10.(10分) 注重情境化设题 雨伞的截面示意图如图所示,伞背$AB=AC$,支撑杆$OE=OF$,$AE=\frac{1}{3}AB$,$AF=\frac{1}{3}AC$.当点$O$沿$AD$滑动时,雨伞随之开闭.在雨伞开闭的过程中,$∠ BEO$与$∠ CFO$有何数量关系?请说明理由.

解:$∠ BEO=∠ CFO$. 理由如下: $\because AB=AC,AE=\frac{1}{3}AB,AF=\frac{1}{3}AC,\therefore AE=AF$. 在$△ AEO$ 和$△ AFO$ 中,$\begin{cases} AE=AF, \\ AO=AO, \\ OE=OF, \end{cases}$$\therefore △ AEO ≌ △ AFO(\mathrm{SSS}). \therefore ∠ AEO=∠ AFO. \because ∠ BEO=180°-∠ AEO,∠ CFO=180°-∠ AFO,\therefore ∠ BEO=∠ CFO.$

【分析】
要判断∠BEO与∠CFO的数量关系，可按以下思路推导：首先根据AB=AC，AE=$\frac{1}{3}$AB、AF=$\frac{1}{3}$AC，先推出AE=AF；再观察△AEO和△AFO，已知OE=OF，还有公共边AO=AO，满足SSS全等判定的条件，可证明两三角形全等，得到对应角∠AEO=∠AFO；最后根据邻补角的定义，∠BEO是∠AEO的补角，∠CFO是∠AFO的补角，相等角的补角也相等，即可得到两个角的关系。
【解析】
∠BEO=∠CFO，理由如下：
∵AB=AC，AE=$\frac{1}{3}$AB，AF=$\frac{1}{3}$AC，
∴AE=AF。
在$△ AEO$和$△ AFO$中，
$\begin{cases}AE=AF, \\AO=AO, \\OE=OF,\end{cases}$
∴$△ AEO ≌ △ AFO(\mathrm{SSS})$。
∴∠AEO=∠AFO。
∵∠BEO=180°-∠AEO，∠CFO=180°-∠AFO，
∴∠BEO=∠CFO。
【答案】
$\boldsymbol{∠BEO=∠CFO}$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活中的雨伞开闭情境，考查三角形全等的判定及性质的应用，解题的关键是挖掘公共边这一隐含条件，结合已知推导对应边相等证明三角形全等，再利用补角的性质得到角的数量关系，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

11.(12分)半开放性试题(淄博中考)如图,已知$AB=CD$,点$E,F$在线段$BD$上,且$AF=CE$,连接$AE,CF$.请从①$BF=DE$;②$∠ BAF=∠ DCE$;③$AF=CF$中选择一个合适的选项作为已知条件,使得$△ ABF ≌ △ CDE$.
你添加的条件是:.(填序号)
添加条件后,请证明$AE // CF$.

11. 解:答案不唯一. 如:选①. 证明如下:在$△ ABF$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \\ BF=DE, \end{cases}$$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ B=∠ D. \because BF=DE, \therefore BF+EF=DE+EF,$即$BE = DF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ B=∠ D, \\ BE=DF, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS}). \therefore ∠ AEB=∠ CFD. \therefore AE// CF.$

【分析】
要使△ABF≌△CDE，已知AB=CD、AF=CE两个条件，若选择条件①BF=DE，可直接通过SSS全等判定定理证明两个三角形全等。要证明AE//CF，需证明内错角∠AEB=∠CFD，推导思路为：先由△ABF≌△CDE得到∠B=∠D，再结合BF=DE推出BE=DF，利用SAS判定△ABE≌△CDF，得到对应角相等后即可依据平行线判定定理证明AE//CF。
【解析】
选择添加条件①，证明过程如下：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠B=∠D$。
$\because BF=DE$，
$\therefore BF+EF=DE+EF$，即$BE = DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠B=∠D, \\ BE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠AEB=∠CFD$。
$\therefore AE// CF$。
【答案】
添加的条件是$\boldsymbol{①}$，证明如下：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ B=∠ D. \because BF=DE, \therefore BF+EF=DE+EF,$即$BE = DF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ B=∠ D, \\ BE=DF, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS}). \therefore ∠ AEB=∠ CFD. \therefore AE// CF.$
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题为半开放性几何题，需要结合已知条件选择合适的全等判定补充条件，再逐步推导结论，能很好地考查几何逻辑推理能力和全等、平行线相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

12.(14分)已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，O为AC上的一点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
(1)如图①，若点E，F分别在线段AD，BC上，求证：$∠ AEF=∠ CFE$.
(2)如图②，若点E，F分别在线段AD，CB的延长线上，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.

