3.【例2】观察下列三角形,并把它们的标号填在相应的横线上.

(1)锐角三角形: ,直角三角形: ,钝角三角形: ;
(2)等腰三角形: ,等边三角形: .

3. (1) ③④⑥ ①⑤ ②⑦ (2) ②④⑤⑥ ⑥

【分析】
解题首先要明确三角形的两类分类标准：①按角分为锐角、直角、钝角三角形，其中锐角三角形要求三个角都是锐角，直角三角形有1个直角，钝角三角形有1个钝角；②按边分为等腰三角形（至少两条边相等）、不等边三角形，其中等边三角形是特殊的等腰三角形，要求三条边都相等。接下来逐个分析7个三角形的边、角特征，对应分类即可完成填空，注意不要漏记等边三角形属于等腰三角形的情况。
【解析】
先明确各类三角形定义：
1. 按角分类：
锐角三角形：三个内角均小于90°；
直角三角形：有一个内角等于90°；
钝角三角形：有一个内角大于90°。
2. 按边分类：
等腰三角形：至少有两条边长度相等；
等边三角形：三条边长度均相等，属于特殊的等腰三角形。
逐个判断每个三角形的类别：
①：有直角，属于直角三角形；
②：两条边长为2（满足等腰），存在大于90°的钝角，属于钝角三角形、等腰三角形；
③：已知角为79°＜90°，剩余两个内角和为101°，两个角均小于90°，三个角都是锐角，属于锐角三角形；
④：两条边长为3（满足等腰），三个角均为锐角，属于锐角三角形、等腰三角形；
⑤：两条直角边长为1.5（满足等腰），有直角，属于直角三角形、等腰三角形；
⑥：三条边长均为2（满足等边，也属于等腰），三个内角均为60°（锐角），属于锐角三角形、等腰三角形、等边三角形；
⑦：存在大于90°的钝角，属于钝角三角形。
据此填写对应横线即可。
【答案】
(1) $\boxed{③④⑥}$；$\boxed{①⑤}$；$\boxed{②⑦}$
(2) $\boxed{②④⑤⑥}$；$\boxed{⑥}$
【知识点】
三角形按角分类；三角形按边分类；等腰三角形定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是熟记不同类型三角形的判定标准，解题时逐一核对每个图形的特征即可，需要注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，分类时不要漏选。
【难度系数】
0.8

4. (人教八上$\mathrm{P}_4$习题$\mathrm{T}_4$改编)如图，$AB = BC = CD = DA = AC$，$AC ⊥ BD$，垂足为$O$，找出图中的直角三角形、等腰三角形和等边三角形.

4. 解:直角三角形是△AOD,△AOB,△BOC,△COD,等腰三角形是△ABD,△BCD,△ADC,△ABC,等边三角形是△ADC,△ABC.

【分析】
解题时先明确三类特殊三角形的定义：①直角三角形：有一个内角为直角的三角形；②等腰三角形：至少有两边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形。再结合已知条件推导：首先由AC⊥BD可得四个顶角为直角，可找出所有直角三角形；再根据AB=BC=CD=DA=AC的边相等条件，先找出三边均相等的等边三角形，再结合等边属于特殊等腰，额外找出其余满足两边相等的等腰三角形即可，注意不要漏判、重复判。
【解析】
1. 找直角三角形：
已知AC⊥BD，垂足为O，因此∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD=90°，所以有直角的三角形为△AOD、△AOB、△BOC、△COD。
2. 找等边三角形：
已知AB=BC=AC，CD=DA=AC，即△ABC和△ADC的三边都相等，因此△ABC、△ADC是等边三角形。
3. 找等腰三角形：
等边三角形是特殊的等腰三角形，故△ABC、△ADC属于等腰三角形；另外AB=AD，CB=CD，因此△ABD、△BCD也满足两边相等，属于等腰三角形。
【答案】
直角三角形是△AOD,△AOB,△BOC,△COD；等腰三角形是△ABD,△BCD,△ADC,△ABC；等边三角形是△ADC,△ABC。
【知识点】
直角三角形的定义；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题考查特殊三角形的识别，解题核心是熟练掌握各类特殊三角形的定义，结合题目给出的垂直、边相等的条件逐一梳理判断，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，避免漏判。
【难度系数】
0.8

