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6. 某工程需要运送的土石方总量为 $10^6 \, \mathrm{m}^3$，某运输公司承接了运送土石方的任务.
(1) 完成运送任务所需时间为 $t$（单位：天），该公司平均每天运送的土石方量为 $x$（单位：$\mathrm{m}^3$）. 求 $t$ 关于 $x$ 的函数解析式.
(2) 若1辆卡车每天可运送土石方 $100 \, \mathrm{m}^3$，且这次运送任务要求在80天内完成，则该公司至少要安排多少辆相同型号的卡车来运输？
(1) 完成运送任务所需时间为 $t$（单位：天），该公司平均每天运送的土石方量为 $x$（单位：$\mathrm{m}^3$）. 求 $t$ 关于 $x$ 的函数解析式.
(2) 若1辆卡车每天可运送土石方 $100 \, \mathrm{m}^3$，且这次运送任务要求在80天内完成，则该公司至少要安排多少辆相同型号的卡车来运输？
答案
【解】(1)t 关于x 的函数解析式为 $t=\frac{10^6}{x}$。
(2)$10^6÷80÷100=125$(辆)。
因此,该公司至少要安排 125 辆相同型号的卡车来运输。
(2)$10^6÷80÷100=125$(辆)。
因此,该公司至少要安排 125 辆相同型号的卡车来运输。
解析
【分析】
(1) 解第一问的核心是利用工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间。已知土石方总量固定为$10^6 \, \mathrm{m}^3$，将对应量代入等量关系后变形，即可得到t关于x的函数解析式，注意实际问题中每天运送量x为正数。
(2) 解第二问时，首先要明确要求：80天内完成运输任务，即总时间不超过80天。可以先计算出80天完成任务时每天至少需要运送的土石方总量，再除以单辆卡车每天的运送量，即可得到最少需要的卡车数量，结果需取符合实际的正整数。
【解析】
(1) 根据工程问题的等量关系：每天运送量×所需时间 = 土石方总量，可得：
$x · t = 10^6$
将式子变形为用x表示t的形式，得：
$t = \frac{10^6}{x}$（$x＞0$）
(2) 先计算80天完成运输时，每天总共需要运送的土石方量：
$10^6 ÷ 80 = 12500 \, \mathrm{m}^3$
已知1辆卡车每天可运送$100 \, \mathrm{m}^3$，则需要的卡车数量为：
$12500 ÷ 100 = 125$（辆）
【答案】
(1) $t=\frac{10^6}{x}$
(2) 125辆
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 工程问题计算
【点评】
本题结合实际运输场景命题，既考查了反比例函数解析式的求解，又考查了实际问题中的最值计算，属于基础应用题，解题时要注意计算结果要符合现实场景的要求。
【难度系数】
0.85
(1) 解第一问的核心是利用工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间。已知土石方总量固定为$10^6 \, \mathrm{m}^3$，将对应量代入等量关系后变形，即可得到t关于x的函数解析式，注意实际问题中每天运送量x为正数。
(2) 解第二问时，首先要明确要求：80天内完成运输任务，即总时间不超过80天。可以先计算出80天完成任务时每天至少需要运送的土石方总量，再除以单辆卡车每天的运送量，即可得到最少需要的卡车数量，结果需取符合实际的正整数。
【解析】
(1) 根据工程问题的等量关系：每天运送量×所需时间 = 土石方总量，可得：
$x · t = 10^6$
将式子变形为用x表示t的形式，得：
$t = \frac{10^6}{x}$（$x＞0$）
(2) 先计算80天完成运输时，每天总共需要运送的土石方量：
$10^6 ÷ 80 = 12500 \, \mathrm{m}^3$
已知1辆卡车每天可运送$100 \, \mathrm{m}^3$，则需要的卡车数量为：
$12500 ÷ 100 = 125$（辆）
【答案】
(1) $t=\frac{10^6}{x}$
(2) 125辆
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 工程问题计算
【点评】
本题结合实际运输场景命题，既考查了反比例函数解析式的求解，又考查了实际问题中的最值计算，属于基础应用题，解题时要注意计算结果要符合现实场景的要求。
【难度系数】
0.85
7.如图,双曲线型冷却塔的纵截面是轴对称图形,其中四边形ABCD是一个矩形.若以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,曲线DE,CF分别是两个反比例函数图象的一部分,已知AB=87 m,BC=20 m,EF=16 m,则整个冷却塔的高度为
$\frac{435}{4}$
m.答案
7. $\frac{435}{4}$
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用类问题，解题核心是结合轴对称性确定反比例函数上的点坐标，再用待定系数法求解。首先根据已知边长确定点C的坐标，设出反比例函数解析式，代入C点坐标求出参数k；再根据EF的长度得到F点的横坐标，代入解析式求出的y值就是冷却塔的总高度。
【解析】
解：
∵ AB=87 m，坐标系以AB的垂直平分线为y轴，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=\frac{87}{2}\ \mathrm{m}$，
又
∵ BC=20 m，
∴ 点C的坐标为$(\frac{87}{2},20)$。
设曲线CF对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，
将$C(\frac{87}{2},20)$代入解析式得：
$20=\frac{k}{\frac{87}{2}}$，解得$k=20×\frac{87}{2}=870$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{870}{x}$。
∵ EF=16 m，
∴ 点F的横坐标为$\frac{1}{2}EF=8\ \mathrm{m}$，
将$x=8$代入$y=\frac{870}{x}$得：$y=\frac{870}{8}=\frac{435}{4}$，
