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13. [2026 鹤壁外国语学校月考] $\sqrt{16}$的算术平方根是（
A.4
B.$\pm4$
C.2
D.8
C
）A.4
B.$\pm4$
C.2
D.8
答案
$\sqrt{16}=4$,4的算术平方根是2。
14. [2026 常州月考]已知$\sqrt{a+b+1}=a+b+1$，那么$(a+b)^{2025}=$（
A.0或-1
B.1或-1
C.1或0
D.-1
A
）A.0或-1
B.1或-1
C.1或0
D.-1
答案
因为$\sqrt{a+b+1}=a+b+1$,所以$a+b+1=0$或$a+b+1=1$,所以$a+b=-1$或$a+b=0$,所以$(a+b)^{2025}=-1$或$(a+b)^{2025}=0$。
15. [2026 郑州领航实验学校月考] 若$\sqrt{(x - 3.5)^2} = 3.5 - x$，则$x$的值不能是（
A.4
B.3
C.2
D.1
A
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
若$\sqrt{(x - 3.5)^2} = 3.5 - x$,则$3.5 - x≥0$,(算术平方根是一个非负数)所以$x≤3.5$,所以$x$的值不能是4。
16. 当$x=$
4
时，式子$3+\sqrt{x-4}$取得最小值，且最小值是3
。答案
因为$\sqrt{x-4}≥0$,所以当$x-4=0$时,$3+\sqrt{x-4}$取得最小值,所以当$x=4$时,$3+\sqrt{x-4}$取得最小值,且最小值是3。
17. [2026聊城期中]若实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} + \sqrt{(a+b)^2}$的结果是
-2a-2b
。答案
由题图,得$a＜0＜b$,$|a|＞|b|$,所以$a+b＜0$,所以$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} + \sqrt{(a+b)^2} = |a| - |b| + |a+b| = -a - b-(a+b) = -a - b - a - b = -2a - 2b$。
18. [2025达州质检] 已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$，求 $3x + 2y$ 的算术平方根。
答案
解:由题意,知$x - 3≥0$且$3 - x≥0$,所以$x = 3$,
把$x = 3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$,
得$y = \sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 - 3} + 8 = 8$,
当$x = 3$,$y = 8$时,$3x + 2y = 3 × 3 + 2 × 8 = 25$,
25 的算术平方根是 5,
所以$3x + 2y$ 的算术平方根是 5。
把$x = 3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$,
得$y = \sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 - 3} + 8 = 8$,
当$x = 3$,$y = 8$时,$3x + 2y = 3 × 3 + 2 × 8 = 25$,
25 的算术平方根是 5,
所以$3x + 2y$ 的算术平方根是 5。
19. 新趋势·传统文化 [2026 常州金坛区期中]《清秘藏》
是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类。现有一张长方形绣布，长、宽之比为4:3，绣布面积为588 cm²。
(1)求绣布的周长。
(2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375 cm²的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由。(π取3)
是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类。现有一张长方形绣布，长、宽之比为4:3，绣布面积为588 cm²。
(1)求绣布的周长。
(2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375 cm²的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由。(π取3)
答案
解:(1)设绣布的长为$4x$ cm,宽为$3x$ cm,
根据题意,得$4x · 3x = 588$,
即$12x^2 = 588$,所以$x^2 = 49$,
所以$x = \sqrt{49} = 7$,
所以绣布的长为 28 cm,宽为 21 cm,
所以绣布的周长为$2 × (28 + 21) = 98(\mathrm{cm})$。
(2)她不能裁出来。理由如下:
设完整的圆形绣布的半径为$r$ cm,
根据题意,得$π r^2 = 375$,
因为$π$取 3,所以$r^2 = 125$,所以$r = \sqrt{125}$,
因为$\sqrt{125} ＞ \sqrt{121} = 11$,所以$2r ＞ 21$,
所以她不能裁出来。
根据题意,得$4x · 3x = 588$,
即$12x^2 = 588$,所以$x^2 = 49$,
