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8.设有若干张边长为$a$的A类正方形纸片，边长为$b(a＞b)$的B类正方形纸片，长为$a$、宽为$b$的C类长方形纸片.如图，要拼一个边长为$a+b$的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形，则需要C类纸片的张数为（
A.6
B.7
C.8
D.9
C
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
因为$(3a+b)(2a+2b)=6a^2+6ab+2ab+2b^2=6a^2+8ab+2b^2$，所以若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形，需要C类纸片的张数为8。
解析
【分析】
解决本题的核心逻辑是拼接前后图形的总面积相等。首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。我们先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形的总面积，用多项式乘多项式法则展开并合并同类项后，展开式中$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数。
【解析】
先计算待拼接长方形的总面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(2a+2b)&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
1张C类纸片的面积为$ab$，因此展开式中$ab$项的系数8就是需要C类纸片的张数。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；整式的几何应用；合并同类项
【点评】
本题是数形结合思想在整式乘法中的典型应用，解题关键是抓住拼接前后面积相等的关系，将图形数量问题转化为多项式展开求项的系数问题，降低了解题难度，属于整式乘法的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心逻辑是拼接前后图形的总面积相等。首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。我们先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形的总面积，用多项式乘多项式法则展开并合并同类项后，展开式中$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数。
【解析】
先计算待拼接长方形的总面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(2a+2b)&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
1张C类纸片的面积为$ab$，因此展开式中$ab$项的系数8就是需要C类纸片的张数。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；整式的几何应用；合并同类项
【点评】
本题是数形结合思想在整式乘法中的典型应用，解题关键是抓住拼接前后面积相等的关系，将图形数量问题转化为多项式展开求项的系数问题，降低了解题难度，属于整式乘法的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列各式的规律：
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$；
$(x-1)(x^2 + x + 1)=x^3 -1$；
$(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)=x^4 -1$；
……
可得到$(x-1)(x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)= \_\_\_\_\_\_$；
一般地，$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x + 1)= \_\_\_\_\_\_$。
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$；
$(x-1)(x^2 + x + 1)=x^3 -1$；
$(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)=x^4 -1$；
……
可得到$(x-1)(x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)= \_\_\_\_\_\_$；
一般地，$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x + 1)= \_\_\_\_\_\_$。
答案
$x^8-1$ $x^{n+1}-1$
根据各式子中含$x$的项的项数与次数反映的规律写出式子即可。
根据各式子中含$x$的项的项数与次数反映的规律写出式子即可。
解析
【分析】
我们可以先观察给出的3个已知等式，寻找左右两边的共同规律：首先左边都是$(x-1)$乘以一个按$x$降幂排列、从最高次项到常数项1的多项式；再对比左边第二个因式的最高次数和右边结果的次数，会发现右边$x$的次数刚好比左边第二个因式的最高次数多1，结果都是“$x$的（最高次+1）次方减1”的形式。也可以用本节课学的多项式乘多项式的法则展开验证规律的正确性，再套用规律求解即可。
【解析】
先观察已知等式的规律：
1. $(x-1)(x+1)=x^2-1$，左边第二个因式最高次是1，右边$x$的次数为$1+1=2$；
2. $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，左边第二个因式最高次是2，右边$x$的次数为$2+1=3$；
