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1. 你会解一元二次方程$x^2+6x+4=0$吗？
用什么方法？
用什么方法？
答案
可以用配方法求解：移项得$x^2+6x=-4$，配方得$x^2+6x+9=-4+9$，即$(x+3)^2=5$，开平方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
观察方程$x^2+6x+4=0$的结构，二次项系数为1，一次项系数为偶数，选择配方法求解更简便。解题时按配方法的标准步骤推进：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，之后开平方转化为一元一次方程，最后求解得到方程的根。
【解析】
使用配方法求解，步骤如下：
移项得$x^2+6x=-4$，
配方得$x^2+6x+9=-4+9$，即$(x+3)^2=5$，
开平方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
【答案】
用配方法求解，方程的解为$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，可根据方程的结构特点选择简便解法，熟练掌握配方法的核心操作（配方时添加一次项系数一半的平方）是解题的关键。
【难度系数】
0.8
观察方程$x^2+6x+4=0$的结构，二次项系数为1，一次项系数为偶数，选择配方法求解更简便。解题时按配方法的标准步骤推进：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，之后开平方转化为一元一次方程，最后求解得到方程的根。
【解析】
使用配方法求解，步骤如下：
移项得$x^2+6x=-4$，
配方得$x^2+6x+9=-4+9$，即$(x+3)^2=5$，
开平方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
【答案】
用配方法求解，方程的解为$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，可根据方程的结构特点选择简便解法，熟练掌握配方法的核心操作（配方时添加一次项系数一半的平方）是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)用配方法解一元二次方程的步骤：
①
移项，把常数项移到方程的右边
.②配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方.
③变形:方程左边分解因式,右边合并同类项.
④开方:根据平方根意义,方程两边开平方.
⑤求解:解一元一次方程.
⑥定解:写出原方程的解.
(2)上面我们把方程$x^2+6x+4=0$变形为$(x+3)^2=5$,它的左边是一个含有未知数的
完全平
式,右边是一个非负常
数.像这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.当二次项系数为1时,配方的关键是在方程两边同时加一次项系数一半
的平方.答案
1. 移项，把常数项移到方程的右边 2. 完全平，非负常，一次项系数一半
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的相关概念与步骤，解题时可结合给出的配方法解方程的流程图回忆对应知识点：(1)回忆配方法的操作顺序，二次项系数为1时，第一步需要先将常数项移到等号另一侧，再进行后续配方操作；(2)结合配方后得到的方程形式，明确完全平方式的特征，以及配方的关键操作，即可完成填空。
【解析】
(1) 观察配方法解方程的流程图，第一步是将原方程的常数项移到方程右侧，因此步骤①为移项，把常数项移到方程的右边。
(2) 变形得到的$(x+3)^2=5$中，左边$(x+3)^2$是含有未知数的完全平方式，右边的5是大于等于0的非负常数；当二次项系数为1时，为了将方程左边配成完全平方式，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
【答案】
(1) ①移项，把常数项移到方程的右边
(2) 完全平方；非负常；一次项系数一半
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方式；平方根的意义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查配方法的步骤和核心原理，熟练掌握配方法的操作流程和完全平方公式的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法解一元二次方程的相关概念与步骤，解题时可结合给出的配方法解方程的流程图回忆对应知识点：(1)回忆配方法的操作顺序，二次项系数为1时，第一步需要先将常数项移到等号另一侧，再进行后续配方操作；(2)结合配方后得到的方程形式，明确完全平方式的特征，以及配方的关键操作，即可完成填空。
【解析】
(1) 观察配方法解方程的流程图，第一步是将原方程的常数项移到方程右侧，因此步骤①为移项，把常数项移到方程的右边。
(2) 变形得到的$(x+3)^2=5$中，左边$(x+3)^2$是含有未知数的完全平方式，右边的5是大于等于0的非负常数；当二次项系数为1时，为了将方程左边配成完全平方式，配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
【答案】
(1) ①移项，把常数项移到方程的右边
(2) 完全平方；非负常；一次项系数一半
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方式；平方根的意义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查配方法的步骤和核心原理，熟练掌握配方法的操作流程和完全平方公式的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
例1 解下列方程：
(1)$x^2 - 8x + 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 1 = 3x$；
(3)$3x^2 - 6x + 4 = 0$。
(1)$x^2 - 8x + 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 1 = 3x$；
