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11. 抛物线 $ y = 2x^{2} + 2(k - 1)x - k $($ k $ 为常数)与 $ x $ 轴交点的个数是
2
。答案
11. 2
12. (2023·内蒙古包头中考)已知二次函数 $ y = -ax^{2} + 2ax + 3(a ＞ 0) $，若点 $ P(m, 3) $ 在该函数的图象上，且 $ m ≠ 0 $，则 $ m $ 的值为
2
。答案
12. 2
13. 已知点 $ A(4, y_{1}) $，$ B(1, y_{2}) $，$ C(-3, y_{3}) $ 在函数 $ y = -3(x - 2)^{2} + m $($ m $ 为常数)的图象上，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 的大小关系是
$y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$
。(从小到大排列)答案
13. $y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$
14. (2024·江苏苏州模拟)将抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 先向右平移 $ 1 $ 个单位长度，再向下平移 $ 3 $ 个单位长度后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是
$y = \frac{1}{2}(x - 1)^{2} - 3$
。答案
14. $y = \frac{1}{2}(x - 1)^{2} - 3$
15. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a ≠ 0) $ 的图象如图所示，则不等式 $ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $ 的解集是
$-1 ＜ x ＜ 2$
。答案
15. $-1 ＜ x ＜ 2$
16. (2024·烟台中考)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的 $ y $ 值与 $ x $ 的部分对应值见下表：
有下列结论：
① $ abc ＞ 0 $；
② 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 9 $ 有两个相等的实数根；
③ 当 $ -4 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 的取值范围为 $ 0 ＜ y ＜ 5 $；
④ 若点 $ (m, y_{1}) $，$ (-m - 2, y_{2}) $ 均在二次函数的图象上，则 $ y_{1} = y_{2} $；
⑤ 满足 $ ax^{2} + (b + 1)x + c ＜ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 3 $。
其中正确结论的序号为
有下列结论：
① $ abc ＞ 0 $；
② 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 9 $ 有两个相等的实数根；
③ 当 $ -4 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 的取值范围为 $ 0 ＜ y ＜ 5 $；
④ 若点 $ (m, y_{1}) $，$ (-m - 2, y_{2}) $ 均在二次函数的图象上，则 $ y_{1} = y_{2} $；
⑤ 满足 $ ax^{2} + (b + 1)x + c ＜ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 3 $。
其中正确结论的序号为
①②④
。答案
16. ①②④
17. (8 分)已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ A(2, 0) $，$ B(3n - 4, y_{1}) $，$ C(5n + 6, y_{2}) $ 三点，对称轴是直线 $ x = 1 $。关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = x $ 有两个相等的实数根。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 $ n ＜ -5 $，试比较 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小；
(3)若 $ B $，$ C $ 两点在直线 $ x = 1 $ 的两侧，且 $ y_{1} ＞ y_{2} $，求 $ n $ 的取值范围。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 $ n ＜ -5 $，试比较 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小；
(3)若 $ B $，$ C $ 两点在直线 $ x = 1 $ 的两侧，且 $ y_{1} ＞ y_{2} $，求 $ n $ 的取值范围。
答案
17. 解：(1)
∵抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 经过 $A(2,0)$，
∴ $0 = 4a + 2b + c$ ①.
∵对称轴是直线 $x = 1$，
∴ $-\frac{b}{2a} = 1$ ②.
∵关于 $x$ 的方程 $ax^{2} + bx + c = x$ 有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (b - 1)^{2} - 4ac = 0$ ③.
由①②③可得 $\begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ b = 1, \\ c = 0, \end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x$.
(2)
∵ $n ＜ -5$，
∴ $3n - 4 ＜ -19$，$5n + 6 ＜ -19$.
∴点 $B$，点 $C$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的左侧.
∵抛物线 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x$，
∴ $-\frac{1}{2} ＜ 0$，即当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
∵ $(3n - 4) - (5n + 6) = -2n - 10 = -2(n + 5) ＞ 0$，
∴ $3n - 4 ＞ 5n + 6$.
∴ $y_{1} ＞ y_{2}$.
(3)若点 $B$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的左侧，点 $C$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的右侧时，
由题意可得 $\begin{cases} 3n - 4 ＜ 1, \\ 5n + 6 ＞ 1, \\ 1 - (3n - 4) ＜ 5n + 6 - 1, \end{cases}$
∴ $0 ＜ n ＜ \frac{5}{3}$.
若点 $C$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的左侧，点 $B$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的右侧时，
由题意可得 $\begin{cases} 3n - 4 ＞ 1, \\ 5n + 6 ＜ 1, \\ 3n - 4 - 1 ＜ 1 - (5n + 6), \end{cases}$
∴不等式组无解.
综上所述，$0 ＜ n ＜ \frac{5}{3}$.
∵抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 经过 $A(2,0)$，
∴ $0 = 4a + 2b + c$ ①.
∵对称轴是直线 $x = 1$，
∴ $-\frac{b}{2a} = 1$ ②.
∵关于 $x$ 的方程 $ax^{2} + bx + c = x$ 有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (b - 1)^{2} - 4ac = 0$ ③.
由①②③可得 $\begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ b = 1, \\ c = 0, \end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x$.
(2)
∵ $n ＜ -5$，
∴ $3n - 4 ＜ -19$，$5n + 6 ＜ -19$.
∴点 $B$，点 $C$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的左侧.
∵抛物线 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x$，
∴ $-\frac{1}{2} ＜ 0$，即当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
∵ $(3n - 4) - (5n + 6) = -2n - 10 = -2(n + 5) ＞ 0$，
∴ $3n - 4 ＞ 5n + 6$.
∴ $y_{1} ＞ y_{2}$.
(3)若点 $B$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的左侧，点 $C$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的右侧时，
由题意可得 $\begin{cases} 3n - 4 ＜ 1, \\ 5n + 6 ＞ 1, \\ 1 - (3n - 4) ＜ 5n + 6 - 1, \end{cases}$
∴ $0 ＜ n ＜ \frac{5}{3}$.
若点 $C$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的左侧，点 $B$ 在对称轴直线 $x = 1$ 的右侧时，
由题意可得 $\begin{cases} 3n - 4 ＞ 1, \\ 5n + 6 ＜ 1, \\ 3n - 4 - 1 ＜ 1 - (5n + 6), \end{cases}$
∴不等式组无解.
综上所述，$0 ＜ n ＜ \frac{5}{3}$.
