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例2 某商店从厂家以21元/件的价格购进一批商品，该商品在售价不超过进价20％的情况下可以自行定价. 若每件商品售价为x元，可卖出（350－10x）件商品，则商店所得利润y（单位：元）关于每件商品的售价x（单位：元）的函数解析式是
解析 根据题意得$y=(x-21)(350-10x)$.
化简可得$y=-10x^2+560x-7350$.
因为每件的进价为21元，且该商品在不超过进价20％的情况下可以自行定价，
所以$21≤x≤21×(1+20\%)=25.2$.
答案 $y=-10x^2+560x-7350$ $21≤x≤25.2$
解题要点
二次函数的取值范围：在一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，但对于实际问题，自变量的取值范围需使实际问题有意义.
$y=-10x^2+560x-7350$
，自变量x的取值范围为21≤x≤25.2
.解析 根据题意得$y=(x-21)(350-10x)$.
化简可得$y=-10x^2+560x-7350$.
因为每件的进价为21元，且该商品在不超过进价20％的情况下可以自行定价，
所以$21≤x≤21×(1+20\%)=25.2$.
答案 $y=-10x^2+560x-7350$ $21≤x≤25.2$
解题要点
二次函数的取值范围：在一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，但对于实际问题，自变量的取值范围需使实际问题有意义.
答案
解析 根据题意得$y=(x-21)(350-10x)$.
化简可得$y=-10x^2+560x-7350$.
因为每件的进价为21元，且该商品在不超过进价20％的情况下可以自行定价，
所以$21≤x≤21×(1+20\%)=25.2$.
答案 1. $y=-10x^2+560x-7350$ 2. $21≤x≤25.2$
解题要点
二次函数的取值范围：在一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，但对于实际问题，自变量的取值范围需使实际问题有意义.
化简可得$y=-10x^2+560x-7350$.
因为每件的进价为21元，且该商品在不超过进价20％的情况下可以自行定价，
所以$21≤x≤21×(1+20\%)=25.2$.
答案 1. $y=-10x^2+560x-7350$ 2. $21≤x≤25.2$
解题要点
二次函数的取值范围：在一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，但对于实际问题，自变量的取值范围需使实际问题有意义.
解析
【分析】
解决这道题首先回忆销售问题的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。第一步先确定单件利润：已知每件商品进价为21元，售价为x元，因此单件利润为(x-21)元；第二步直接提取题目给出的销售数量为(350-10x)件，代入公式即可得到y与x的关系式，再整理为二次函数的一般形式。接下来求自变量x的取值范围，需结合实际意义和题目限制综合判断：首先售价不能低于进价，否则会亏损，因此x≥21；其次题目明确要求售价不超过进价的20%，因此x≤21×(1+20%)；同时要保证销售量不为负数，即350-10x≥0，计算后对比各限制条件的范围，取交集即可得到最终的x取值范围。
【解析】
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$y=(x-21)(350-10x)$
展开化简得：
$y=-10x^2+560x-7350$
再确定自变量x的取值范围：
1. 售价不低于进价：$x≥21$
2. 售价不超过进价的20%：$x≤21×(1+20\%)=25.2$
3. 销售量非负：$350-10x≥0$，解得$x≤35$
综合以上条件取交集，得$21≤ x≤25.2$
【答案】
$y=-10x^2+560x-7350$；$21≤x≤25.2$
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在销售场景中的基础应用题型，解题关键是牢记销售问题的基本数量关系，需要注意实际问题中的函数自变量取值范围要结合题目限定条件和实际意义综合判断，不能仅考虑函数表达式本身的数学意义。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先回忆销售问题的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。第一步先确定单件利润：已知每件商品进价为21元，售价为x元，因此单件利润为(x-21)元；第二步直接提取题目给出的销售数量为(350-10x)件，代入公式即可得到y与x的关系式，再整理为二次函数的一般形式。接下来求自变量x的取值范围，需结合实际意义和题目限制综合判断：首先售价不能低于进价，否则会亏损，因此x≥21；其次题目明确要求售价不超过进价的20%，因此x≤21×(1+20%)；同时要保证销售量不为负数，即350-10x≥0，计算后对比各限制条件的范围，取交集即可得到最终的x取值范围。
【解析】
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$y=(x-21)(350-10x)$
展开化简得：
$y=-10x^2+560x-7350$
再确定自变量x的取值范围：
1. 售价不低于进价：$x≥21$
2. 售价不超过进价的20%：$x≤21×(1+20\%)=25.2$
3. 销售量非负：$350-10x≥0$，解得$x≤35$
综合以上条件取交集，得$21≤ x≤25.2$
【答案】
$y=-10x^2+560x-7350$；$21≤x≤25.2$
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在销售场景中的基础应用题型，解题关键是牢记销售问题的基本数量关系，需要注意实际问题中的函数自变量取值范围要结合题目限定条件和实际意义综合判断，不能仅考虑函数表达式本身的数学意义。
【难度系数】
0.8
1. 在下列函数中，$y$是关于$x$的二次函数的是（
A.$y=ax^2+bx+c$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=x(x+1)$
D.$y=2x+2$
C
）A.$y=ax^2+bx+c$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=x(x+1)$
D.$y=2x+2$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，需先明确二次函数的判定标准：1. 函数表达式是整式；2. 自变量x的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。我们按照这三个标准逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为一次函数或常数函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含自变量$x$，属于分式函数，不是整式函数，不符合要求，排除；