所以$x = \sqrt{49} = 7$,
所以绣布的长为 28 cm,宽为 21 cm,
所以绣布的周长为$2 × (28 + 21) = 98(\mathrm{cm})$。
(2)她不能裁出来。理由如下:
设完整的圆形绣布的半径为$r$ cm,
根据题意,得$π r^2 = 375$,
因为$π$取 3,所以$r^2 = 125$,所以$r = \sqrt{125}$,
因为$\sqrt{125} ＞ \sqrt{121} = 11$,所以$2r ＞ 21$,
所以她不能裁出来。
20. 运算能力 [2025九江柴桑区联考]观察表格并回答下列问题。
(1)表格中$x=$
(2)①已知$\sqrt{6} \approx 2.45$,则$\sqrt{0.06} \approx$
②已知$\sqrt{0.0012} \approx 0.03464$, $\sqrt{2m} \approx 34.64$,则$m$的值为
(1)表格中$x=$
0.1
,$y=$10
。(2)①已知$\sqrt{6} \approx 2.45$,则$\sqrt{0.06} \approx$
0.245
；②已知$\sqrt{0.0012} \approx 0.03464$, $\sqrt{2m} \approx 34.64$,则$m$的值为
600
。答案
(1)$x = \sqrt{0.01} = 0.1$,$y = \sqrt{100} = 10$。
(2)①由题中表格数据可得,被开方数的小数点每往右移动两位,则它的算术平方根的小数点就向右移动一位,所以由$\sqrt{6} \approx 2.45$可知, $\sqrt{0.06} \approx 0.245$。
②因为$\sqrt{0.001 2} \approx 0.034 64$,$\sqrt{2m} \approx 34.64$,0.034 64的小数点向右移动3位得到34.64,所以由题中表格可知,被开方数0.001 2的小数点需向右移动6位得到2m,所以$0.001 2 × 10^6 = 2m$,解得$m = 600$,所以$m$的值为600。
解有关算术平方根规律探究题的方法
对于此类规律探究题,要从两个方面比较:(1)比较被开方数。(2)比较开方后的结果,进而从中发现规律。例如本题,从题中表格可以发现被开方数在不断变大,后一个数是前一个数的100倍,其算术平方根也在变大,但只变大为前一个数的10倍,于是猜测规律为被开方数变大为原来的100倍,其算术平方根变为原来的10倍。
(2)①由题中表格数据可得,被开方数的小数点每往右移动两位,则它的算术平方根的小数点就向右移动一位,所以由$\sqrt{6} \approx 2.45$可知, $\sqrt{0.06} \approx 0.245$。
②因为$\sqrt{0.001 2} \approx 0.034 64$,$\sqrt{2m} \approx 34.64$,0.034 64的小数点向右移动3位得到34.64,所以由题中表格可知,被开方数0.001 2的小数点需向右移动6位得到2m,所以$0.001 2 × 10^6 = 2m$,解得$m = 600$,所以$m$的值为600。
解有关算术平方根规律探究题的方法
对于此类规律探究题,要从两个方面比较:(1)比较被开方数。(2)比较开方后的结果,进而从中发现规律。例如本题,从题中表格可以发现被开方数在不断变大,后一个数是前一个数的100倍,其算术平方根也在变大,但只变大为前一个数的10倍,于是猜测规律为被开方数变大为原来的100倍,其算术平方根变为原来的10倍。
1. [2026 宁波镇海区期末] 计算：$\sqrt{(-5)^2} =$
$(\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2 =$
5
；$(\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2 =$
$\dfrac{1}{4}$
。答案
1 $5\quad \dfrac{1}{4}\quad \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5,(\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2 = (\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}。$
2. [2025许昌期中]若$a≤3$，则$\sqrt{(a - π)^2} =$
$π - a$
。答案
2 $π - a$ 因为$a≤3,π＞3$,所以$a - π ＜ 0$,所以$\sqrt{(a - π)^2} = -(a - π) = π - a。$
3. 若$(\sqrt{m-1})^2 = 3$，则$m =$
$4$
；若$\sqrt{(m-1)^2} = 3$，则$m$$4或-2$
。答案
3 $4\quad 4或-2$
4. 若$a,b,c$为三角形的三边长，化简$\sqrt{(a+b-c)^2} + \sqrt{(b-c-a)^2} + \sqrt{(b+c-a)^2} =$
$a+b+c$
。答案
4 $a + b + c$ 因为$a,b,c$为三角形的三边长,所以$a + b ＞ c,a + c ＞ b, b + c ＞ a$, 所以 $\sqrt{(a+b-c)^2} + \sqrt{(b-c-a)^2} + \sqrt{(b+c-a)^2} = a + b - c - (b - c - a) + b + c - a = a + b - c - b + c + a + b + c - a = a + b + c。$
