14. 解答下列各题.
(1) 如图,在∠AOB中,以点O为顶点引射线,填写下表:

(2) 若∠AOB内射线的条数为n,请用关于n的式子表示角的总个数.
(3) 若∠AOB内射线的条数是2025,则角的总个数为多少?

14. (1) 3 6 10 15 (2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$ (3) 由(2)可得,当 $n=2025$ 时,$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}×2026×2027=2053351$,即角的总个数为 2 053 351

【分析】
解决本题的核心是掌握有序计数角的方法，避免重复或遗漏。首先处理第(1)问：数角时可固定一条边为起始边，依次和其余边组合形成角，累加得到总数；第(2)问通过第(1)问的几组数据找规律，推导内部有n条射线时角的总个数的通用公式；第(3)问将n=2025直接代入第(2)问得到的公式计算即可。
【解析】
(1) 角是由两条有公共端点的射线组成：
①当∠AOB内有1条射线时，总共有3条射线，角的个数为$2+1=3$；
②当∠AOB内有2条射线时，总共有4条射线，角的个数为$3+2+1=6$；
③当∠AOB内有3条射线时，总共有5条射线，角的个数为$4+3+2+1=10$；
④当∠AOB内有4条射线时，总共有6条射线，角的个数为$5+4+3+2+1=15$；
故表格依次填3、6、10、15。
(2) 若∠AOB内射线的条数为n，此时总共有$(n+2)$条射线（包含∠AOB的两条边），角的个数为从$(n+1)$开始连续加到1的和：
$\begin{aligned}总个数&=(n+1)+n+(n-1)+\dots+2+1\\&=\frac{1}{2}×(1+n+1)×(n+1)\\&=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\end{aligned}$
(3) 把$n=2025$代入上述公式得：
$\begin{aligned}总个数&=\frac{1}{2}×(2025+1)×(2025+2)\\&=\frac{1}{2}×2026×2027\\&=1013×2027\\&=2053351\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$、$\boxed{6}$、$\boxed{10}$、$\boxed{15}$；(2) $\boxed{\frac{1}{2}(n+1)(n+2)}$；(3) $\boxed{2053351}$
【知识点】
角的计数；规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，既考查了有序计数的基本方法，又要求学生能从特殊案例归纳出通用规律，再应用规律解决具体问题，有助于培养逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7

1. 下列角度的角中，用一副三角板不能画出的是 【 】

A.$15°$
B.$75°$
C.$10°$
D.$105°$

C

【分析】
解题思路：首先明确一副三角板的所有角的度数分别为30°、45°、60°、90°；用三角板画角的本质是通过这几个角度的和或差组合得到新角度，因此能画出的角一定是15°的整数倍。接下来逐一验证每个选项的角度是否能通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
一副标准三角板的角度分别为30°、45°、60°、90°，可通过角度的和差组合得到新的角度：
选项A：$45° - 30° = 15°$，可以画出；
选项B：$30° + 45° = 75°$，可以画出；
选项C：10°无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到，不能画出；
选项D：$60° + 45° = 105°$，可以画出。
因此选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角板角度认识，角的和差计算，角的画法
【点评】
本题考查三角板角度的灵活运用，核心规律是用一副三角板能画出的角均为15°的整数倍，掌握角的和差运算即可快速判断，是对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

2. 已知OC平分∠AOB，有下列各式：① $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB$；② $∠ AOC = ∠ COB$；③ $∠ AOB = 2∠ AOC$。其中，正确的有 【 】

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

D

【分析】
解题的核心是掌握角平分线的定义，首先回忆角平分线的概念：从角的顶点出发，将角分成两个相等的小角的射线就是该角的平分线。接下来根据这个定义，逐个判断三个式子是否符合即可得出结论。
【解析】
根据角平分线的定义：若一条射线平分一个角，则这条射线把该角分成两个相等的角，且每个小角的大小都是原角的$\frac{1}{2}$，原角的大小是每个小角的2倍。
已知OC平分∠AOB：
1. 首先可得两个小角相等，即$∠ AOC = ∠ COB$，故②式正确；
2. 由角的和差关系，$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$，结合$∠ AOC = ∠ COB$，代入可得$∠ AOB = 2∠ AOC$，故③式正确；
3. 将$∠ AOB = 2∠ AOC$变形可得$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB$，故①式正确。
综上，①②③三个式子都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是基础概念考查题，需要熟练掌握角平分线的三种等价表述形式，避免漏记相关结论导致失分。
【难度系数】
0.9