选项C：将表达式展开得$y=x(x+1)=x^2+x$，是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义；
选项D：$y=2x+2$中自变量$x$的最高次数为1，是一次函数，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；一次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题核心是准确掌握二次函数的判定条件，尤其要注意不要遗漏二次项系数不为0的要求，同时要能区分整式函数和分式函数，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为二次函数，需先明确二次函数的判定标准：1. 函数表达式是整式；2. 自变量x的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。我们按照这三个标准逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为一次函数或常数函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含自变量$x$，属于分式函数，不是整式函数，不符合要求，排除；
选项C：将表达式展开得$y=x(x+1)=x^2+x$，是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义；
选项D：$y=2x+2$中自变量$x$的最高次数为1，是一次函数，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；一次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题核心是准确掌握二次函数的判定条件，尤其要注意不要遗漏二次项系数不为0的要求，同时要能区分整式函数和分式函数，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=2x^2 -1$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
A.2，0，-1
B.2，2，-1
C.2，2，1
D.2，0，1
A
）A.2，0，-1
B.2，2，-1
C.2，2，1
D.2，0，1
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义。先写出二次函数的标准一般式，再将题目给出的函数和一般式逐一对应，注意如果函数缺少某一项，说明该项的系数为0，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题目中的二次函数$y=2x^2 -1$与一般式对比：
1. 二次项为$2x^2$，因此二次项系数为2；
2. 函数中不存在含$x$的一次项，因此一次项系数为0；
3. 常数项为$-1$。
综上，二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的一般形式；二次函数的系数识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数各项系数的识别能力，解题时要注意不存在的项对应的系数为0，同时不要写错常数项的符号。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义。先写出二次函数的标准一般式，再将题目给出的函数和一般式逐一对应，注意如果函数缺少某一项，说明该项的系数为0，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题目中的二次函数$y=2x^2 -1$与一般式对比：
1. 二次项为$2x^2$，因此二次项系数为2；
2. 函数中不存在含$x$的一次项，因此一次项系数为0；
3. 常数项为$-1$。
综上，二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的一般形式；二次函数的系数识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数各项系数的识别能力，解题时要注意不存在的项对应的系数为0，同时不要写错常数项的符号。
【难度系数】
0.9
3. 若函数$y=(m+2)x^{|m|}$是二次函数，则m的值是 （
A.2
B.$-2$或2
C.$-2$
D.0或2
A
）A.2
B.$-2$或2
C.$-2$
D.0或2
答案
3. A
解析
【分析】
要解决本题，需先明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。解题时先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出两个约束条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
综合两个条件，可得$m=2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的定义，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选B选项，解题时要注意全面考虑定义的两个要求，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。解题时先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出两个约束条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
综合两个条件，可得$m=2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的定义，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选B选项，解题时要注意全面考虑定义的两个要求，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于$x$的函数$y=ax^2+3x-x^2+1$是二次函数，则$a$的取值范围是
$a≠1$
。答案
4. $a≠1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$是常数，$A≠0$）的函数叫做二次函数，核心要求是二次项系数不为0。解题步骤分为两步：第一步先对给定的函数式合并同类项，整理成二次函数的一般形式，找到二次项系数；第二步根据二次项系数不为0列不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
首先对函数表达式合并同类项：
$y=ax^2+3x-x^2+1=(a-1)x^2+3x+1$
因为该函数是二次函数，所以二次项系数不能为0，即：
$a-1≠0$
解得：$a≠1$
【答案】
$a≠1$
