25. 新课标 中华优秀传统文化 「2024 湖南长沙中考」（8 分）刺绣是我国民间传统手工艺. 湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外. 在巴黎奥运会倒计时 50 天之际，某国际旅游公司计划购买 A，B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品. 已知购买 1 件 A 种湘绣作品与 2 件 B 种湘绣作品共需要 700 元，购买 2 件 A 种湘绣作品与 3 件 B 种湘绣作品共需要 1 200 元.
（1）求 A 种湘绣作品和 B 种湘绣作品的单价分别为多少元.
（2）该国际旅游公司计划购买 A 种湘绣作品和 B 种湘绣作品共 200 件，总费用不超过 50 000 元，那么最多能购买 A 种湘绣作品多少件？

25.解析 (1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元,根据题意得$\begin{cases}x+2y=700\\2x+3y=1200\end{cases}$, 解得$\begin{cases}x=300\\y=200\end{cases}$.答:A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元.
(2)设购买A种湘绣作品m件,则购买B种湘绣作品(200-m)件,根据题意得300m+200(200-m)≤50000, 解得m≤100.
∵m为整数,
∴m的最大值为100.答:最多能购买A种湘绣作品100件.

26. （10 分）
（1）如图①，已知 $ AB// CD $，点 $ M $ 为平面内一点， $ BM⊥ CM $. 小颖说：“过点 $ M $ 作 $ MP// AB $，很容易说明 $ ∠ ABM $ 和 $ ∠ DCM $ 互余.”请你帮小颖写出具体的证明过程.
（2）如图②， $ AB// CD $，点 $ M $ 在射线 $ ED $ 上运动，当点 $ M $ 运动到点 $ A $ 与点 $ D $ 之间时，试判断 $ ∠ BMC $ 与 $ ∠ ABM,∠ DCM $ 之间的数量关系，并说明理由.
（3）在（2）的条件下，当点 $ M $ 在射线 $ ED $ 上的其他地方运动时（点 $ M $ 与 $ E,A,D $ 三点不重合），请直接写出 $ ∠ BMC $ 与 $ ∠ ABM,∠ DCM $ 之间的数量关系.

26.解析 (1)证明:如图1,过M作MP//AB,则∠BMP=∠ABM,
∵AB//CD,
∴MP//CD,
∴∠PMC=∠MCD,
∵BM⊥CM,
∴∠BMP+∠PMC=90°,
∴∠ABM+∠MCD=90°,
∴∠ABM和∠DCM互余.

(2)∠ABM+∠DCM=∠BMC.
理由如下:如图2,过M作MF//AB,交BC于F,则∠ABM=∠BMF,
∵AB//CD,
∴MF//CD,
∴∠DCM=∠FMC,
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC.
(3)当点M运动到E,A两点之间时,如图3,∠BMC=∠DCM-∠ABM;

当点M运动到点D的右侧时,如图4,∠BMC=∠ABM-∠DCM.