12. 如图①，从点O分别引两条射线，得到一个角∠AOB.（图中的角均指不大于平角的角）
（1）探究：
如图②，从点O分别引三条射线，图中得到个角；
如图③，从点O分别引四条射线，图中得到个角；
依此类推，从点O分别引n条射线，图中得到个角；（用含n的式子表示）
（2）应用：利用发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？

(1)3 6 $\frac{n(n-1)}{2}$ (2)120场

【分析】
（1）数角时可以按“固定一条边，依次匹配剩余边”的方法计数，避免重复遗漏：图②有3条射线，以OA为边有2个角，以OC为边有1个不重复的新角，总和为$2+1=3$；图③有4条射线，以OA为边有3个角，以OC为边有2个不重复的新角，以OD为边有1个不重复的新角，总和为$3+2+1=6$；依此类推，n条射线时，总角数就是从$(n-1)$依次加到1的和，求和后可得通用公式。（2）单循环赛的场次计数和角的计数逻辑一致：每个班级对应一条射线，两个班级赛一场对应两条射线组成一个角，直接代入推导的规律公式计算即可。
【解析】
解：（1）观察图②：共有3条射线，角的个数为$2+1=3$个；
观察图③：共有4条射线，角的个数为$3+2+1=6$个；
推导规律：当有n条射线时，每条射线可和其余$(n-1)$条射线组成角，总共有$n(n-1)$次组合，每个角被重复计算2次，因此总角数为$\frac{n(n-1)}{2}$个。
（2）16个班进行单循环赛，对应规律中$n=16$，代入公式得：
比赛总场次$=\frac{16×(16-1)}{2}=\frac{16×15}{2}=120$（场）
【答案】
(1) $3$；$6$；$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$
(2) $\boldsymbol{120}$场
【知识点】
角的计数；规律归纳；组合应用
【点评】
本题从角的计数出发，引导学生推导两两组合的计数规律，再迁移到单循环比赛的实际问题中，考查了学生的归纳总结能力和知识迁移能力，解题时注意避免重复计数即可。
【难度系数】
0.8