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次函数的判定条件，易错点是未先合并同类项直接判断二次项系数，只要牢记二次函数需满足二次项系数不为0的要求，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$是常数，$A≠0$）的函数叫做二次函数，核心要求是二次项系数不为0。解题步骤分为两步：第一步先对给定的函数式合并同类项，整理成二次函数的一般形式，找到二次项系数；第二步根据二次项系数不为0列不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
首先对函数表达式合并同类项：
$y=ax^2+3x-x^2+1=(a-1)x^2+3x+1$
因为该函数是二次函数，所以二次项系数不能为0，即：
$a-1≠0$
解得：$a≠1$
【答案】
$a≠1$
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次函数的判定条件，易错点是未先合并同类项直接判断二次项系数，只要牢记二次函数需满足二次项系数不为0的要求，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 二次函数$y=(x-2)(1-x)-3x$的二次项系数是
$-1$
，一次项系数是$0$
，常数项是$-2$
。答案
5. $-1$ $0$ $-2$
解析
【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将给定的函数解析式整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先展开多项式乘积，再合并同类项，最后对应识别各项系数即可，计算时要注意符号的变化。
【解析】
首先将原式展开并整理为二次函数的一般形式：
1. 计算多项式乘法$(x-2)(1-x)$：
$\begin{aligned}(x-2)(1-x)&=x·1 - x· x -2·1 +2· x\\&=x - x^2 -2 + 2x\\&=-x^2 +3x -2\end{aligned}$
2. 代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x-2)(1-x)-3x\\&=-x^2 +3x -2 -3x\\&=-x^2 +0x -2\end{aligned}$
对比二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得二次项系数为$-1$，一次项系数为$0$，常数项为$-2$。
【答案】
$-1$；$0$；$-2$
【知识点】
二次函数的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数各项系数的识别方法，解题关键是先将函数解析式化为一般形式，计算过程中要注意多项式展开和合并同类项时的符号变化，避免因粗心计算失分。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将给定的函数解析式整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先展开多项式乘积，再合并同类项，最后对应识别各项系数即可，计算时要注意符号的变化。
【解析】
首先将原式展开并整理为二次函数的一般形式：
1. 计算多项式乘法$(x-2)(1-x)$：
$\begin{aligned}(x-2)(1-x)&=x·1 - x· x -2·1 +2· x\\&=x - x^2 -2 + 2x\\&=-x^2 +3x -2\end{aligned}$
2. 代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x-2)(1-x)-3x\\&=-x^2 +3x -2 -3x\\&=-x^2 +0x -2\end{aligned}$
对比二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得二次项系数为$-1$，一次项系数为$0$，常数项为$-2$。
【答案】
$-1$；$0$；$-2$
【知识点】
二次函数的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数各项系数的识别方法，解题关键是先将函数解析式化为一般形式，计算过程中要注意多项式展开和合并同类项时的符号变化，避免因粗心计算失分。
【难度系数】
0.9
6. 某印刷厂10月份印书20万册，从11月份起，每月的印书量的增长率都为x. 设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是
$y=20x^2+40x$
.答案
6. $y=20x^2+40x$
解析
【分析】
解决本题首先要明确增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以先依次表示出11月、12月的印书量，再根据“y是12月份比10月份多印的册数”这一条件，用12月印书量减去10月印书量，最后化简表达式即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
1. 计算11月份印书量：10月份印书20万册，11月印书量的增长率为x，因此11月印书量为$20(1+x)$万册。
2. 计算12月份印书量：12月在11月的基础上增长率仍为x，因此12月印书量为$20(1+x)·(1+x)=20(1+x)^2$万册。
3. 列式化简：由题意可知$y=12月印书量 - 10月印书量$，代入得：
$y=20(1+x)^2 - 20$
展开并化简：
$y=20(1+2x+x^2)-20=20+40x+20x^2-20=20x^2+40x$
【答案】
$y=20x^2+40x$
【知识点】
1. 增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是准确掌握增长率问题的数量关系，审题时要注意所求为两月印书量的差值，不要误将12月印书量直接作为y的值，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要明确增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以先依次表示出11月、12月的印书量，再根据“y是12月份比10月份多印的册数”这一条件，用12月印书量减去10月印书量，最后化简表达式即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
1. 计算11月份印书量：10月份印书20万册，11月印书量的增长率为x，因此11月印书量为$20(1+x)$万册。
2. 计算12月份印书量：12月在11月的基础上增长率仍为x，因此12月印书量为$20(1+x)·(1+x)=20(1+x)^2$万册。
3. 列式化简：由题意可知$y=12月印书量 - 10月印书量$，代入得：
$y=20(1+x)^2 - 20$
展开并化简：
$y=20(1+2x+x^2)-20=20+40x+20x^2-20=20x^2+40x$
【答案】
$y=20x^2+40x$
【知识点】
1. 增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是准确掌握增长率问题的数量关系，审题时要注意所求为两月印书量的差值，不要误将12月印书量直接作为y的值，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
7. 如图，一个矩形的长为 4 cm，宽为 3 cm.
