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7.(2025·浙江模拟)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边 AB 上一点,过点 D 作 BC 的垂线,垂足为 E,延长DE至点G,使得 DE=GE,过点 D 作AC的垂线,垂足为 F,延长 DF 交 GC 的延长线于点 H,连接 EF。
(1)求证:四边形 CEDF 是矩形。
(2)当点 D 在什么位置时,HG 最短?请说明理由。
(1)求证:四边形 CEDF 是矩形。
(2)当点 D 在什么位置时,HG 最短?请说明理由。
答案
7.(1)证明:
∵DG⊥BC,DH⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形。
(2)解:当CD⊥AB于点D时,HG最短。
理由如下:如图,连接CD。
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EDF=90°,CF//DG,DH//BC，
∴∠ACD=∠CDG,∠HCF=∠G。
∵DE=GE,DG⊥BC，
∴CD=CG，
∴∠CDG=∠G，
∴∠HCF=∠FCD。
∵∠CFH=∠CFD=90°，
∴CH=CD=CG，
∴HG=2CD，
∴当CD最短,即CD⊥AB于点D时,HG最短。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形CEDF是矩形，可选用“三个角为直角的四边形是矩形”的判定定理：已知∠ACB=90°，结合题目给出的DE⊥BC、DF⊥AC的条件，可直接得到另外两个内角为直角，即可完成证明。
(2) 求解HG最短时点D的位置，需先建立HG和已知线段的数量关系：由DE=GE且DG⊥BC，可知BC是DG的垂直平分线，因此CD=CG；再结合矩形的性质推导角的等量关系，可推出CH=CD，由此得到HG=2CD。要使HG最短，只需CD最短，根据“垂线段最短”的性质，当CD是点C到AB的垂线段，即CD⊥AB时，CD最短，对应HG最短。
【解析】
(1) 证明：
∵ DG⊥BC，DH⊥AC，
∴ ∠DEC=∠DFC=90°，
又
∵ ∠ACB=90°，
∴ 四边形CEDF是矩形。
(2) 解：当CD⊥AB于点D时，HG最短，理由如下：
连接CD，
∵ 四边形CEDF是矩形，
∴ ∠EDF=90°,CF//DG,DH//BC，
∴ ∠ACD=∠CDG,∠HCF=∠G。
∵ DE=GE，DG⊥BC，
∴ BC垂直平分DG，
∴ CD=CG，
∴ ∠CDG=∠G，
∴ ∠HCF=∠FCD。
∵ ∠CFH=∠CFD=90°，CF为公共边，
∴ △CFH≌△CFD，
∴ CH=CD=CG，
∴ HG=CH+CG=2CD，
根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD长度最小，因此此时HG最短。
【答案】
(1) 证明:
∵DG⊥BC,DH⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形。
(2) 解:当CD⊥AB于点D时,HG最短。
理由如下:如图,连接CD。
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EDF=90°,CF//DG,DH//BC，
∴∠ACD=∠CDG,∠HCF=∠G。
∵DE=GE,DG⊥BC，
∴CD=CG，
∴∠CDG=∠G，
∴∠HCF=∠FCD。
∵∠CFH=∠CFD=90°，
∴CH=CD=CG，
∴HG=2CD，
∴当CD最短,即CD⊥AB于点D时,HG最短。
【知识点】
矩形的判定与性质；垂直平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题综合考查矩形判定、线段最值的求解，核心是通过角和线段的等量转化，将未知的HG长度转化为和CD相关的表达式，再利用垂线段最短的性质解决最值问题，侧重考查几何逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形CEDF是矩形，可选用“三个角为直角的四边形是矩形”的判定定理：已知∠ACB=90°，结合题目给出的DE⊥BC、DF⊥AC的条件，可直接得到另外两个内角为直角，即可完成证明。
(2) 求解HG最短时点D的位置，需先建立HG和已知线段的数量关系：由DE=GE且DG⊥BC，可知BC是DG的垂直平分线，因此CD=CG；再结合矩形的性质推导角的等量关系，可推出CH=CD，由此得到HG=2CD。要使HG最短，只需CD最短，根据“垂线段最短”的性质，当CD是点C到AB的垂线段，即CD⊥AB时，CD最短，对应HG最短。
【解析】
(1) 证明：
∵ DG⊥BC，DH⊥AC，
∴ ∠DEC=∠DFC=90°，
又
∵ ∠ACB=90°，
∴ 四边形CEDF是矩形。
(2) 解：当CD⊥AB于点D时，HG最短，理由如下：
连接CD，
∵ 四边形CEDF是矩形，
∴ ∠EDF=90°,CF//DG,DH//BC，
∴ ∠ACD=∠CDG,∠HCF=∠G。
∵ DE=GE，DG⊥BC，
∴ BC垂直平分DG，
∴ CD=CG，
∴ ∠CDG=∠G，
∴ ∠HCF=∠FCD。
∵ ∠CFH=∠CFD=90°，CF为公共边，
∴ △CFH≌△CFD，
∴ CH=CD=CG，
∴ HG=CH+CG=2CD，
根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD长度最小，因此此时HG最短。
【答案】
(1) 证明:
∵DG⊥BC,DH⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形。
(2) 解:当CD⊥AB于点D时,HG最短。
理由如下:如图,连接CD。
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EDF=90°,CF//DG,DH//BC，
∴∠ACD=∠CDG,∠HCF=∠G。
∵DE=GE,DG⊥BC，
∴CD=CG，
∴∠CDG=∠G，
∴∠HCF=∠FCD。
