4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$A$在线段$MN$上,连接$MB,NC$并延长交于点$P$.已知$∠ BMA=∠ BAC=∠ ANC$,若$BM=6,CN=2$,求$MN$的长.

4. 解:
∵∠BMA=∠BAC=∠ANC,∠BMA+∠ABM=∠BAC+∠CAN,
∴∠ABM=∠CAN,在△ABM与△CAN中,$\begin{cases} ∠BMA=∠ANC, \\ ∠ABM=∠CAN, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABM≌△CAN(AAS),
∴BM=AN=6,AM=CN=2,
∴MN=AM+AN=8.

【分析】
要求MN的长度，观察图形可知MN=AM+AN，因此只需分别求出AM、AN的长度即可。题目已知AB=AC，且给出多个相等角，可尝试证明△ABM和△CAN全等：首先利用角的和差关系推导相等的对应角，再结合已知的等边条件，用AAS判定两三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到AM、AN与已知BM、CN的关系，代入计算即可得到MN的长。
【解析】
∵∠BMA=∠BAC=∠ANC，
又
∵在△ABM中，∠BMA+∠ABM+∠MAB=180°，且∠MAB+∠BAC+∠CAN=180°，
∴∠BMA+∠ABM=∠BAC+∠CAN，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM与△CAN中，
$\begin{cases} ∠BMA=∠ANC, \\ ∠ABM=∠CAN, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABM≌△CAN(AAS)，
∴BM=AN=6，AM=CN=2，
∴MN=AM+AN=2+6=8。
【答案】
8
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是通过角的和差关系推导得到全等所需的等角条件，借助全等三角形的性质将未知线段转化为已知线段求解，能有效考查对全等三角形判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

5. 如图①所示，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC=BC$，过点$C$在$△ ABC$外作直线$MN$，$AM⊥ MN$于点$M$，$BN⊥ MN$于点$N$。
(1)线段$AM$，$BN$与$MN$的关系是；
(2)如图②，若过点$C$作直线$MN$与线段$AB$相交，$AM⊥ MN$于点$M$，$BN⊥ MN$于点$N$。(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。

5. (1) AM+BN=MN (2)解:(1)中结论不成立,理由如下:
∵∠ACB=∠ACM+∠BCN=90°,∠CAM+∠ACM=90°,
∴∠CAM=∠BCN. 在△ACM和△CBN中,$\begin{cases} ∠CAM=∠BCN, \\ ∠AMC=∠BNC, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴△ACM≌△CBN(AAS).
∴AM=CN,CM=BN.
∵MN=CN−CM,
∴MN=AM−BN,(1)中结论不成立.

【分析】
解决第(1)问：首先观察图形可得图中存在一线三垂直的结构，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AM、BN均垂直于MN，可得两个直角相等，再利用同角的余角相等推出一组锐角相等，结合AC=BC的条件即可证明△ACM和△CBN全等，得到对应边相等后，结合MN是CM与CN的和，即可推导出三条线段的数量关系。
解决第(2)问：思路和第(1)问一致，仍然先证△ACM≌△CBN得到对应边相等，再观察此时MN是CN与CM的差，结合全等得到的边的关系，即可判断(1)的结论是否成立。
【解析】
(1) 推导过程：
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACM+∠ BCN=90°$
∵$AM⊥ MN$，$BN⊥ MN$，
∴$∠ AMC=∠ CNB=90°$
∴$∠ MAC+∠ ACM=90°$，
∴$∠ MAC=∠ BCN$
在$△ ACM$和$△ CBN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ CNB \\∠ MAC=∠ BCN \\AC=BC\end{cases}$
∴$△ ACM≌△ CBN(\mathrm{AAS})$
∴$AM=CN$，$CM=BN$
∵$MN=CM+CN$，
∴$MN=AM+BN$
(2) (1)中的结论不成立，理由如下：
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACM+∠ BCN=90°$
∵$AM⊥ MN$，$BN⊥ MN$，
∴$∠ AMC=∠ CNB=90°$
∴$∠ CAM+∠ ACM=90°$，
∴$∠ CAM=∠ BCN$
在$△ ACM$和$△ CBN$中：
$\begin{cases}∠ CAM=∠ BCN \\∠ AMC=∠ BNC \\AC=CB\end{cases}$
∴$△ ACM≌△ CBN(\mathrm{AAS})$
∴$AM=CN$，$CM=BN$
∵$MN=CN-CM$，
∴$MN=AM-BN$，故(1)中的结论不成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AM+BN=MN}$
(2) (1)中结论不成立，此时$\boldsymbol{MN=AM-BN}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是一线三等角（K型）全等模型的典型习题，解题核心是利用同角的余角相等得到相等的角，进而证明三角形全等。需要注意直线与三角形的位置关系不同时，线段的和差关系会发生变化，要结合图形分析，避免被固有思维限制。
【难度系数】
0.7