10. 分类讨论思想是数学中的重要思想,在学习有理数的过程中,相信同学们也深有感受。
(1)当$ab＜0$时,若$b＞0$,$|a|＜|b|$,则$a+b$ $0$;
(2)当$abc＜0$时,若$ab＞0$,则$c$ $0$;
(3)当$a$与$b$都是整数,且$|a|+|b|=1$时,求$a+b$的值。(写出分类讨论的过程)

解：
(1) 由$ab＜0$可知$a$、$b$异号，结合$b＞0$可得$a＜0$。
根据异号有理数加法法则，和的符号取绝对值较大的数的符号，由$|a|＜|b|$得$a+b＞0$。
答案：$＞$
(2) 由$abc＜0$，$ab＞0$，根据有理数除法法则，得$c = abc ÷ ab ＜ 0$。
答案：$＜$
(3) 因为$a$、$b$都是整数，$|a|≥0$，$|b|≥0$，且$|a|+|b|=1$，分两类讨论：
① 当$|a|=0$，$|b|=1$时：
$a=0$，若$b=1$，则$a+b=0+1=1$；
若$b=-1$，则$a+b=0+(-1)=-1$。
② 当$|a|=1$，$|b|=0$时：
若$a=1$，$b=0$，则$a+b=1+0=1$；
若$a=-1$，$b=0$，则$a+b=-1+0=-1$。
综上，$a+b$的值为$1$或$-1$。

【分析】
(1) 先依据有理数乘法的符号法则“两数相乘，异号得负”，由ab＜0且b＞0判断出a为负数；再根据异号两数相加的法则“和的符号与绝对值更大的加数符号一致”，结合|a|＜|b|，即可判断a+b的符号。
(2) 可利用有理数除法法则推导：将c变形为abc÷ab，已知abc＜0、ab＞0，根据“两数相除，异号得负”，可直接得到c的符号。
(3) 因为a、b都是整数，绝对值是非负整数，两个非负整数相加和为1，仅存在“其中一个绝对值为0，另一个绝对值为1”这一种情况，分两类枚举所有取值，再计算a+b的结果即可。
【解析】
(1) 由$ab＜0$可知$a$、$b$异号，结合$b＞0$可得$a＜0$。根据异号有理数加法法则，和的符号取绝对值较大的数的符号，由$|a|＜|b|$得$a+b＞0$。
(2) 由$abc＜0$，$ab＞0$，根据有理数除法法则，得$c = abc ÷ ab ＜ 0$。
(3) 因为$a$、$b$都是整数，$|a|≥0$，$|b|≥0$，且$|a|+|b|=1$，分两类讨论：
① 当$|a|=0$，$|b|=1$时：
$a=0$，若$b=1$，则$a+b=0+1=1$；
若$b=-1$，则$a+b=0+(-1)=-1$。
② 当$|a|=1$，$|b|=0$时：
若$a=1$，$b=0$，则$a+b=1+0=1$；
若$a=-1$，$b=0$，则$a+b=-1+0=-1$。
综上，$a+b$的值为$1$或$-1$。
【答案】
(1)$＞$；(2)$＜$；(3)$1$或$-1$
【知识点】
有理数运算符号法则，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题既考察了有理数加减乘除基础的符号判断规则，又通过第三问重点考察分类讨论思想的应用，逻辑清晰，能有效巩固有理数运算相关的核心基础知识。
【难度系数】
0.7