即整个冷却塔的高度为$\frac{435}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{435}{4}$
【知识点】
反比例函数的应用，轴对称的性质，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合建筑实际场景考查反比例函数的应用，需要结合几何图形的性质确定点坐标，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法即可求解，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.65
本题是反比例函数的实际应用类问题，解题核心是结合轴对称性确定反比例函数上的点坐标，再用待定系数法求解。首先根据已知边长确定点C的坐标，设出反比例函数解析式，代入C点坐标求出参数k；再根据EF的长度得到F点的横坐标，代入解析式求出的y值就是冷却塔的总高度。
【解析】
解：
∵ AB=87 m，坐标系以AB的垂直平分线为y轴，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=\frac{87}{2}\ \mathrm{m}$，
又
∵ BC=20 m，
∴ 点C的坐标为$(\frac{87}{2},20)$。
设曲线CF对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，
将$C(\frac{87}{2},20)$代入解析式得：
$20=\frac{k}{\frac{87}{2}}$，解得$k=20×\frac{87}{2}=870$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{870}{x}$。
∵ EF=16 m，
∴ 点F的横坐标为$\frac{1}{2}EF=8\ \mathrm{m}$，
将$x=8$代入$y=\frac{870}{x}$得：$y=\frac{870}{8}=\frac{435}{4}$，
即整个冷却塔的高度为$\frac{435}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{435}{4}$
【知识点】
反比例函数的应用，轴对称的性质，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合建筑实际场景考查反比例函数的应用，需要结合几何图形的性质确定点坐标，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法即可求解，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.65
8. 某校对教室进行消毒.已知在消毒药释放过程中,教室内每立方米空气中的含药量$y$(单位:mg)与时间$x$(单位:min)成正比例关系;消毒药释放完毕后,$y$与$x$成反比例关系,根据$y$与$x$之间的函数关系绘制的图象如图所示.
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式,并写出对应的自变量取值范围.
(2)据测定,当教室内每立方米空气中的含药量低于$3\ \mathrm{mg}$时,对人体无害.从消毒药释放开始,有多长时间教室内含药量超标,学生不能待在教室?
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式,并写出对应的自变量取值范围.
(2)据测定,当教室内每立方米空气中的含药量低于$3\ \mathrm{mg}$时,对人体无害.从消毒药释放开始,有多长时间教室内含药量超标,学生不能待在教室?
答案
【解】(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把 $x=24,y=8$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $8=\frac{k}{24}$。
解得 $k=192$。
∴$y=\frac{192}{x}$。
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $12=\frac{192}{x}$。
解得 $x=16$。
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{192}{x}(x≥16)$。
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠0)$。
把 $x=16,y=12$ 代入 $y=nx$,得 $12=16n$。
解得 $n=\frac{3}{4}$。
∴正比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)$。
(2)把 $y=3$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $3=\frac{192}{x}$。
解得 $x=64$。
把 $y=3$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$,得 $3=\frac{3}{4}x$。
解得 $x=4$。
根据题图可得,当 $4≤x≤64$ 时,$y≥3$。
∵$64-4=60(\min)$,
∴有 60 min 教室内含药量超标。
把 $x=24,y=8$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $8=\frac{k}{24}$。
解得 $k=192$。
∴$y=\frac{192}{x}$。
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $12=\frac{192}{x}$。
解得 $x=16$。
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{192}{x}(x≥16)$。
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠0)$。
把 $x=16,y=12$ 代入 $y=nx$,得 $12=16n$。
解得 $n=\frac{3}{4}$。
