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11. (1) 已知 $10^{m} = 4$, $10^{n} = 5$, 求 $10^{m + n + 1}$ 的值；
(2) 已知 $8 × 2^{2m} × 16 = 2^{21}$, 求 $m$ 的值.
(2) 已知 $8 × 2^{2m} × 16 = 2^{21}$, 求 $m$ 的值.
答案
11. 解：(1) $ 10 ^ { m + n + 1 } = 10 ^ { m } · 10 ^ { n } · 10 = 4 × 5 × 10 = 200 $
(2) 因为 $ 8 × 2 ^ { 2 m } × 16 = 2 ^ { 3 } × 2 ^ { 2 m } × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 3 + 2 m + 4 } $
所以 $ 2 ^ { 3 + 2 m + 4 } = 2 ^ { 21 } $，即 $ 3 + 2 m + 4 = 21 $，解得 $ m = 7 $
(2) 因为 $ 8 × 2 ^ { 2 m } × 16 = 2 ^ { 3 } × 2 ^ { 2 m } × 2 ^ { 4 } = 2 ^ { 3 + 2 m + 4 } $
所以 $ 2 ^ { 3 + 2 m + 4 } = 2 ^ { 21 } $，即 $ 3 + 2 m + 4 = 21 $，解得 $ m = 7 $
12. (2024·江阴月考)规定运算“$*$”为: $a * b = 3^{a} × 3^{b}$.
(1) 求 $1 * 2$ 的值；
(2) 若 $2 * (x + 1) = 81$, 求 $x$ 的值.
(1) 求 $1 * 2$ 的值；
(2) 若 $2 * (x + 1) = 81$, 求 $x$ 的值.
答案
12. 解：(1) 因为 $ a * b = 3 ^ { a } × 3 ^ { b } $
所以 $ 1 * 2 = 3 ^ { 1 } × 3 ^ { 2 } = 3 × 9 = 27 $
(2) 因为 $ 2 * ( x + 1 ) = 81 $，所以 $ 3 ^ { 2 } × 3 ^ { x + 1 } = 3 ^ { 4 } $，则 $ 2 + x + 1 = 4 $，解得 $ x = 1 $
所以 $ 1 * 2 = 3 ^ { 1 } × 3 ^ { 2 } = 3 × 9 = 27 $
(2) 因为 $ 2 * ( x + 1 ) = 81 $，所以 $ 3 ^ { 2 } × 3 ^ { x + 1 } = 3 ^ { 4 } $，则 $ 2 + x + 1 = 4 $，解得 $ x = 1 $
13. 已知 $x$ 满足 $2^{2x + 4} - 2^{2x + 2} = 96$, 利用同底数幂的乘法运算性质求 $x$ 的值.
答案
13. 解：$ 2 ^ { 2 x + 4 } - 2 ^ { 2 x + 2 } = 96 $ 可化为 $ 2 ^ { 2 x + 2 } × 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 x + 2 } = 96 $
整理，得 $ 2 ^ { 2 x + 2 } × ( 2 ^ { 2 } - 1 ) = 96 $，即 $ 2 ^ { 2 x + 2 } × 3 = 96 $
所以 $ 2 ^ { 2 x + 2 } = 32 $，即 $ 2 x + 2 = 5 $，解得 $ x = \dfrac { 3 } { 2 } $
整理，得 $ 2 ^ { 2 x + 2 } × ( 2 ^ { 2 } - 1 ) = 96 $，即 $ 2 ^ { 2 x + 2 } × 3 = 96 $
所以 $ 2 ^ { 2 x + 2 } = 32 $，即 $ 2 x + 2 = 5 $，解得 $ x = \dfrac { 3 } { 2 } $
