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9. 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培新品种蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:h)的函数关系如图所示,其中线段$AB$,$BC$表示的是恒温系统开启阶段,双曲线的一部分$CD$表示的是恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题.
(1)求$y$关于$x(10≤ x≤24)$的函数解析式.
(2)大棚里栽培的某种蔬菜在$12°\mathrm{C}$到$20°\mathrm{C}$的条件下最适合生长,那么这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是多少?
(1)求$y$关于$x(10≤ x≤24)$的函数解析式.
(2)大棚里栽培的某种蔬菜在$12°\mathrm{C}$到$20°\mathrm{C}$的条件下最适合生长,那么这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是多少?
答案
9.【解】(1)设 y 关于 $x(10≤x≤24)$ 的函数解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把 $x=10,y=20$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $20=\frac{k}{10}$。
解得 $k=200$。
因此,y 关于 $x(10≤x≤24)$ 的函数解析式为 $y=\frac{200}{x}(10≤x≤24)$。
(2)设线段 AB 对应的函数解析式为 $y=mx+n(m≠0,0≤x≤5)$。
把 $\begin{cases}x=0,\\y=10,\end{cases}$$\begin{cases}x=5,\\y=20\end{cases}$ 分别代入 $y = mx + n$,
得 $\begin{cases}n=10,\\5m+n=20.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=2,\\n=10.\end{cases}$
因此,线段 AB 对应的函数解析式为 $y=2x+10(0≤x≤5)$。
把 $y=12$ 代入 $y=2x+10$,得 $12=2x+10$。
解得 $x=1$。
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{200}{x}$,得 $12=\frac{200}{x}$。
解得 $x=\frac{50}{3}$。
∵$\frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$,
∴这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是 $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$。
把 $x=10,y=20$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $20=\frac{k}{10}$。
解得 $k=200$。
因此,y 关于 $x(10≤x≤24)$ 的函数解析式为 $y=\frac{200}{x}(10≤x≤24)$。
(2)设线段 AB 对应的函数解析式为 $y=mx+n(m≠0,0≤x≤5)$。
把 $\begin{cases}x=0,\\y=10,\end{cases}$$\begin{cases}x=5,\\y=20\end{cases}$ 分别代入 $y = mx + n$,
得 $\begin{cases}n=10,\\5m+n=20.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=2,\\n=10.\end{cases}$
因此,线段 AB 对应的函数解析式为 $y=2x+10(0≤x≤5)$。
把 $y=12$ 代入 $y=2x+10$,得 $12=2x+10$。
解得 $x=1$。
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{200}{x}$,得 $12=\frac{200}{x}$。
解得 $x=\frac{50}{3}$。
∵$\frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$,
∴这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是 $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知10≤x≤24时y是x的反比例函数，因此可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将C点坐标(10,20)代入即可求出k的值，进而得到该段的函数解析式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 要计算温度在12℃到20℃之间的时长，首先需要求出升温段AB的一次函数解析式：利用A(0,10)、B(5,20)两点坐标，用待定系数法求出AB的解析式；再分别在AB段和CD段的函数中令y=12，求出对应的x值，两个x值的差就是最适合生长的时长（BC段温度恒为20℃，符合生长条件，无需额外计算）。
【解析】
(1) 设当$10≤x≤24$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=10,y=20$代入解析式得：$20=\frac{k}{10}$，解得$k=200$。
因此$y$关于$x(10≤x≤24)$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{200}{x}(10≤x≤24)}$。
(2) 设线段$AB$对应的函数解析式为$y=mx+n(m≠0,0≤x≤5)$。
将$\begin{cases}x=0\\y=10\end{cases}$和$\begin{cases}x=5\\y=20\end{cases}$分别代入$y=mx+n$，得：
$\begin{cases}n=10\\5m+n=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2\\n=10\end{cases}$，即线段AB的解析式为$y=2x+10(0≤x≤5)$。
将$y=12$代入$y=2x+10$，得$12=2x+10$，解得$x=1$；
将$y=12$代入$y=\frac{200}{x}$，得$12=\frac{200}{x}$，解得$x=\frac{50}{3}$。
最适合生长的时长为$\frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=\frac{200}{x}(10≤x≤24)$
(2) $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式；一次函数的应用；反比例函数的应用