1. 如图,以BC为边的三角形共有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

第1题图 第2题图

1. C

【分析】
要找出以BC为边的三角形，首先明确三角形的构成：三角形由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成，固定边为BC时，只需要找出所有能和B、C两点构成三角形的第三个顶点，按顺序枚举即可，避免漏数或多数。
【解析】
根据三角形的定义，结合图形逐一列举以BC为边的三角形：
1. 第三个顶点为A时，构成△ABC；
2. 第三个顶点为E时，构成△EBC；
3. 第三个顶点为D时，构成△DBC。
综上，共有3个以BC为边的三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形定义的理解与应用，解题时按照一定顺序枚举三角形即可，注意不要遗漏中间交点E对应的△EBC。
【难度系数】
0.9

2. 如图,下列线段中不是∠A的对边的是 ()

A.BF
B.BD
C.BC
D.EF

2. D

【分析】
要判断哪条线段不是∠A的对边，首先明确角的对边的定义：在含有∠A的三角形中，∠A的对边是不经过顶点A，且两个端点分别落在∠A的两条边上的线段。∠A的两条边分别为射线AB和射线AC，因此∠A的对边必须满足：一个端点在AB上，另一个端点在AC上，接下来结合选项逐一判断即可。
【解析】
我们对每个选项依次分析：
1. 选项A：线段BF的端点B在AB上，端点F在AC上，是△ABF中∠A的对边，不符合题意；
2. 选项B：线段BD的端点B在AB上，端点D在AC上，是△ABD中∠A的对边，不符合题意；
3. 选项C：线段BC的端点B在AB上，端点C在AC上，是△ABC中∠A的对边，不符合题意；
4. 选项D：线段EF的两个端点E、F都在AC上，无法和点A构成包含∠A的三角形，因此不是∠A的对边，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角的对边的概念；三角形边角对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确掌握角的对边的特征，判断时注意线段端点的位置是否符合要求，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 下列说法错误的是 ()

A.等边三角形一定是等腰三角形
B.等腰三角形不一定是等边三角形
C.一个三角形,如果不是等腰三角形就一定是等边三角形
D.一个三角形,如果不是直角三角形就有可能是锐角三角形

3. C

【分析】
解题时首先要明确三角形不同分类方式的相关定义，理清等腰三角形和等边三角形的从属关系、三角形按角分类的三类情况，再逐一判断每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等边三角形三边都相等，满足等腰三角形“至少有两条边相等”的定义，因此等边三角形一定是等腰三角形，该说法正确，不符合题意。
B. 等腰三角形仅要求至少两条边相等，当等腰三角形的腰长和底边长不相等时，就不是等边三角形，因此等腰三角形不一定是等边三角形，该说法正确，不符合题意。
C. 三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等边三角形是特殊的等腰三角形，因此如果一个三角形不是等腰三角形，说明它是三边都不相等的不等边三角形，不可能是等边三角形，该说法错误，符合题意。
D. 三角形按角分类可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三类，因此不是直角三角形的三角形，有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查各类三角形的定义和从属关系，易错点是容易忽略等边三角形是特殊的等腰三角形这一包含关系，只要熟练掌握相关概念就能准确作答。
【难度系数】
0.8

4. 如图所示,教材盖住了一个三角形的一部分,则这个三角形是 ()

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定三角形的形状

4. A

【分析】
解题首先回忆三角形按角分类的判定规则：三角形中只要存在1个钝角，该三角形就是钝角三角形。首先观察题图，被遮挡的三角形露出了1个明显大于90°的钝角，结合三角形内角和为180°，剩余两个角的和必然小于90°，均为锐角，因此可直接判定三角形的类型。
【解析】
三角形按角可分为三类，判定规则如下：
1. 三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形；
2. 有一个内角为直角的三角形是直角三角形；
3. 有一个内角为钝角的三角形是钝角三角形。
观察题图可知，该三角形露出的角是大于90°的钝角，根据三角形内角和为180°，剩余两个内角的和为$180°-\mathrm{钝角}＜90°$，即剩余两个角都是锐角，因此该三角形属于钝角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查三角形分类的判定应用，只要掌握按角分类的判定规则，结合图形观察露出角的类型即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

5. 如图,在$△ ABC$中,$AB = BC = CA$,$BD ⊥ AC$,垂足为$D$,$DF ⊥ BC$,垂足为$F$,延长$BC$至点$E$,使$CE = CD$,连接$DE$.
(1)图中有个三角形;
(2)图中以$∠ E$为角的三角形有,以点$B$为顶点的三角形有,以$BD$为边的三角形有;
(3)若$BD = DE$,则图中等腰三角形有,等边三角形有;
(4)图中锐角三角形有,直角三角形有,钝角三角形有.

