1. 如图，点A,D,B,E在一条直线上，$AC=EF$，$AD=BE$，$BC=DF$.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ EDF$；
(2)若$∠ A=60°$，$∠ F=65°$，求$∠ ABC$的度数.

1. 解:(1)
∵AD=BE,
∴AD+DB=BE+DB,
∴AB=DE. 在△ABC和△EDF中,$\begin{cases} AC=EF, \\ AB=ED, \\ BC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDF(SSS);(2)
∵△ABC≌△EDF,
∴∠C=∠F=65°.
∵∠A=60°,
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=55°.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△EDF，已知AC=EF、BC=DF，仅缺对应边AB=DE的条件。结合已知AD=BE，观察线段组成，AD、BE分别加上公共线段DB即可得到AB、DE，由此可推出AB=DE，满足三边对应相等，即可用SSS判定两个三角形全等。
(2) 求∠ABC的度数时，先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠C=∠F，再结合三角形内角和为180°，减去已知的∠A和∠C的度数，即可算出∠ABC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE。
在△ABC和△EDF中，
$\begin{cases} AC=EF, \\ AB=ED, \\ BC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDF（SSS）。
(2) 解：
∵△ABC≌△EDF，
∴∠C=∠F=65°。
∵∠A=60°，三角形内角和为180°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−60°−65°=55°。
【答案】
(1) △ABC≌△EDF得证；(2) ∠ABC=55°
【知识点】
全等三角形SSS判定，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，既考查了线段和差的推导、全等三角形的判定与性质，也结合了三角形内角和的计算，核心是熟练掌握全等三角形相关的基础知识点，即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$∠ E=∠ F=90°$，$∠ B=∠ C$，$AE=AF$，$BE$交$AC$于$M$，$CF$交$AB$于$N$. 求证：
(1)$∠1=∠2$；
(2)$△ ACN≌△ ABM$.

2. 证明:(1)在△ABE和△ACF中,$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠B=∠C, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACF(AAS).
∴∠EAB=∠FAC.
∴∠EAB−∠CAB=∠FAC−∠CAB,即∠1=∠2;(2)由△ABE≌△ACF,得AC=AB. 在△ACN和△ABM中,$\begin{cases} ∠C=∠B, \\ AC=AB, \\ ∠CAB=∠BAM, \end{cases}$
∴△ACN≌△ABM(ASA).

【分析】
（1）要证∠1=∠2，先结合已知的∠E=∠F、∠B=∠C、AE=AF，利用AAS判定定理证明△ABE≌△ACF，得到对应角∠EAB=∠FAC，再将两个相等的角同时减去公共角∠BAC，即可推出∠1=∠2；
（2）要证△ACN≌△ABM，可先由（1）中的全等结论得到对应边AC=AB，再结合已知∠C=∠B，以及两个三角形的公共角∠CAN=∠BAM，利用ASA判定定理即可证明全等。
【解析】
(1) 在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠B=∠C, \\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore ∠EAB=∠FAC$，
$\therefore ∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB$，即$∠1=∠2$；
(2) 由$△ ABE≌△ ACF$，得$AC=AB$。
在$△ ACN$和$△ ABM$中，
$\begin{cases} ∠C=∠B, \\ AC=AB, \\ ∠CAN=∠BAM, \end{cases}$
$\therefore △ ACN≌△ ABM(\mathrm{ASA})$。
【答案】
证明:(1)在△ABE和△ACF中,$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠B=∠C, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACF(AAS).
∴∠EAB=∠FAC.
∴∠EAB−∠CAB=∠FAC−∠CAB,即∠1=∠2;
(2)由△ABE≌△ACF,得AC=AB. 在△ACN和△ABM中,$\begin{cases} ∠C=∠B, \\ AC=AB, \\ ∠CAB=∠BAM, \end{cases}$
∴△ACN≌△ABM(ASA).
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础典型题，重点考查全等三角形的判定定理和性质的综合运用，解题时需先利用已知条件证明第一组三角形全等，再将得到的对应边、对应角相等的结论作为条件证明第二组三角形全等，要注意挖掘图形中公共角这类隐含条件。
【难度系数】
0.8

3. 在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE与BD相交于点F.
（1）如图，当α=90°时，求证：
①△ACE≌△BCD；
②AE⊥BD.
（2）如图，当α=60°时，直接写出∠AFB的度数为；
（3）如图，直接写出∠AFD的度数为（用含α的式子表示）.

3. (1)证明:①
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS). ②
∵△ACE≌△BCD,
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°,
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.
∴∠AFB=90°.
∴AE⊥BD. (2) 60° (3) 180°−α

【分析】
（1）①要证明△ACE≌△BCD，已知两组对应边CA=CB、CD=CE，只需推导两组边的夹角∠ACE=∠BCD即可：利用已知∠ACB=∠DCE，同时加公共角∠BCE就能得到相等夹角，用SAS判定全等。②要证AE⊥BD，只需证∠AFB=90°，借助全等三角形对应角相等得到∠CAE=∠CBD，再结合△ABC的内角和特性做角的代换，即可求出∠AFB为90°。
（2）当α=60°时，沿用（1）的推导逻辑，先证全等得到角相等，再通过三角形内角和代换可得∠AFB和α相等。
（3）一般情况同理可得∠AFB=α，∠AFD和∠AFB是邻补角，即可求出∠AFD的度数。
【解析】
（1）①证明：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中：
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
②证明：
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD。
∵∠ACB=90°，△ABC中∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，即∠FAB+∠FBA=90°。
∴∠AFB=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°，
∴AE⊥BD。
（2）同理可证△ACE≌△BCD，得∠CAE=∠CBD，
则∠AFB=180°-(∠FAB+∠FBA)=180°-(∠CAB+∠ABC)=∠ACB=60°。
（3）同理可得∠AFB=∠ACB=α，
∵∠AFD+∠AFB=180°，
∴∠AFD=180°-α。
【答案】
（1）①②证明见解析；（2）$\boldsymbol{60°}$；（3）$\boldsymbol{180°-α}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形内角和定理
3. 邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形“手拉手”模型的典型习题，解题核心是通过已知等角结合公共部分推导全等所需的相等夹角，再利用全等对应角相等的性质进行角度代换，最终得到所求角度关系，熟练掌握全等模型的特征可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6