1.(5分)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=10$，则$AC$的长是（）

A.5
B.6
C.8
D.10

1. A

【分析】
解题时首先观察题目特征，本题是含30°角的直角三角形求解边长问题，可直接调用直角三角形30°角的相关性质解题。第一步先确定斜边：直角∠C的对边是AB，因此AB为斜边，长度已知为10；第二步确定30°角对应的直角边：∠B=30°，其对边为AC，即我们要求的边长；第三步根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB为斜边，
∵∠B=30°，∠B的对边是AC，
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得$AC=\frac{1}{2}AB$，
将AB=10代入得：$AC=\frac{1}{2}×10=5$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对直角三角形特殊角度性质的应用，解题的关键是准确对应30°角和其所对的直角边、斜边的关系，避免混淆边的对应关系即可得分。
【难度系数】
0.9

2.(5分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD是高,$∠ A=30°$,$BD=2\ \mathrm{cm}$,则AB的长是 ()

A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

(第2题图) (第3题图)

2. C

【分析】
解题思路如下：首先在$Rt△ ABC$中，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ B$的度数，同时根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到$BC$和$AB$的数量关系；再由$CD$是高得到$Rt△ BCD$，再次利用直角三角形两锐角互余求出$∠ BCD=30°$，结合$BD$的长度求出$BC$的长；最后代入$BC$和$AB$的数量关系即可求出$AB$的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，且$BC=\frac{1}{2}AB$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\because BD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=2BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
将$BC=4\ \mathrm{cm}$代入$BC=\frac{1}{2}AB$，得$AB=2BC=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查含30°角的直角三角形的性质应用，解题时需要注意在不同的直角三角形中分别运用对应性质求解中间量，掌握核心性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

3.(5分)在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为$120°$，腰长为12 m，则底边上的高是 ()

A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m

3. B

【分析】
首先回忆等腰三角形的相关性质，等腰三角形底边上的高、中线、顶角角平分线三线合一，我们可以过顶点A作底边BC的高，将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形；接下来先根据三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角的度数；最后在得到的直角三角形中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可求出底边上高的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，即AD为底边上的高。
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=（180°-120°）÷2=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，腰AB=12 m，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD=½AB=½×12=6 m。
因此底边上的高是6 m，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的边长关系快速求解，掌握相关基础性质就能顺利答题。
【难度系数】
0.8

4.(5分) 日常出行情境（呼和浩特玉泉区期中）某商场一部手扶电梯的示意图如图所示，若$∠ ABC=150°$，BC的长为10 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h为m.

4. 5

【分析】
要求从点B到点C上升的高度h，也就是求点C到AB所在水平面的垂直距离，我们可以通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形求解：首先过C作AB延长线的垂线得到直角三角形，先根据∠ABC=150°求出它的邻补角为30°，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE即为上升高度h。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°，
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=10 m，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
h=CE=½BC=½×10=5(m)。
【答案】
5
【知识点】
1. 直角三角形30°角的性质
2. 邻补角的计算
【点评】
本题结合手扶电梯的生活场景，考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是正确构造直角三角形，找到30°的特殊角，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8

5.(5分)如图,在△ABC中,D是BC上一点,连接AD,∠C=90°,∠B=15°,AD=BD.若BD=8 cm,则AC的长为cm.

5. 4

【分析】
解题时首先根据已知AD=BD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAD=∠B=15°；再根据三角形外角的性质，求出∠ADC=∠B+∠BAD=30°；最后在Rt△ADC中，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，结合AD=BD=8cm，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD=BD，∠B=15°
∴∠BAD=∠B=15°（等边对等角）
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠B+∠BAD=15°+15°=30°
又
∵∠C=90°，AD=BD=8cm
∴在Rt△ADC中，AC=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×8=4（cm）
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过角度推导得到30°的特殊角，再结合特殊直角三角形的性质计算边长，整体思路清晰，考查的都是几何基础性质的应用。
【难度系数】
0.7

6.(5分)如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，BD=3，DE⊥BC，交AB于点E，则AE的长为.