【点评】
本题以大棚温度变化的实际场景为载体，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，能结合函数图象和题意筛选出符合条件的数值进行计算，贴近生活实际，能较好地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知10≤x≤24时y是x的反比例函数，因此可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将C点坐标(10,20)代入即可求出k的值，进而得到该段的函数解析式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 要计算温度在12℃到20℃之间的时长，首先需要求出升温段AB的一次函数解析式：利用A(0,10)、B(5,20)两点坐标，用待定系数法求出AB的解析式；再分别在AB段和CD段的函数中令y=12，求出对应的x值，两个x值的差就是最适合生长的时长（BC段温度恒为20℃，符合生长条件，无需额外计算）。
【解析】
(1) 设当$10≤x≤24$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=10,y=20$代入解析式得：$20=\frac{k}{10}$，解得$k=200$。
因此$y$关于$x(10≤x≤24)$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{200}{x}(10≤x≤24)}$。
(2) 设线段$AB$对应的函数解析式为$y=mx+n(m≠0,0≤x≤5)$。
将$\begin{cases}x=0\\y=10\end{cases}$和$\begin{cases}x=5\\y=20\end{cases}$分别代入$y=mx+n$，得：
$\begin{cases}n=10\\5m+n=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2\\n=10\end{cases}$，即线段AB的解析式为$y=2x+10(0≤x≤5)$。
将$y=12$代入$y=2x+10$，得$12=2x+10$，解得$x=1$；
将$y=12$代入$y=\frac{200}{x}$，得$12=\frac{200}{x}$，解得$x=\frac{50}{3}$。
最适合生长的时长为$\frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=\frac{200}{x}(10≤x≤24)$
(2) $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式；一次函数的应用；反比例函数的应用
【点评】
本题以大棚温度变化的实际场景为载体，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，能结合函数图象和题意筛选出符合条件的数值进行计算，贴近生活实际，能较好地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. 小明家的饮水机在通电开机前，水的温度为$20\ °\mathrm{C}$，在通电开机后，饮水机开始自动加热，加热过程中水的温度$y$（单位：$°\mathrm{C}$）与开机时间$x$（单位：$\mathrm{min}$）成一次函数关系，当水的温度为$100\ °\mathrm{C}$时，饮水机自动停止加热，随后水的温度开始下降，下降过程中$y$与$x$成反比例函数关系，当水的温度降至$20\ °\mathrm{C}$时，饮水机又开始自动加热……如此继续下去，$y$与$x$的函数关系如图所示。根据图中的信息，解答下列问题。
(1)当$0{≤}x{≤}8$时，求$y$关于$x$的函数解析式。
(2)求图中$t$的值。
(3)某一天，小明在上午$7:10$（此时饮水机内水的温度为$20\ °\mathrm{C}$）将饮水机通电开机，当天中午$11:56$时饮水机内水的温度是多少？在$7:10$至$11:56$这段时间里，水的温度共有几次达到了$100\ °\mathrm{C}$？
(1)当$0{≤}x{≤}8$时，求$y$关于$x$的函数解析式。
(2)求图中$t$的值。
(3)某一天，小明在上午$7:10$（此时饮水机内水的温度为$20\ °\mathrm{C}$）将饮水机通电开机，当天中午$11:56$时饮水机内水的温度是多少？在$7:10$至$11:56$这段时间里，水的温度共有几次达到了$100\ °\mathrm{C}$？
答案
10.【解】(1)当$0≤x≤8$时,设 y 关于x 的函数解析式为 $y=kx+b(k≠0)$。
把 $\begin{cases}x=0,\\y=20,\end{cases}$$\begin{cases}x=8,\\y=100\end{cases}$ 分别代入 $y = kx + b$,
得 $\begin{cases}b=20,\\8k+b=100.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=10,\\b=20.\end{cases}$
因此,当$0≤x≤8$时,y 关于x 的函数解析式为 $y=10x+20$。
(2)饮水机第一次停止加热时,在水的温度下降的过程中,设 y 关于x 的函数解析式为 $y=\frac{m}{x}(m≠0)$。
把 $x=8,y=100$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $100=\frac{m}{8}$。
解得 $m=800$。
因此,$y=\frac{800}{x}$。
把 $y=20$ 代入 $y=\frac{800}{x}$,得 $20=\frac{800}{x}$。
解得 $x=40$。
因此,题图中 t 的值为 40。
(3)由题图及(2)可知,40 min 为一个循环周期。
从7:10 到 11:56,共 286 min。
$286÷40=7$(次)……6(min)。
∵$6＜8$,
∴把 $x=6$ 代入 $y=10x+20$,得 $y=10×6+20=80$。
因此,当天中午 11:56 时饮水机内水的温度是 $80\ ℃$,在7:10 至 11:56 这段时间里,水的温度共有7 次达到了 $100\ ℃$。
把 $\begin{cases}x=0,\\y=20,\end{cases}$$\begin{cases}x=8,\\y=100\end{cases}$ 分别代入 $y = kx + b$,
得 $\begin{cases}b=20,\\8k+b=100.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=10,\\b=20.\end{cases}$
因此,当$0≤x≤8$时,y 关于x 的函数解析式为 $y=10x+20$。
(2)饮水机第一次停止加热时,在水的温度下降的过程中,设 y 关于x 的函数解析式为 $y=\frac{m}{x}(m≠0)$。
把 $x=8,y=100$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $100=\frac{m}{8}$。
解得 $m=800$。
因此,$y=\frac{800}{x}$。
