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10 已知二次函数 $y=2mx^2+(1-m)x-1-m$，有下列结论：① 当 $m=-1$ 时，函数图象的顶点坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$；② 函数图象总过定点；③ 当 $m＞0$ 时，函数图象在 $x$ 轴上截得的线段的长度大于 $\dfrac{3}{2}$；④ 若函数图象上任取不同的两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$，则当 $m＜0$ 且 $x＞\dfrac{1}{4}$ 时一定能使 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}＜0$ 成立。其中，正确的是
①②③
（填序号）。答案
10. ①②③
11 已知二次函数 $y=x^2-(m-2)x+m-3$（m是常数）.
（1）求证：无论 m 为何值，该二次函数图象与 x 轴一定有交点；
（2）若该二次函数的图象在 x 轴上截得的线段长度为 4，求 m 的值.
（1）求证：无论 m 为何值，该二次函数图象与 x 轴一定有交点；
（2）若该二次函数的图象在 x 轴上截得的线段长度为 4，求 m 的值.
答案
11. (1) 对于 $y=x^2-(m-2)x+m-3$,因为$[-(m-2)]^2-4(m-3)=m^2-4m+4-4m+12=m^2-8m+16=(m-4)^2≥0$,所以无论 $m$ 为何值,该二次函数图象与 $x$ 轴一定有交点
(2) 设抛物线与 $x$ 轴的交点分别为$(a,0),(b,0)$.由题意,得$|a-b|=4,a+b=m-2,ab=m-3$,所以$(a-b)^2=16$.所以$(a+b)^2-4ab=16$.所以$(m-2)^2-4(m-3)=16$,解得 $m=0$ 或 $m=8$.所以 $m$ 的值为 0 或 8
(2) 设抛物线与 $x$ 轴的交点分别为$(a,0),(b,0)$.由题意,得$|a-b|=4,a+b=m-2,ab=m-3$,所以$(a-b)^2=16$.所以$(a+b)^2-4ab=16$.所以$(m-2)^2-4(m-3)=16$,解得 $m=0$ 或 $m=8$.所以 $m$ 的值为 0 或 8
12 已知二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $（$ k $ 为常数）.
(1) 求证:二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点.
(2) 若二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标异号,且两个交点之间的距离为 3.
① 求此时 $ k $ 的值.
② 当 $ x = m $ 时,函数值为 $ M $;当 $ x = n $ 时,函数值为 $ N $.若 $ m + n = 2 $,且 $ m ≠ n $,求证: $ M + N ＞ 0 $.
(1) 求证:二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点.
(2) 若二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标异号,且两个交点之间的距离为 3.
① 求此时 $ k $ 的值.
② 当 $ x = m $ 时,函数值为 $ M $;当 $ x = n $ 时,函数值为 $ N $.若 $ m + n = 2 $,且 $ m ≠ n $,求证: $ M + N ＞ 0 $.
答案
12. (1) 根据题意,令 $ y = 0 $,得关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 + (2k - 1)x - 2 = 0 $.因为 $ b^2 - 4ac = (2k - 1)^2 + 8k = 4k^2 - 4k + 1 + 8k = 4k^2 + 4k + 1 = (2k + 1)^2 ≥ 0 $,所以二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点
(2) ① 设方程 $ kx^2 + (2k - 1)x - 2 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_1,x_2 $,则 $ x_1 + x_2 = -\frac{2k - 1}{k},x_1x_2 = -\frac{2}{k} $.所以 $ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \frac{(2k + 1)^2}{k^2} $.因为二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为 3,所以 $ |x_1 - x_2| = 3 $.所以 $ \frac{(2k + 1)^2}{k^2} = 3^2 $,解得 $ k = 1 $ 或 $ k = -\frac{1}{5} $.经检验,$ k = 1 $ 或 $ k = -\frac{1}{5} $ 都是原分式方程的解.因为二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标异号,所以 $ x_1x_2 = -\frac{2}{k} ＜ 0 $.所以 $ k ＞ 0 $.所以 $ k = 1 $
② 因为 $ k = 1 $,所以二次函数的表达式为 $ y = x^2 + x - 2 $.由题意,得 $ M = m^2 + m - 2,N = n^2 + n - 2 $.因为 $ m + n = 2 $,所以 $ m = 2 - n $.所以 $ M + N = m^2 + m - 2 + n^2 + n - 2 = (2 - n)^2 + 2 - n - 2 + n^2 + n - 2 = 2n^2 - 4n + 2 = 2(n - 1)^2 $.又因为 $ m + n = 2 $,且 $ m ≠ n $,所以 $ n ≠ 1 $.所以 $ M + N = 2(n - 1)^2 ＞ 0 $
(2) ① 设方程 $ kx^2 + (2k - 1)x - 2 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_1,x_2 $,则 $ x_1 + x_2 = -\frac{2k - 1}{k},x_1x_2 = -\frac{2}{k} $.所以 $ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \frac{(2k + 1)^2}{k^2} $.因为二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为 3,所以 $ |x_1 - x_2| = 3 $.所以 $ \frac{(2k + 1)^2}{k^2} = 3^2 $,解得 $ k = 1 $ 或 $ k = -\frac{1}{5} $.经检验,$ k = 1 $ 或 $ k = -\frac{1}{5} $ 都是原分式方程的解.因为二次函数 $ y = kx^2 + (2k - 1)x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标异号,所以 $ x_1x_2 = -\frac{2}{k} ＜ 0 $.所以 $ k ＞ 0 $.所以 $ k = 1 $
② 因为 $ k = 1 $,所以二次函数的表达式为 $ y = x^2 + x - 2 $.由题意,得 $ M = m^2 + m - 2,N = n^2 + n - 2 $.因为 $ m + n = 2 $,所以 $ m = 2 - n $.所以 $ M + N = m^2 + m - 2 + n^2 + n - 2 = (2 - n)^2 + 2 - n - 2 + n^2 + n - 2 = 2n^2 - 4n + 2 = 2(n - 1)^2 $.又因为 $ m + n = 2 $,且 $ m ≠ n $,所以 $ n ≠ 1 $.所以 $ M + N = 2(n - 1)^2 ＞ 0 $