6. 2

【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质得到边长和内角的度数，再结合DE⊥BC得到直角三角形，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BE的长度，最后通过线段的和差关系计算AE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=8，∠B=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=90°，
∴∠BED=90°-∠B=30°，
∵在Rt△BDE中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，BD=3，
∴BE=2BD=2×3=6，
∴AE=AB-BE=8-6=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是对等边三角形和特殊直角三角形性质的应用，只要熟练掌握相关基础性质，就能快速理清解题思路，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8

7.(8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=30°$,P是BC上的点,且$PA⊥ AB$.求证:$BP=2PC$.

证明: $\because ∠B=∠C=30°, \therefore AB=AC, ∠BAC=120°. \because PA ⊥ AB, \therefore ∠BAP = 90°. \therefore ∠PAC = ∠BAC−∠BAP=30°. \therefore ∠PAC=∠C. \therefore PC=PA. \because ∠B=30°, ∠BAP = 90°, \therefore BP = 2PA. \therefore BP = 2PC.$

【分析】
解题时先从已知角的条件出发，第一步利用三角形内角和定理求出△ABC的顶角∠BAC的度数；第二步结合PA⊥AB的垂直条件，计算出∠PAC的度数，发现∠PAC与∠C相等，利用等角对等边得到PC=PA；第三步在Rt△BAP中，利用含30°角的直角三角形的性质得到BP=2PA；最后通过等量代换即可证明BP=2PC。
【解析】
证明：$\because ∠B=∠C=30°, \therefore AB=AC, ∠BAC=180°-∠B-∠C=120°$。
$\because PA ⊥ AB, \therefore ∠BAP = 90°$。
$\therefore ∠PAC = ∠BAC−∠BAP=120°-90°=30°$。
$\therefore ∠PAC=∠C, \therefore PC=PA$。
$\because$ 在$Rt△BAP$中，$∠B=30°, \therefore BP = 2PA$。
$\therefore BP = 2PC$。
【答案】
证明: $\because ∠B=∠C=30°, \therefore AB=AC, ∠BAC=120°. \because PA ⊥ AB, \therefore ∠BAP = 90°. \therefore ∠PAC = ∠BAC−∠BAP=30°. \therefore ∠PAC=∠C. \therefore PC=PA. \because ∠B=30°, ∠BAP = 90°, \therefore BP = 2PA. \therefore BP = 2PC.$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角度计算推导角的等量关系，再结合特殊三角形的边的性质完成等量代换，熟练掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

8.(12分)如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°.
(1)求∠C的度数；
(2)若DE=2,求BC的长.

8. 解$:(1)\because DE $是边 AB 上的垂直平分线$, \therefore AE= BE. \therefore ∠BAE = ∠B = 30°. \because AE $平分$∠BAC, \therefore ∠BAC=2∠BAE=60°. \therefore ∠C=180°−∠BAC−∠B=90°. (2) \because AE $平分∠BAC, ∠C=90°, DE ⊥ AB,
∴EC=DE=2.
∵DE 垂直平分 AB,
∴∠BDE=90°. 在△BDE 中,
∵∠BDE=90°,∠B=30°.
∴BE=2DE=4.
∴BC=BE+EC=6.

【分析】
(1)求解∠C的度数时，先根据DE垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出∠BAE=∠B=30°；再结合AE平分∠BAC，求出∠BAC的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠C的度数即可。
(2)求BC的长时，先根据角平分线的性质，得到EC=DE；再在Rt△BDE中，利用含30°角的直角三角形的性质求出BE的长度，最后通过BC=BE+EC计算得到结果。
【解析】
(1)
∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE = ∠B = 30°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=60°。
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=180°-60°-30°=90°。
(2)
∵AE平分∠BAC，∠C=90°，DE ⊥ AB，
∴EC=DE=2。
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE=90°。
在△BDE中，
∵∠BDE=90°，∠B=30°，
∴BE=2DE=4。
∴BC=BE+EC=4+2=6。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练掌握各类特殊线段、特殊直角三角形的性质，准确找到边角的等量关系即可求解，解题时要注意区分不同性质的应用前提，避免混淆。
【难度系数】
0.7