∵∠CFH=∠CFD=90°，
∴CH=CD=CG，
∴HG=2CD，
∴当CD最短,即CD⊥AB于点D时,HG最短。
【知识点】
矩形的判定与性质；垂直平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题综合考查矩形判定、线段最值的求解，核心是通过角和线段的等量转化，将未知的HG长度转化为和CD相关的表达式，再利用垂线段最短的性质解决最值问题，侧重考查几何逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD。若$CE=\frac{1}{3}AE=1$,则$CD=$
（第8题）
$\sqrt{6}$
。（第8题）答案
8.$\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征判断直线MN是AB的垂直平分线，由此可得E在垂直平分线上故EA=EB，且D是AB的中点；接下来结合已知条件求出AE、AC的长度，再在Rt△BCE中利用勾股定理求出BC²的值，随后在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可求出CD的长度。
【解析】
由尺规作图的作法可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴ EA=EB，D为AB的中点。
∵ $CE=\frac{1}{3}AE=1$，
∴ $AE=3$，$AC=AE+CE=3+1=4$，$EB=AE=3$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $△ ECB$和$△ ACB$均为直角三角形。
在$Rt△ ECB$中，由勾股定理得：
$BC^2=EB^2 - CE^2=3^2 - 1^2=8$。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2 + BC^2=4^2 + 8=24$，
∴ $AB=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
∵ D是$Rt△ ACB$斜边AB的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是先识别出尺规作图得到的是线段的垂直平分线，再结合勾股定理、直角三角形的性质逐步推导线段长度，考查了学生的识图能力和几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据尺规作图的特征判断直线MN是AB的垂直平分线，由此可得E在垂直平分线上故EA=EB，且D是AB的中点；接下来结合已知条件求出AE、AC的长度，再在Rt△BCE中利用勾股定理求出BC²的值，随后在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可求出CD的长度。
【解析】
由尺规作图的作法可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴ EA=EB，D为AB的中点。
∵ $CE=\frac{1}{3}AE=1$，
∴ $AE=3$，$AC=AE+CE=3+1=4$，$EB=AE=3$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $△ ECB$和$△ ACB$均为直角三角形。
在$Rt△ ECB$中，由勾股定理得：
$BC^2=EB^2 - CE^2=3^2 - 1^2=8$。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2 + BC^2=4^2 + 8=24$，
∴ $AB=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
∵ D是$Rt△ ACB$斜边AB的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是先识别出尺规作图得到的是线段的垂直平分线，再结合勾股定理、直角三角形的性质逐步推导线段长度，考查了学生的识图能力和几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
9.如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,连接AE,BE,F为BE的中点,连接CF。若$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$,$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$,则AE的长为
$\sqrt{34}$
。答案
9.$\sqrt{34}$
解析
【分析】
首先利用正方形的性质可得∠BCE=90°，结合F是BE中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可先求出BE的长度。再根据DE与EC的比例关系，设参数表示出正方形的边长和EC的长度，在Rt△BCE中用勾股定理列方程求出参数的值，最后在Rt△ADE中利用勾股定理即可计算出AE的长度。
【解析】
设$EC=2x$，
∵$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$，
∴$DE=3x$，
∴正方形ABCD的边长$BC=CD=AD=DE+EC=5x$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BCE=∠ D=90°$，即$△ BCE$为直角三角形，
又
∵F是BE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$BE=2CF$，
已知$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$，
∴$BE=2×\frac{\sqrt{29}}{2}=\sqrt{29}$。
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：$BC^2+EC^2=BE^2$，
