如图,$△ ABC≌△ A'B'C'$,AD和A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的,
求证:$AD=$.

证明:$\because△ ABC≌△ A'B'C'$,
$\therefore AB=$,$∠ B=$,
$BC=$.
又AD,A'D'分别是BC,B'C'边上的中线,
$\therefore BD=$$BC$,$B'D'=$$B'C'$.
$\therefore BD=$.
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中,$\{\begin{array}{l}AB=\_\_\_\_\_\_,\\∠ B=\_\_\_\_\_\_,\\BD=\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
$\therefore△ ABD≌△$(SAS).
$\therefore AD=A'D'$.

6. 中线 $A'D'$ $A'B'$ $∠ B'$ $B'C'$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $B'D'$ $A'B'$ $∠ B'$ $B'D'$ $A'B'D'$

【分析】
要解这道题，首先需明确命题的题设和结论：题设为两个三角形全等，AD、A'D'是两个三角形对应边上的中线，结论为这两条中线相等。解题思路如下：第一步，利用全等三角形的性质，得到对应边、对应角相等；第二步，结合三角形中线的定义，推导得到BD和B'D'相等；第三步，利用SAS判定定理证明△ABD和△A'B'D'全等；第四步，根据全等三角形对应边相等的性质，得到AD=A'D'，按照这个逻辑即可依次补全所有空缺。
【解析】
我们按照证明的逻辑依次补全空缺内容：
1. 已知中AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线；
2. 求证的结论为$\boldsymbol{AD=A'D'}$；
3. 由$△ ABC≌△ A'B'C'$，根据全等三角形对应边、对应角相等，得$AB=A'B'$，$∠B=∠B'$，$BC=B'C'$；
4. 根据中线的定义，中线平分对应边，因此$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，结合$BC=B'C'$，可推出$BD=B'D'$；
5. 在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，有条件$\begin{cases}AB=A'B'\\∠B=∠B'\\BD=B'D'\end{cases}$，满足SAS判定的条件，因此$△ ABD≌△ A'B'D'$，最终得$AD=A'D'$。
【答案】
中线；$A'D'$；$A'B'$；$∠B'$；$B'C'$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；$B'D'$；$A'B'$；$∠B'$；$B'D'$；$A'B'D'$
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形相关的基础证明题，解题关键是先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合中线定义构造出全等所需的判定条件，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理即可快速解决。
【难度系数】
0.8