(3)$3x^2 - 6x + 4 = 0$。
答案
例1 (1) 移项得$x^2-8x=-1$，配方得$x^2-8x+16=15$，即$(x-4)^2=15$，解得$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$；(2) 移项得$2x^2-3x=-1$，二次项系数化为1得$x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，配方得$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$，即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{1}{16}$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$；(3) 移项得$3x^2-6x=-4$，二次项系数化为1得$x^2-2x=-\frac{4}{3}$，配方得$x^2-2x+1=-\frac{1}{3}$，即$(x-1)^2=-\frac{1}{3}$，因为右边为负，所以方程无实数根。
解析
【分析】
这三道题均考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的通用步骤即可：①先移项，将常数项移到方程等号右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④若右侧是非负数，直接开平方求解，若右侧是负数，则方程无实数根。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 8x = -1$，
配方得：$x^2 - 8x + 16 = -1 + 16$，即$(x-4)^2 = 15$，
开平方得：$x-4 = \pm\sqrt{15}$，
解得：$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$；
(2) 移项得：$2x^2 - 3x = -1$，
二次项系数化为1得：$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$，
配方得：$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，即$(x-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$，
开平方得：$x-\frac{3}{4} = \pm\frac{1}{4}$，
解得：$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3) 移项得：$3x^2 - 6x = -4$，
二次项系数化为1得：$x^2 - 2x = -\frac{4}{3}$，
配方得：$x^2 - 2x + 1 = -\frac{4}{3} + 1$，即$(x-1)^2 = -\frac{1}{3}$，
∵实数范围内平方数具有非负性，$-\frac{1}{3}＜0$，
∴该方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$；
(2)$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3)无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，能帮助学生熟练掌握配方法的操作步骤，解题时要注意配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，不要漏加右侧的项，同时要关注配方后等号右侧的符号，判断方程是否存在实数根。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的通用步骤即可：①先移项，将常数项移到方程等号右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④若右侧是非负数，直接开平方求解，若右侧是负数，则方程无实数根。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 8x = -1$，
配方得：$x^2 - 8x + 16 = -1 + 16$，即$(x-4)^2 = 15$，
开平方得：$x-4 = \pm\sqrt{15}$，
解得：$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$；
(2) 移项得：$2x^2 - 3x = -1$，
二次项系数化为1得：$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$，
配方得：$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，即$(x-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$，
开平方得：$x-\frac{3}{4} = \pm\frac{1}{4}$，
解得：$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3) 移项得：$3x^2 - 6x = -4$，
二次项系数化为1得：$x^2 - 2x = -\frac{4}{3}$，
配方得：$x^2 - 2x + 1 = -\frac{4}{3} + 1$，即$(x-1)^2 = -\frac{1}{3}$，
∵实数范围内平方数具有非负性，$-\frac{1}{3}＜0$，
∴该方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$；
(2)$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3)无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，能帮助学生熟练掌握配方法的操作步骤，解题时要注意配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，不要漏加右侧的项，同时要关注配方后等号右侧的符号，判断方程是否存在实数根。
【难度系数】
0.7
变式1 解下列方程：
(1)$x^2 +4x -9=2x -11$；
(2)$(x+4)x=8x+12$.