代入得：$(5x)^2+(2x)^2=(\sqrt{29})^2$，
整理得：$29x^2=29$，解得$x=1$（边长为正，舍去负值）。
∴$AD=5×1=5$，$DE=3×1=3$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；直角三角形斜边中线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将正方形性质、直角三角形性质和勾股定理结合考查，通过比例关系设参数列方程是解题的突破口，解题时要注意直角三角形性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
首先利用正方形的性质可得∠BCE=90°，结合F是BE中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可先求出BE的长度。再根据DE与EC的比例关系，设参数表示出正方形的边长和EC的长度，在Rt△BCE中用勾股定理列方程求出参数的值，最后在Rt△ADE中利用勾股定理即可计算出AE的长度。
【解析】
设$EC=2x$，
∵$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$，
∴$DE=3x$，
∴正方形ABCD的边长$BC=CD=AD=DE+EC=5x$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BCE=∠ D=90°$，即$△ BCE$为直角三角形，
又
∵F是BE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$BE=2CF$，
已知$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$，
∴$BE=2×\frac{\sqrt{29}}{2}=\sqrt{29}$。
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：$BC^2+EC^2=BE^2$，
代入得：$(5x)^2+(2x)^2=(\sqrt{29})^2$，
整理得：$29x^2=29$，解得$x=1$（边长为正，舍去负值）。
∴$AD=5×1=5$，$DE=3×1=3$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；直角三角形斜边中线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将正方形性质、直角三角形性质和勾股定理结合考查，通过比例关系设参数列方程是解题的突破口，解题时要注意直角三角形性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
10.(2025·河北)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点。如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点。若只将正方形EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A,B,C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为(
A.$(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$
B.$(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$
C.$(\dfrac{3}{2},2)$
D.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$
A
)。A.$(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$
B.$(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$
C.$(\dfrac{3}{2},2)$
D.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$
答案
10.A
解析
【分析】
首先确定三个目标整点A、B、C的坐标分别为$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$，原正方形$EFGH$的顶点$E$坐标为$(1,2)$，平移不改变正方形的形状、大小和各边的斜率。解题时先根据平移后点$E$的坐标得到平移向量，进而得到平移后正方形四条边对应的不等式，再判断$A、B、C$是否在正方形内部（不含边界），同时确认没有其他整点落在内部即可。
【解析】
首先确定已知点坐标：$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(0,1)$，原$E(1,2)$，正方形$EFGH$四条边斜率固定：$EF、GH$斜率为$\frac{1}{2}$，$FG、HE$斜率为$-2$。
对选项A：平移后$E'(\frac{7}{5},\frac{11}{5})$，即平移向量为向右$\frac{2}{5}$，向上$\frac{1}{5}$，可得平移后正方形内部点满足的不等式：
$y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，$y＜-2x+5$，$y＞\frac{1}{2}x-1$，$y＞-2x$。
代入$A、B、C$验证，三个点均满足上述不等式；附近其他整点（如$(0,0)$、$(2,0)$、$(1,2)$等）均落在边界或外部，仅$A、B、C$在内部，符合要求。
其余选项验证：B选项平移后会出现额外整点/目标点不在内部；C选项平移后出现边界整点；D选项平移后会包含整点$(1,2)$，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，点与区域的位置判断，正方形的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系的整点概念，考查平移性质和图形范围的判断，需要学生掌握直线方程的基本应用和点与区域位置的判断方法，具有一定综合性。
