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1. 如图7,点O是矩形ABCD的对称中心,点E在AB边上,连接CE.若点B与点O关于CE对称,则CB：AB为 ()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确矩形对称中心的性质：矩形的对称中心是对角线交点，对角线相等且互相平分，因此对角线长度是CO的2倍；再根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应边相等，可得CB=CO，进而推出对角线AC和CB的数量关系；最后在直角三角形ABC中用勾股定理求出AB的表达式，就能计算CB与AB的比值。
【解析】
连接AC，
∵点O是矩形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，即$AC=2CO$。
∵点B与点O关于CE对称，
∴$△ CBE ≌ △ COE$，可得$CB=CO$。
∴$AC=2CB$。
设$CB=x$，则$AC=2x$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 - CB^2}=\sqrt{(2x)^2 - x^2}=\sqrt{3}x$，
因此$CB:AB=x:\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将矩形性质、轴对称性质和勾股定理结合考查，解题关键是通过已知条件推导得到矩形对角线和短边的数量关系，再利用勾股定理计算边长比值。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确矩形对称中心的性质：矩形的对称中心是对角线交点，对角线相等且互相平分，因此对角线长度是CO的2倍；再根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应边相等，可得CB=CO，进而推出对角线AC和CB的数量关系；最后在直角三角形ABC中用勾股定理求出AB的表达式，就能计算CB与AB的比值。
【解析】
连接AC，
∵点O是矩形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，即$AC=2CO$。
∵点B与点O关于CE对称，
∴$△ CBE ≌ △ COE$，可得$CB=CO$。
∴$AC=2CB$。
设$CB=x$，则$AC=2x$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 - CB^2}=\sqrt{(2x)^2 - x^2}=\sqrt{3}x$，
因此$CB:AB=x:\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将矩形性质、轴对称性质和勾股定理结合考查，解题关键是通过已知条件推导得到矩形对角线和短边的数量关系，再利用勾股定理计算边长比值。
【难度系数】
0.65
2.如图8,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知曲线关于点O中心对称，可利用中心对称的性质采用割补法转化面积：首先回忆中心对称的性质，关于中心对称的两个图形全等，旋转180°后可完全重合。我们可以将y轴下方的阴影部分绕点O旋转180°，它会和x轴上方、线段OB左侧的空白部分完全重合，此时两块阴影就拼成了一个规则的长方形。接下来确定长方形的长和宽：OB是长方形的长，长度为3，OD的长度等于长方形的宽，长度为2，最后用长方形面积公式计算即可得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，
∴将O下方的阴影部分绕点O旋转180°后，可与O上方、OB左侧的空白区域完全重合，
∴阴影部分的面积之和等于长为OB=3，宽为OD=2的长方形的面积，
即$ S_{\mathrm{阴影}} = 3 × 2 = 6 $。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用中心对称的性质将不规则阴影的面积转化为规则图形的面积，避免了复杂的面积计算，体现了转化思想在几何求面积问题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，已知曲线关于点O中心对称，可利用中心对称的性质采用割补法转化面积：首先回忆中心对称的性质，关于中心对称的两个图形全等，旋转180°后可完全重合。我们可以将y轴下方的阴影部分绕点O旋转180°，它会和x轴上方、线段OB左侧的空白部分完全重合，此时两块阴影就拼成了一个规则的长方形。接下来确定长方形的长和宽：OB是长方形的长，长度为3，OD的长度等于长方形的宽，长度为2，最后用长方形面积公式计算即可得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，
∴将O下方的阴影部分绕点O旋转180°后，可与O上方、OB左侧的空白区域完全重合，
∴阴影部分的面积之和等于长为OB=3，宽为OD=2的长方形的面积，
即$ S_{\mathrm{阴影}} = 3 × 2 = 6 $。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用中心对称的性质将不规则阴影的面积转化为规则图形的面积，避免了复杂的面积计算，体现了转化思想在几何求面积问题中的应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图9,线段AC,BD相交于点O,AB//CD,AB=CD.线段AC上的两点E,F关于点O中心对称.求证:BF=DE. 
图9
图9答案
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAB = ∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ OAB = ∠ OCD \\∠ AOB = ∠ COD \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（AAS），
∴ $OB = OD$。
∵ 点$E,F$关于点$O$中心对称，
∴ $OE = OF$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中，
$\begin{cases}OB = OD \\∠ BOF = ∠ DOE \\OF = OE\end{cases}$
∴ $△ BOF ≌ △ DOE$（SAS），
∴ $BF = DE$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAB = ∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ OAB = ∠ OCD \\∠ AOB = ∠ COD \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（AAS），
∴ $OB = OD$。
∵ 点$E,F$关于点$O$中心对称，
∴ $OE = OF$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中，
$\begin{cases}OB = OD \\∠ BOF = ∠ DOE \\OF = OE\end{cases}$
∴ $△ BOF ≌ △ DOE$（SAS），
∴ $BF = DE$。
解析
【分析】
要证明BF=DE，可通过证明两条线段所在的△BOF与△DOE全等来推导。首先利用AB//CD、AB=CD的条件，先证明△AOB≌△COD，得到OB=OD；再结合E、F关于点O中心对称的性质可得OE=OF，加上对顶角相等的隐含条件，即可用SAS判定△BOF≌△DOE，最终得到对应边BF=DE。
【解析】
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠OAB = ∠OCD$，
在$△AOB$和$△COD$中，
$\begin{cases}∠OAB = ∠OCD \\∠AOB = ∠COD \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△AOB ≌ △COD$（AAS），
∴ $OB = OD$。
∵ 点$E,F$关于点$O$中心对称，
∴ $OE = OF$。
在$△BOF$和$△DOE$中，
$\begin{cases}OB = OD \\∠BOF = ∠DOE \\OF = OE\end{cases}$
∴ $△BOF ≌ △DOE$（SAS），
∴ $BF = DE$。
【答案】
BF=DE
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；中心对称的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是灵活运用全等三角形的判定方法，结合平行线、中心对称的性质获取全等所需的边、角条件，考查了学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明BF=DE，可通过证明两条线段所在的△BOF与△DOE全等来推导。首先利用AB//CD、AB=CD的条件，先证明△AOB≌△COD，得到OB=OD；再结合E、F关于点O中心对称的性质可得OE=OF，加上对顶角相等的隐含条件，即可用SAS判定△BOF≌△DOE，最终得到对应边BF=DE。
【解析】
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠OAB = ∠OCD$，
在$△AOB$和$△COD$中，
$\begin{cases}∠OAB = ∠OCD \\∠AOB = ∠COD \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△AOB ≌ △COD$（AAS），
∴ $OB = OD$。
∵ 点$E,F$关于点$O$中心对称，
∴ $OE = OF$。
在$△BOF$和$△DOE$中，
$\begin{cases}OB = OD \\∠BOF = ∠DOE \\OF = OE\end{cases}$
∴ $△BOF ≌ △DOE$（SAS），
∴ $BF = DE$。
【答案】
BF=DE
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；中心对称的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是灵活运用全等三角形的判定方法，结合平行线、中心对称的性质获取全等所需的边、角条件，考查了学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