∴正比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)$。
(2)把 $y=3$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $3=\frac{192}{x}$。
解得 $x=64$。
把 $y=3$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$,得 $3=\frac{3}{4}x$。
解得 $x=4$。
根据题图可得,当 $4≤x≤64$ 时,$y≥3$。
∵$64-4=60(\min)$,
∴有 60 min 教室内含药量超标。
解析
【分析】
本题是正反比例函数的实际应用问题，可分两步思考：
(1)求两段函数解析式：①先处理反比例函数段，已知反比例函数过点(24,8)，用待定系数法先求出反比例函数解析式，再将最高点的y值12代入反比例解析式，求出两段函数的交点横坐标，得到交点坐标；②将交点坐标代入正比例函数一般形式，求出正比例函数解析式，同时结合图像确定两个函数对应的自变量取值范围。
(2)求含药量超标的时长：含药量≥3mg时超标，分别将y=3代入正比例和反比例函数解析式，求出对应的两个x值，两个x值的差就是超标的总时长。
【解析】
(1)先求反比例函数解析式：
设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=24,y=8$代入解析式得：
$8=\frac{k}{24}$，解得$k=24×8=192$，因此反比例函数为$y=\frac{192}{x}$。
两段函数的交点处y=12，将$y=12$代入$y=\frac{192}{x}$得：$12=\frac{192}{x}$，解得$x=16$，即交点坐标为$(16,12)$，因此反比例函数的自变量取值范围为$x≥16$，即$y=\frac{192}{x}(x≥16)$。
再求正比例函数解析式：
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠0)$，将交点$(16,12)$代入得：$12=16n$，解得$n=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，正比例函数的自变量取值范围为$0≤x＜16$，即$y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)$。
(2)求含药量≥3mg的时长：
将$y=3$代入反比例函数$y=\frac{192}{x}$得：$3=\frac{192}{x}$，解得$x=64$；
将$y=3$代入正比例函数$y=\frac{3}{4}x$得：$3=\frac{3}{4}x$，解得$x=4$；
结合图像可知，当$4≤x≤64$时，空气中含药量$y≥3\ \mathrm{mg}$，超标的时长为$64-4=60(\min)$。
【答案】
(1)正比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{192}{x}(x≥16)}$；
(2)有$\boldsymbol{60\ \mathrm{min}}$教室内含药量超标。
【知识点】
正比例函数，反比例函数，函数实际应用
【点评】
本题结合消毒的生活场景考查正反比例函数的综合应用，解题核心是先通过已知点求出两段函数的交点坐标，再用待定系数法求解函数解析式，最后结合函数值的要求求出对应自变量的范围即可解决问题，解题时要注意自变量取值范围的划分，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是正反比例函数的实际应用问题，可分两步思考：
(1)求两段函数解析式：①先处理反比例函数段，已知反比例函数过点(24,8)，用待定系数法先求出反比例函数解析式，再将最高点的y值12代入反比例解析式，求出两段函数的交点横坐标，得到交点坐标；②将交点坐标代入正比例函数一般形式，求出正比例函数解析式，同时结合图像确定两个函数对应的自变量取值范围。
(2)求含药量超标的时长：含药量≥3mg时超标，分别将y=3代入正比例和反比例函数解析式，求出对应的两个x值，两个x值的差就是超标的总时长。
【解析】
(1)先求反比例函数解析式：
设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=24,y=8$代入解析式得：
$8=\frac{k}{24}$，解得$k=24×8=192$，因此反比例函数为$y=\frac{192}{x}$。
两段函数的交点处y=12，将$y=12$代入$y=\frac{192}{x}$得：$12=\frac{192}{x}$，解得$x=16$，即交点坐标为$(16,12)$，因此反比例函数的自变量取值范围为$x≥16$，即$y=\frac{192}{x}(x≥16)$。
再求正比例函数解析式：
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠0)$，将交点$(16,12)$代入得：$12=16n$，解得$n=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，正比例函数的自变量取值范围为$0≤x＜16$，即$y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)$。
(2)求含药量≥3mg的时长：
将$y=3$代入反比例函数$y=\frac{192}{x}$得：$3=\frac{192}{x}$，解得$x=64$；
将$y=3$代入正比例函数$y=\frac{3}{4}x$得：$3=\frac{3}{4}x$，解得$x=4$；
结合图像可知，当$4≤x≤64$时，空气中含药量$y≥3\ \mathrm{mg}$，超标的时长为$64-4=60(\min)$。
【答案】
(1)正比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{192}{x}(x≥16)}$；
(2)有$\boldsymbol{60\ \mathrm{min}}$教室内含药量超标。
【知识点】
正比例函数，反比例函数，函数实际应用
【点评】
本题结合消毒的生活场景考查正反比例函数的综合应用，解题核心是先通过已知点求出两段函数的交点坐标，再用待定系数法求解函数解析式，最后结合函数值的要求求出对应自变量的范围即可解决问题，解题时要注意自变量取值范围的划分，避免出错。
【难度系数】
0.7