3. $(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$，左边第二个因式最高次是3，右边$x$的次数为$3+1=4$；
我们也可以用多项式乘多项式法则展开验证：
$\begin{aligned}(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots +x +1) &= x·(x^n + x^{n-1} + \dots +x +1) - 1·(x^n + x^{n-1} + \dots +x +1) \\&= x^{n+1} + x^n + x^{n-1} + \dots +x^2 +x - x^n - x^{n-1} - \dots -x -1 \\&= x^{n+1} -1\end{aligned}$
因此：
第一个空，左边第二个因式最高次为7，代入规律得结果为$x^{7+1}-1=x^8-1$；
一般情况的结果为$x^{n+1}-1$。
【答案】
$x^8-1$；$x^{n+1}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律探究问题
【点评】
本题属于整式运算中的规律探究题，核心是通过观察已知等式的结构、次数特征归纳出通用规律，也可以通过多项式乘法展开验证规律，能够锻炼归纳推理和运算验证的能力。
【难度系数】
0.8
我们可以先观察给出的3个已知等式，寻找左右两边的共同规律：首先左边都是$(x-1)$乘以一个按$x$降幂排列、从最高次项到常数项1的多项式；再对比左边第二个因式的最高次数和右边结果的次数，会发现右边$x$的次数刚好比左边第二个因式的最高次数多1，结果都是“$x$的（最高次+1）次方减1”的形式。也可以用本节课学的多项式乘多项式的法则展开验证规律的正确性，再套用规律求解即可。
【解析】
先观察已知等式的规律：
1. $(x-1)(x+1)=x^2-1$，左边第二个因式最高次是1，右边$x$的次数为$1+1=2$；
2. $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，左边第二个因式最高次是2，右边$x$的次数为$2+1=3$；
3. $(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$，左边第二个因式最高次是3，右边$x$的次数为$3+1=4$；
我们也可以用多项式乘多项式法则展开验证：
$\begin{aligned}(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots +x +1) &= x·(x^n + x^{n-1} + \dots +x +1) - 1·(x^n + x^{n-1} + \dots +x +1) \\&= x^{n+1} + x^n + x^{n-1} + \dots +x^2 +x - x^n - x^{n-1} - \dots -x -1 \\&= x^{n+1} -1\end{aligned}$
因此：
第一个空，左边第二个因式最高次为7，代入规律得结果为$x^{7+1}-1=x^8-1$；
一般情况的结果为$x^{n+1}-1$。
【答案】
$x^8-1$；$x^{n+1}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律探究问题
【点评】
本题属于整式运算中的规律探究题，核心是通过观察已知等式的结构、次数特征归纳出通用规律，也可以通过多项式乘法展开验证规律，能够锻炼归纳推理和运算验证的能力。
【难度系数】
0.8
10. 在一次测验中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法试题：$(2x+a)(3x+b)$，由于甲把第一个多项式中第二项的$+a$抄成了$-a$，得到的结果为$6x^2+11x-10$；由于乙漏抄了第二个多项式中第一项的系数，得到的结果为$2x^2-9x+10$。
(1) 试求出式子中$a,b$的值；
(2) 请你计算出这道整式乘法的正确结果。
(1) 试求出式子中$a,b$的值；
(2) 请你计算出这道整式乘法的正确结果。
答案
(1)由题意，得$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$，$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$，所以$2b-3a=11,a+2b=-9$。由两式联立组成方程组解得$a=-5,b=-2$。
(2)$(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=2x · 3x-2x · 2-5 · 3x+5×2=6x^2-19x+10$。
(2)$(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=2x · 3x-2x · 2-5 · 3x+5×2=6x^2-19x+10$。
解析
【分析】
要解决本题，首先根据甲、乙两人的错抄情况，分别写出两人实际计算的整式乘法算式，再利用多项式乘多项式的法则展开错算的式子，将展开后的式子与两人得到的结果对比，根据对应项的系数相等，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；第二问将求出的a、b代入原式，按照多项式乘多项式法则正确计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据题意分析两人的计算情况：
甲把$+a$抄成$-a$，实际计算的是$(2x-a)(3x+b)$，展开得：
$\begin{aligned}(2x-a)(3x+b)&=2x·3x + 2x· b - a·3x - a· b\\&=6x^2 + (2b - 3a)x - ab\end{aligned}$
已知甲得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$，对应一次项系数相等，可得：$2b - 3a = 11$ ①
