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14. 「教材易错题」「2025 河南商丘永城期中，」已知$\sqrt[3]{a^{2}}=a^{2}$，则$a$的值为 (
A.0
B.1
C.$\pm1$
D.0 或$\pm1$
D
)A.0
B.1
C.$\pm1$
D.0 或$\pm1$
答案
14. D $\because \sqrt[3]{a^{2}}=a^{2}$, 即一个非负数的立方根是它本身,
$\therefore$ 这样的数有 0,1, 当 $a^{2}=1$ 时, $a= \pm 1$, 当 $a^{2}=0$ 时, $a=0, \therefore a$ 的值为 0 或 $\pm 1$. 故选 D.
$\therefore$ 这样的数有 0,1, 当 $a^{2}=1$ 时, $a= \pm 1$, 当 $a^{2}=0$ 时, $a=0, \therefore a$ 的值为 0 或 $\pm 1$. 故选 D.
15. 「2025 陕西咸阳月考，」若$(a+3)^{2}+\sqrt{b - 2}=0$，则$a + b$的立方根为 (
A.$-1$
B.0
C.1
D.2025
A
)A.$-1$
B.0
C.1
D.2025
答案
15. A $\because(a+3)^{2}+\sqrt{b-2}=0,(a+3)^{2} ≥ 0, \sqrt{b-2} ≥ 0$,
$\therefore a+3=0, b-2=0, \therefore a=-3, b=2$,
$\therefore a+b=-3+2=-1, \therefore \sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{-1}=-1$,
$\therefore a+b$ 的立方根为 -1. 故选 A.
$\therefore a+3=0, b-2=0, \therefore a=-3, b=2$,
$\therefore a+b=-3+2=-1, \therefore \sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{-1}=-1$,
$\therefore a+b$ 的立方根为 -1. 故选 A.
16. 「」若一个正数$x$的两个不同平方根是$\sqrt[3]{17 - a}$和$\sqrt[3]{3a - 1}$，则$\sqrt[3]{a}$的值为
-2
。答案
16. 答案 -2
解析 $\because$ 一个正数 $x$ 的两个不同平方根是 $\sqrt[3]{17-a}$ 和 $\sqrt[3]{3 a-1}$,
$\therefore \sqrt[3]{17-a}+\sqrt[3]{3 a-1}=0, \therefore 17-a+3 a-1=0$,
$\therefore a=-8, \therefore \sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-8}=-2$.
解析 $\because$ 一个正数 $x$ 的两个不同平方根是 $\sqrt[3]{17-a}$ 和 $\sqrt[3]{3 a-1}$,
$\therefore \sqrt[3]{17-a}+\sqrt[3]{3 a-1}=0, \therefore 17-a+3 a-1=0$,
$\therefore a=-8, \therefore \sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-8}=-2$.
17. 「2025 广东汕头期中，」计算：$-1^{2027}+\sqrt{16}×(-3)^{2}+(-6)÷\sqrt[3]{-8}$。
答案
17. 解析 原式 $=-1+4 × 9+(-6) ÷(-2)=-1+36+3=38$.
18. 「2025 陕西渭南韩城期中，」有两个正方体水箱，第一个正方体水箱的棱长是 6 dm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的 3 倍还多 81 dm³，则第二个水箱的表面积为多少 dm²？
答案
18. 解析 因为第一个正方体水箱的体积为 $6^{3}=216(\mathrm{dm}^{3})$,
所以第二个正方体水箱的体积为 $3 × 216+81=729(\mathrm{dm}^{3})$,
所以第二个正方体水箱的棱长为 $\sqrt[3]{729}=9(\mathrm{dm})$,
所以第二个正方体水箱的表面积为 $9^{2} × 6=486(\mathrm{dm}^{2})$.
所以第二个正方体水箱的体积为 $3 × 216+81=729(\mathrm{dm}^{3})$,
所以第二个正方体水箱的棱长为 $\sqrt[3]{729}=9(\mathrm{dm})$,
所以第二个正方体水箱的表面积为 $9^{2} × 6=486(\mathrm{dm}^{2})$.