5. (1) 8
(2) △CDE,△DEF,△BDE △ABD,△BDF,△BCD,△ABC,△BDE △ABD,△BDF,△BCD,△BDE
(3) △CDE,△BDE,△ABC △ABC
(4) △ABC △ABD,△BDF,△CDF,△BCD,△DEF △CDE,△BDE

【分析】
(1) 数三角形个数时，按照从小到大、从左到右的顺序逐一列举，避免重复或遗漏；
(2) 按要求找对应三角形时，紧扣定义：以∠E为角的三角形即三个内角包含∠E的三角形；以点B为顶点的三角形即有一个顶点是B的三角形；以BD为边的三角形即边中包含线段BD的三角形；
(3) 判定等腰三角形看是否有两边相等，等边三角形需三边都相等，结合已知条件逐一判断即可；
(4) 按角分类时，三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，逐个判断每个三角形的内角类型即可。
【解析】
(1) 逐一列举图中三角形：△ABC、△ABD、△BCD、△BDF、△CDF、△CDE、△BDE、△DEF，共8个。
(2) 包含∠E的三角形：△CDE、△DEF、△BDE；
以点B为顶点的三角形：△ABD、△BDF、△BCD、△ABC、△BDE；
以BD为边的三角形：△ABD、△BDF、△BCD、△BDE。
(3) 已知AB=BC=CA，故△ABC是等边三角形，也属于等腰三角形；
由CE=CD，得△CDE是等腰三角形；
由BD=DE，得△BDE是等腰三角形；
因此等腰三角形有△CDE、△BDE、△ABC，等边三角形只有△ABC。
(4) 锐角三角形：只有△ABC，三个内角均为60°，都是锐角；
直角三角形：有直角的三角形，分别是△ABD（BD⊥AC）、△BDF（DF⊥BC）、△CDF（DF⊥BC）、△BCD（BD⊥AC）、△DEF（DF⊥BC，∠DFE=90°）；
钝角三角形：有一个钝角的三角形，分别是△CDE（∠DCE=180°-∠ACB=120°，是钝角）、△BDE（∠BDE=120°，是钝角）。
【答案】
(1) 8
(2) △CDE,△DEF,△BDE；△ABD,△BDF,△BCD,△ABC,△BDE；△ABD,△BDF,△BCD,△BDE
(3) △CDE,△BDE,△ABC；△ABC
(4) △ABC；△ABD,△BDF,△CDF,△BCD,△DEF；△CDE,△BDE
【知识点】
三角形的相关概念；等腰与等边三角形判定；三角形的分类
【点评】
本题是三角形基础概念的综合考查题，涉及三角形计数、按不同特征识别三角形、特殊三角形判定以及三角形按角分类，解题时要注意有序计数、紧扣定义判断，避免遗漏或错判。
【难度系数】
0.7

6.如图,网格中有A,B,C,D,E五个点,连接其中任意三点画三角形.
(1)以AB为一边可以画出个三角形,在图1中画出图形;
(2)以C为顶点可以画出个三角形,在图2中画出图形.

6. (1) 3 如图1,△ABE,△ABD,△ABC即为所求.
(2) 6 如图2,△ABC,△ADC,△AEC,△BDC,△BEC,△DEC即为所求.

【分析】
(1) 要确定以AB为一边的三角形个数，首先明确三角形需由三个不共线的点构成，已有A、B两个点，只需从剩余的C、D、E三个点中选择第三个点即可，经判断三个点均不与A、B共线，直接计数即可得到结果；
(2) 要确定以C为顶点的三角形个数，需从剩下的A、B、D、E四个点中选2个作为另外两个顶点，按顺序枚举所有两两组合，本题不存在三点共线的情况，所有组合都可构成三角形，统计组合数即可。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可选C、D、E，三个点都不与A、B共线，因此可画出$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ABE$，共3个三角形。
(2) 以C为顶点时，另外两个顶点从A、B、D、E中任选2个，所有有效组合为：AB、AD、AE、BD、BE、DE，共6组，且每组点都不与C共线，因此可画出$△ ABC$、$△ ADC$、$△ AEC$、$△ BDC$、$△ BEC$、$△ DEC$，共6个三角形。
【答案】
(1) 3 如图1,△ABE,△ABD,△ABC即为所求.
(2) 6 如图2,△ABC,△ADC,△AEC,△BDC,△BEC,△DEC即为所求.
【知识点】
三角形的定义，枚举计数法
【点评】
本题考查三角形的基本概念，解题时按一定顺序枚举组合可避免漏数、多数，同时要注意三点共线时无法构成三角形，属于三角形相关的基础题型。
【难度系数】
0.8