【归纳总结】一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成$(x+n)^2 =p$的形式:
(1)当$p＞0$时,$x+n=\pm\sqrt{p}$,方程的两个根,分别为$x_1=-n-\sqrt{p},x_2=-n+\sqrt{p}$;
(2)当$p=0$时,$(x+n)^2=0$,开平方得方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=-n$;
(3)当$p＜0$时,方程$(x+n)^2=p$无实数根.
(1)$x^2 +4x -9=2x -11$；
(2)$(x+4)x=8x+12$.
【归纳总结】一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成$(x+n)^2 =p$的形式:
(1)当$p＞0$时,$x+n=\pm\sqrt{p}$,方程的两个根,分别为$x_1=-n-\sqrt{p},x_2=-n+\sqrt{p}$;
(2)当$p=0$时,$(x+n)^2=0$,开平方得方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=-n$;
(3)当$p＜0$时,方程$(x+n)^2=p$无实数根.
答案
变式1 (1) 整理得$x^2+2x+2=0$，配方得$(x+1)^2=-1$，所以方程无实数根；(2) 整理得$x^2-4x-12=0$，配方得$(x-2)^2=16$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$。
解析
【分析】
解这两道方程需使用配方法，解题思路如下：第一步先将方程整理为一元二次方程的一般形式，把所有含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧；第二步，由于两题二次项系数均为1，直接在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，转化为$(x+n)^2 =p$的形式；第三步根据$p$的正负性判断方程根的情况，若$p＞0$则开平方求两个不等实根，若$p=0$得两个相等实根，若$p＜0$则方程无实数根。
【解析】
(1) 移项、合并同类项，得：
$x^2 +4x -9 -2x +11=0$
即$x^2+2x+2=0$
移常数项到等号右侧：$x^2+2x=-2$
配方，两边同时加一次项系数2的一半的平方$1^2$：
$x^2+2x+1=-2+1$
即$(x+1)^2=-1$
$\because -1＜0$，$\therefore$ 方程无实数根。
(2) 先展开左侧，得：
$x^2+4x=8x+12$
移项、合并同类项，得：
$x^2-4x-12=0$
移常数项到等号右侧：$x^2-4x=12$
配方，两边同时加一次项系数-4的一半的平方$(-2)^2$：
$x^2-4x+4=12+4$
即$(x-2)^2=16$
开平方得：$x-2=\pm 4$
解得：$x_1=2+4=6$，$x_2=2-4=-2$
【答案】
(1) 方程无实数根；(2) $x_1=6$，$x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其注意配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，再结合配方后右侧常数的符号判断根的情况或求解即可。
【难度系数】
0.8
解这两道方程需使用配方法，解题思路如下：第一步先将方程整理为一元二次方程的一般形式，把所有含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧；第二步，由于两题二次项系数均为1，直接在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，转化为$(x+n)^2 =p$的形式；第三步根据$p$的正负性判断方程根的情况，若$p＞0$则开平方求两个不等实根，若$p=0$得两个相等实根，若$p＜0$则方程无实数根。
【解析】
(1) 移项、合并同类项，得：
$x^2 +4x -9 -2x +11=0$
即$x^2+2x+2=0$
移常数项到等号右侧：$x^2+2x=-2$
配方，两边同时加一次项系数2的一半的平方$1^2$：
$x^2+2x+1=-2+1$
即$(x+1)^2=-1$
$\because -1＜0$，$\therefore$ 方程无实数根。
(2) 先展开左侧，得：
$x^2+4x=8x+12$
移项、合并同类项，得：
$x^2-4x-12=0$
移常数项到等号右侧：$x^2-4x=12$
配方，两边同时加一次项系数-4的一半的平方$(-2)^2$：
$x^2-4x+4=12+4$
即$(x-2)^2=16$
开平方得：$x-2=\pm 4$
解得：$x_1=2+4=6$，$x_2=2-4=-2$
【答案】
(1) 方程无实数根；(2) $x_1=6$，$x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其注意配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，再结合配方后右侧常数的符号判断根的情况或求解即可。
【难度系数】
0.8