(1) 证明: 在 $△ ABC$ 和 $△ CDA$ 中, $\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$$\therefore △ ABC ≌ △ CDA(\mathrm{SSS}). \therefore ∠ BCA=∠ DAC. \therefore AD // BC. \therefore ∠ AEF=∠ CFE.$
(2) 解:仍成立. 理由如下:同(1),得 $AD// BC$,即 $AE// CF,\therefore ∠ AEF=∠ CFE.$

【分析】
解题时先从已知边相等的条件切入：首先已知AB=CD、AD=BC，AC是两个三角形的公共边，可先通过SSS判定定理证明△ABC和△CDA全等，得到对应角∠BCA=∠DAC，再根据“内错角相等，两直线平行”推出AD//BC；要证的∠AEF和∠CFE恰好是平行线AD、BC被直线EF所截的内错角，根据平行线的性质即可得证。第二问中，虽然E、F在线段的延长线上，但AD和BC的平行关系没有改变，因此平行线内错角相等的性质仍然适用，结论依然成立。
【解析】
(1) 证明: 在 $△ ABC$ 和 $△ CDA$ 中,
$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDA(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠BCA=∠DAC,$
$\therefore AD // BC,$
$\therefore ∠AEF=∠CFE.$
(2) 解:仍成立. 理由如下:
同(1)可证得 $AD// BC$,即 $AE// CF$,
$\therefore ∠AEF=∠CFE.$
【答案】
(1) 可证得$\boldsymbol{∠AEF=∠CFE}$，证明过程见解析；
(2) （1）中的结论仍成立，理由见解析。
【知识点】
SSS判定三角形全等；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线性质的基础综合题，解题核心是先利用三边对应相等证明三角形全等，推导出边的平行关系，再结合平行线的性质推导角的等量关系；第二问需注意，平行关系不会随点在线段或其延长线上而改变，因此结论保持不变。
【难度系数】
0.8

13.(10分)如图，AC，BD交于点O，且AB=DC，AC=DB，求证：OB=OC.

证明: 连接 $BC$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DCB$ 中, $\begin{cases} AB=DC, \\ AC=DB, \\ BC=CB, \end{cases}$$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS}). \therefore ∠ A=∠ D.$
在$△ AOB$ 和$△ DOC$ 中,$\begin{cases} ∠ AOB=∠ DOC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AB=DC, \end{cases}$$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{AAS}). \therefore OB=OC.$

【分析】要证明OB=OC，可先观察两条线段所属的三角形，OB在△AOB中，OC在△DOC中，因此只需证明△AOB≌△DOC即可。已知AB=DC，且AC、BD交于点O可得对顶角∠AOB=∠DOC，还缺少一组对应角相等的条件。结合已知AC=DB，我们可以添加辅助线连接BC，得到△ABC和△DCB的公共边BC，先通过SSS判定证明△ABC≌△DCB，得到∠A=∠D，即可补充△AOB和△DOC全等的条件，再用AAS判定证明两个小三角形全等，最终得到OB=OC。
【解析】
证明: 连接 $BC$.
在 $△ ABC$ 和 $△ DCB$ 中,
$\begin{cases} AB=DC, \\ AC=DB, \\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS})$.
$\therefore ∠A=∠D$.
在$△ AOB$ 和$△ DOC$ 中,
$\begin{cases} ∠AOB=∠DOC, \\ ∠A=∠D, \\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore OB=OC.$
【答案】
$OB=OC$
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、对顶角相等
【点评】
这道题是三角形全等证明的典型题型，解题关键是合理添加辅助线构造公共边，通过两次全等的推导得到目标边相等，能够锻炼学生的几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7