【难度系数】
0.4
首先确定三个目标整点A、B、C的坐标分别为$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$，原正方形$EFGH$的顶点$E$坐标为$(1,2)$，平移不改变正方形的形状、大小和各边的斜率。解题时先根据平移后点$E$的坐标得到平移向量，进而得到平移后正方形四条边对应的不等式，再判断$A、B、C$是否在正方形内部（不含边界），同时确认没有其他整点落在内部即可。
【解析】
首先确定已知点坐标：$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(0,1)$，原$E(1,2)$，正方形$EFGH$四条边斜率固定：$EF、GH$斜率为$\frac{1}{2}$，$FG、HE$斜率为$-2$。
对选项A：平移后$E'(\frac{7}{5},\frac{11}{5})$，即平移向量为向右$\frac{2}{5}$，向上$\frac{1}{5}$，可得平移后正方形内部点满足的不等式：
$y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，$y＜-2x+5$，$y＞\frac{1}{2}x-1$，$y＞-2x$。
代入$A、B、C$验证，三个点均满足上述不等式；附近其他整点（如$(0,0)$、$(2,0)$、$(1,2)$等）均落在边界或外部，仅$A、B、C$在内部，符合要求。
其余选项验证：B选项平移后会出现额外整点/目标点不在内部；C选项平移后出现边界整点；D选项平移后会包含整点$(1,2)$，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，点与区域的位置判断，正方形的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系的整点概念，考查平移性质和图形范围的判断，需要学生掌握直线方程的基本应用和点与区域位置的判断方法，具有一定综合性。
【难度系数】
0.4
11.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是
$80°或10°$
。答案
11.$80°或10°$
解析
【分析】
首先回忆菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，据此先求出∠DAC的度数；其次注意题目中“交直线AD于点E”，直线可向两端无限延伸，因此点E存在两种位置，需分类讨论；再根据同圆半径相等得到AC=AE，可知△ACE是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等、内角和为180°计算∠AEC的度数即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∠DAB=40°，
∴AC平分∠DAB，即$∠ DAC = \frac{1}{2}∠ DAB = \frac{1}{2}×40°=20°$。
由作图可知AC=AE（同圆的半径相等），故△ACE为等腰三角形，分两种情况讨论：
1. 当点E在AD的延长线上（即E在射线AD上）时：
顶角$∠ CAE=∠ DAC=20°$，
∴$∠ AEC = \frac{180°-∠ CAE}{2} = \frac{180°-20°}{2}=80°$。
2. 当点E在DA的延长线上（即E在射线DA的反向延长线上）时：
顶角$∠ CAE=180°-∠ DAC=180°-20°=160°$，
∴$∠ AEC = \frac{180°-∠ CAE}{2} = \frac{180°-160°}{2}=10°$。
综上，∠AEC的度数为$80°$或$10°$。
【答案】
$80°或10°$
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题易错点是忽略“直线AD”的可延伸性，仅考虑其中一种位置导致漏解，解题时要注意区分“直线”“射线”“线段”的差异，遇到位置不明确的几何题时，要主动考虑分类讨论的情况。
【难度系数】
0.5
首先回忆菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，据此先求出∠DAC的度数；其次注意题目中“交直线AD于点E”，直线可向两端无限延伸，因此点E存在两种位置，需分类讨论；再根据同圆半径相等得到AC=AE，可知△ACE是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等、内角和为180°计算∠AEC的度数即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∠DAB=40°，
∴AC平分∠DAB，即$∠ DAC = \frac{1}{2}∠ DAB = \frac{1}{2}×40°=20°$。
由作图可知AC=AE（同圆的半径相等），故△ACE为等腰三角形，分两种情况讨论：
1. 当点E在AD的延长线上（即E在射线AD上）时：
顶角$∠ CAE=∠ DAC=20°$，
∴$∠ AEC = \frac{180°-∠ CAE}{2} = \frac{180°-20°}{2}=80°$。
2. 当点E在DA的延长线上（即E在射线DA的反向延长线上）时：
顶角$∠ CAE=180°-∠ DAC=180°-20°=160°$，
∴$∠ AEC = \frac{180°-∠ CAE}{2} = \frac{180°-160°}{2}=10°$。
综上，∠AEC的度数为$80°$或$10°$。
【答案】
$80°或10°$
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题易错点是忽略“直线AD”的可延伸性，仅考虑其中一种位置导致漏解，解题时要注意区分“直线”“射线”“线段”的差异，遇到位置不明确的几何题时，要主动考虑分类讨论的情况。
【难度系数】
0.5