19. 「教材变式」「2025 河南商丘月考，」观察下列规律并回答问题：
$\sqrt[3]{-0.002197}=-0.13$，$\sqrt[3]{-2.197}=-1.3$，$\sqrt[3]{-2197}=-13$，……
(1)$\sqrt[3]{-2197000}=$
(2)已知$\sqrt[3]{x}=2.35$，若$\sqrt[3]{y}=0.235$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$
(3)当$a≥0$时，根据上述规律比较$\sqrt[3]{a}$与$a$的大小情况。
$\sqrt[3]{-0.002197}=-0.13$，$\sqrt[3]{-2.197}=-1.3$，$\sqrt[3]{-2197}=-13$，……
(1)$\sqrt[3]{-2197000}=$
-130
，$\sqrt[3]{-2.197×10^{9}}=$-1300
。(2)已知$\sqrt[3]{x}=2.35$，若$\sqrt[3]{y}=0.235$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$
$\frac{x}{1000}$
。(3)当$a≥0$时，根据上述规律比较$\sqrt[3]{a}$与$a$的大小情况。
答案
19. 解析 (1) $\because \sqrt[3]{-0.002197}=-0.13, \sqrt[3]{-2.197}=-1.3, \sqrt[3]{-2197}=-13, ··· ···$
$\therefore$ 被开方数的小数点向右 (或向左) 移动 3 位, 则其立方根的小数点向右 (或向左) 移动 1 位,
$\therefore \sqrt[3]{-2197000}=-130$,
$\sqrt[3]{-2.197 × 10^{9}}=\sqrt[3]{-2197000000}=-1300$,
故答案为 -130 ; -1300.
(2) $\because \sqrt[3]{y}=0.235, \sqrt[3]{x}=2.35$, 且 $2.35=0.235 × 10$,
$\therefore x=1000 y, \therefore y=\frac{x}{1000}$,
故答案为 $\frac{x}{1000}$.
(3) $\sqrt[3]{0}=0, \sqrt[3]{1}=1$,
由 (1) 的规律得 $\sqrt[3]{0.001}=0.1, \sqrt[3]{1000}=10$.
(1)当 $a=0$ 时, $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{0}=0$, 此时 $\sqrt[3]{a}=a$;
(2)当 $0＜a＜1$ 时, $\sqrt[3]{a}＞a$;
(3)当 $a=1$ 时, $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{1}=1$, 此时 $\sqrt[3]{a}=a$;
(4)当 $a＞1$ 时, $\sqrt[3]{a}＜a$.
综上, 当 $a=0$ 或 $a=1$ 时, $\sqrt[3]{a}=a$; 当 $0＜a＜1$ 时, $\sqrt[3]{a}＞a$; 当 $a＞1$ 时, $\sqrt[3]{a}＜a$.
$\therefore$ 被开方数的小数点向右 (或向左) 移动 3 位, 则其立方根的小数点向右 (或向左) 移动 1 位,
$\therefore \sqrt[3]{-2197000}=-130$,
$\sqrt[3]{-2.197 × 10^{9}}=\sqrt[3]{-2197000000}=-1300$,
故答案为 -130 ; -1300.
(2) $\because \sqrt[3]{y}=0.235, \sqrt[3]{x}=2.35$, 且 $2.35=0.235 × 10$,
$\therefore x=1000 y, \therefore y=\frac{x}{1000}$,
故答案为 $\frac{x}{1000}$.
(3) $\sqrt[3]{0}=0, \sqrt[3]{1}=1$,
由 (1) 的规律得 $\sqrt[3]{0.001}=0.1, \sqrt[3]{1000}=10$.
(1)当 $a=0$ 时, $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{0}=0$, 此时 $\sqrt[3]{a}=a$;
(2)当 $0＜a＜1$ 时, $\sqrt[3]{a}＞a$;
(3)当 $a=1$ 时, $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{1}=1$, 此时 $\sqrt[3]{a}=a$;
(4)当 $a＞1$ 时, $\sqrt[3]{a}＜a$.
综上, 当 $a=0$ 或 $a=1$ 时, $\sqrt[3]{a}=a$; 当 $0＜a＜1$ 时, $\sqrt[3]{a}＞a$; 当 $a＞1$ 时, $\sqrt[3]{a}＜a$.