把 $y=20$ 代入 $y=\frac{800}{x}$,得 $20=\frac{800}{x}$。
解得 $x=40$。
因此,题图中 t 的值为 40。
(3)由题图及(2)可知,40 min 为一个循环周期。
从7:10 到 11:56,共 286 min。
$286÷40=7$(次)……6(min)。
∵$6＜8$,
∴把 $x=6$ 代入 $y=10x+20$,得 $y=10×6+20=80$。
因此,当天中午 11:56 时饮水机内水的温度是 $80\ ℃$,在7:10 至 11:56 这段时间里,水的温度共有7 次达到了 $100\ ℃$。
解析
【分析】
(1) 已知0≤x≤8时y与x为一次函数关系，且图像过(0,20)和(8,100)两个点，使用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标即可求解参数得到解析式。
(2) 降温阶段y与x为反比例函数关系，已知图像过(8,100)，先设反比例解析式代入该点求出参数，再令y=20即可求解对应的x值即t。
(3) 由前两问可知饮水机每40分钟完成一次“加热-降温”的循环，先计算7:10到11:56的总时长，用总时长除以周期得到完整循环次数和剩余时长，根据剩余时长判断所处的工作阶段，代入对应解析式求温度；达到100℃的次数等于完整循环的次数。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤8$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$\begin{cases}x=0\\y=20\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\y=100\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}b=20\\8k+b=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10\\b=20\end{cases}$
因此当$0≤ x≤8$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+20$。
(2) 设温度下降阶段$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$。
将$x=8,y=100$代入，得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，即$y=\frac{800}{x}$。
当$y=20$时，代入得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，故$t=40$。
(3) 由(2)可知饮水机的工作周期为40min，每个周期内水温会在第8min达到100℃一次。
计算总时长：11时56分 - 7时10分 = 4小时46分钟 = 286min。
$286÷40=7······6$，即经过了7个完整周期，剩余6min。
剩余6min处于新一轮加热的0~8min区间内，将$x=6$代入$y=10x+20$，得$y=10×6+20=80$。
7个完整周期对应7次达到100℃。
【答案】
(1) $y=10x+20\ (0≤ x≤8)$
(2) $t=40$
(3) 中午11:56时饮水机内水温为$80{°}\mathrm{C}$，这段时间里水温共有7次达到$100{°}\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活中饮水机的工作场景考查函数的综合应用，解题关键是准确读取图像信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，同时能找到循环规律解决周期类实际问题，侧重考查读图能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知0≤x≤8时y与x为一次函数关系，且图像过(0,20)和(8,100)两个点，使用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标即可求解参数得到解析式。
(2) 降温阶段y与x为反比例函数关系，已知图像过(8,100)，先设反比例解析式代入该点求出参数，再令y=20即可求解对应的x值即t。
(3) 由前两问可知饮水机每40分钟完成一次“加热-降温”的循环，先计算7:10到11:56的总时长，用总时长除以周期得到完整循环次数和剩余时长，根据剩余时长判断所处的工作阶段，代入对应解析式求温度；达到100℃的次数等于完整循环的次数。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤8$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$\begin{cases}x=0\\y=20\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\y=100\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}b=20\\8k+b=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10\\b=20\end{cases}$
因此当$0≤ x≤8$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+20$。
(2) 设温度下降阶段$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$。
将$x=8,y=100$代入，得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，即$y=\frac{800}{x}$。
当$y=20$时，代入得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，故$t=40$。
(3) 由(2)可知饮水机的工作周期为40min，每个周期内水温会在第8min达到100℃一次。
计算总时长：11时56分 - 7时10分 = 4小时46分钟 = 286min。
$286÷40=7······6$，即经过了7个完整周期，剩余6min。
剩余6min处于新一轮加热的0~8min区间内，将$x=6$代入$y=10x+20$，得$y=10×6+20=80$。
7个完整周期对应7次达到100℃。
【答案】
(1) $y=10x+20\ (0≤ x≤8)$
(2) $t=40$
(3) 中午11:56时饮水机内水温为$80{°}\mathrm{C}$，这段时间里水温共有7次达到$100{°}\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活中饮水机的工作场景考查函数的综合应用，解题关键是准确读取图像信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，同时能找到循环规律解决周期类实际问题，侧重考查读图能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