如果将这个矩形的长与宽都增加 x cm，
那么这个矩形的面积增加 $ y \ \mathrm{cm}^2 $.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）这个函数是二次函数吗？
（3）求自变量 $ x $ 的取值范围.
如果将这个矩形的长与宽都增加 x cm，
那么这个矩形的面积增加 $ y \ \mathrm{cm}^2 $.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）这个函数是二次函数吗？
（3）求自变量 $ x $ 的取值范围.
答案
解 （1）由题意，得 $y=(4+x)(3+x)-12$，即 $y=x^2+7x$，故 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=x^2+7x$。
（2）$y=x^2+7x$ 是二次函数。
（3）因为 $x$ 为矩形增加的长与宽，所以自变量 $x$ 的取值范围为 $x≥0$。
（2）$y=x^2+7x$ 是二次函数。
（3）因为 $x$ 为矩形增加的长与宽，所以自变量 $x$ 的取值范围为 $x≥0$。
解析
【分析】
解题可按三步展开思考：1. 求y的函数解析式：增加的面积=长宽增加后的新矩形面积 - 原矩形面积，先计算原矩形面积，再表示出新矩形的长、宽和面积，作差后化简即可得到解析式；2. 判断二次函数：对照二次函数的定义，看化简后的解析式是否符合$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式即可；3. 确定自变量取值范围：x代表长度的增加量，结合实际意义可知长度不能为负，即可得到x的取值范围。
【解析】
（1）原矩形面积为：$4×3=12\ (\mathrm{cm}^2)$
长宽均增加$x\ \mathrm{cm}$后，新矩形的长为$(4+x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，新矩形面积为$(4+x)(3+x)\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积增加量的关系可得：
$y=(4+x)(3+x)-12$
展开化简：
$y=12+7x+x^2-12=x^2+7x$
（2）解析式$y=x^2+7x$符合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式（其中$a=1,b=7,c=0$），因此该函数是二次函数。
（3）$x$是矩形长宽的增加量，长度不能为负，因此自变量$x$的取值范围为$x≥0$。
【答案】
（1）$y=x^2+7x$；（2）是二次函数；（3）$x≥0$
【知识点】
列二次函数解析式，二次函数的定义，自变量取值范围确定
【点评】
本题为基础题，结合矩形面积变化考查二次函数相关知识，解题的核心是找准面积变化的等量关系，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.85
解题可按三步展开思考：1. 求y的函数解析式：增加的面积=长宽增加后的新矩形面积 - 原矩形面积，先计算原矩形面积，再表示出新矩形的长、宽和面积，作差后化简即可得到解析式；2. 判断二次函数：对照二次函数的定义，看化简后的解析式是否符合$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式即可；3. 确定自变量取值范围：x代表长度的增加量，结合实际意义可知长度不能为负，即可得到x的取值范围。
【解析】
（1）原矩形面积为：$4×3=12\ (\mathrm{cm}^2)$
长宽均增加$x\ \mathrm{cm}$后，新矩形的长为$(4+x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，新矩形面积为$(4+x)(3+x)\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积增加量的关系可得：
$y=(4+x)(3+x)-12$
展开化简：
$y=12+7x+x^2-12=x^2+7x$
（2）解析式$y=x^2+7x$符合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式（其中$a=1,b=7,c=0$），因此该函数是二次函数。
（3）$x$是矩形长宽的增加量，长度不能为负，因此自变量$x$的取值范围为$x≥0$。
【答案】
（1）$y=x^2+7x$；（2）是二次函数；（3）$x≥0$
【知识点】
列二次函数解析式，二次函数的定义，自变量取值范围确定
【点评】
本题为基础题，结合矩形面积变化考查二次函数相关知识，解题的核心是找准面积变化的等量关系，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.85