20. 「新课标新考向」数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求 59319 的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙。你知道华罗庚是怎样迅速地求出计算结果的吗？请你按下面的步骤试一试。
第一步：$\because\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，且$1000＜59319＜1000000$，$\therefore10＜\sqrt[3]{59319}＜100$，即 59319 的立方根是一个两位数；
第二步：$\because59319$的个位上的数字是 9，而$9^{3}=729$，$\therefore$能确定$\sqrt[3]{59319}$的个位上的数字是 9；
第三步：如果划除 59319 后面的三位数，得到数 59，而$3^{3}＜59＜4^{3}$，$\therefore27000＜59319＜64000$，$\therefore30＜\sqrt[3]{59319}＜40$，$\therefore\sqrt[3]{59319}$的十位上的数字是 3，$\therefore59319$的立方根是 39。
根据上面的材料，解答下面的问题：
(1)填空：1331 的立方根是一个
(2)仿照上面的方法求 238328 的立方根$a$，并验证$a$是 238328 的立方根。
第一步：$\because\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，且$1000＜59319＜1000000$，$\therefore10＜\sqrt[3]{59319}＜100$，即 59319 的立方根是一个两位数；
第二步：$\because59319$的个位上的数字是 9，而$9^{3}=729$，$\therefore$能确定$\sqrt[3]{59319}$的个位上的数字是 9；
第三步：如果划除 59319 后面的三位数，得到数 59，而$3^{3}＜59＜4^{3}$，$\therefore27000＜59319＜64000$，$\therefore30＜\sqrt[3]{59319}＜40$，$\therefore\sqrt[3]{59319}$的十位上的数字是 3，$\therefore59319$的立方根是 39。
根据上面的材料，解答下面的问题：
(1)填空：1331 的立方根是一个
两
位数，其个位上的数字是1
。(2)仿照上面的方法求 238328 的立方根$a$，并验证$a$是 238328 的立方根。
答案
20. 解析 (1) $\because 1000＜1331＜1000000$,
$\therefore 10＜\sqrt[3]{1331}＜100, \therefore \sqrt[3]{1331}$ 是一个两位数,
$\because 1^{3}=1, \therefore \sqrt[3]{1331}$ 的个位上的数字是 1,
故答案为两; 1.
(2) $\because \sqrt[3]{1000}=10, \sqrt[3]{1000000}=100$, 且 $1000＜238328＜1000000, \therefore 10＜\sqrt[3]{238328}＜100$, 即 238328 的立方根是一个两位数, $\because 238328$ 的个位上的数字是 8, 而 $2^{3}=8, \therefore$ 能确定 $\sqrt[3]{238328}$ 的个位上的数字是 2, 如果划除 238328 后面的三位数, 得到数 238, 而 $216＜238＜343, \therefore 216000＜238328＜343000$,
$\therefore \sqrt[3]{216000}＜\sqrt[3]{238328}＜\sqrt[3]{343000}$,
$\therefore 60＜\sqrt[3]{238328}＜70$,
$\therefore \sqrt[3]{238328}$ 的十位上的数字是 6,
$\therefore 238328$ 的立方根是 62.
验证: $62 × 62 × 62=238328$.
$\therefore 10＜\sqrt[3]{1331}＜100, \therefore \sqrt[3]{1331}$ 是一个两位数,
$\because 1^{3}=1, \therefore \sqrt[3]{1331}$ 的个位上的数字是 1,
故答案为两; 1.
(2) $\because \sqrt[3]{1000}=10, \sqrt[3]{1000000}=100$, 且 $1000＜238328＜1000000, \therefore 10＜\sqrt[3]{238328}＜100$, 即 238328 的立方根是一个两位数, $\because 238328$ 的个位上的数字是 8, 而 $2^{3}=8, \therefore$ 能确定 $\sqrt[3]{238328}$ 的个位上的数字是 2, 如果划除 238328 后面的三位数, 得到数 238, 而 $216＜238＜343, \therefore 216000＜238328＜343000$,
$\therefore \sqrt[3]{216000}＜\sqrt[3]{238328}＜\sqrt[3]{343000}$,
$\therefore 60＜\sqrt[3]{238328}＜70$,
$\therefore \sqrt[3]{238328}$ 的十位上的数字是 6,
$\therefore 238328$ 的立方根是 62.
验证: $62 × 62 × 62=238328$.