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即第二个多项式变为$x + b$，实际计算的是$(2x+a)(x+b)$，展开得：
$\begin{aligned}(2x+a)(x+b)&=2x· x + 2x· b + a· x + a· b\\&=2x^2 + (a + 2b)x + ab\end{aligned}$
已知乙得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$，对应一次项系数相等，可得：$a + 2b = -9$ ②
联立①②组成二元一次方程组，用①-②消去$2b$：
$\begin{aligned}(2b - 3a) - (a + 2b) &= 11 - (-9)\\-4a &= 20\\a&=-5\end{aligned}$
将$a = -5$代入②：$-5 + 2b = -9$，解得$b = -2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$计算：
$\begin{aligned}(2x - 5)(3x - 2) &= 2x·3x + 2x·(-2) + (-5)·3x + (-5)·(-2)\\&=6x^2 - 4x - 15x + 10\\&=6x^2 - 19x + 10\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；
(2) 正确结果为$6x^2 - 19x + 10$
【知识点】
多项式乘多项式运算；二元一次方程组求解；代数式求值
【点评】
本题属于错中求解类问题，核心是通过错算的算式反推参数，解题时要准确抓住错算的条件列出对应等式，结合多项式相等时对应项系数相等建立方程，计算多项式乘法时要注意不要漏乘项、不要弄错符号。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先根据甲、乙两人的错抄情况，分别写出两人实际计算的整式乘法算式，再利用多项式乘多项式的法则展开错算的式子，将展开后的式子与两人得到的结果对比，根据对应项的系数相等，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；第二问将求出的a、b代入原式，按照多项式乘多项式法则正确计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据题意分析两人的计算情况：
甲把$+a$抄成$-a$，实际计算的是$(2x-a)(3x+b)$，展开得：
$\begin{aligned}(2x-a)(3x+b)&=2x·3x + 2x· b - a·3x - a· b\\&=6x^2 + (2b - 3a)x - ab\end{aligned}$
已知甲得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$，对应一次项系数相等，可得：$2b - 3a = 11$ ①
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即第二个多项式变为$x + b$，实际计算的是$(2x+a)(x+b)$，展开得：
$\begin{aligned}(2x+a)(x+b)&=2x· x + 2x· b + a· x + a· b\\&=2x^2 + (a + 2b)x + ab\end{aligned}$
已知乙得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$，对应一次项系数相等，可得：$a + 2b = -9$ ②
联立①②组成二元一次方程组，用①-②消去$2b$：
$\begin{aligned}(2b - 3a) - (a + 2b) &= 11 - (-9)\\-4a &= 20\\a&=-5\end{aligned}$
将$a = -5$代入②：$-5 + 2b = -9$，解得$b = -2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$计算：
$\begin{aligned}(2x - 5)(3x - 2) &= 2x·3x + 2x·(-2) + (-5)·3x + (-5)·(-2)\\&=6x^2 - 4x - 15x + 10\\&=6x^2 - 19x + 10\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；
(2) 正确结果为$6x^2 - 19x + 10$
【知识点】
多项式乘多项式运算；二元一次方程组求解；代数式求值
【点评】
本题属于错中求解类问题，核心是通过错算的算式反推参数，解题时要准确抓住错算的条件列出对应等式，结合多项式相等时对应项系数相等建立方程，计算多项式乘法时要注意不要漏乘项、不要弄错符号。
【难度系数】
0.6
11.某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长$(9a-1)\mathrm{m}$、宽$(3b-5)\mathrm{m}$的长方形场地(如图)打造成居民健身场所，具体规划如下：在这块场地中分割出一块长$(3a+1)\mathrm{m}$、宽$b\mathrm{m}$的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材.
(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)当$a=9,b=15$时，求安装健身器材的区域面积.
(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)当$a=9,b=15$时，求安装健身器材的区域面积.
答案
(1)$(9a-1)(3b-5)-b(3a+1)=27ab-45a-3b+5-3ab-b=(24ab-45a-4b+5)\mathrm{m^2}$。
(2)当$a=9,b=15$时，原式$=24×9×15-45×9-4×15+5=3240-405-60+5=2780(\mathrm{m^2})$。
(2)当$a=9,b=15$时，原式$=24×9×15-45×9-4×15+5=3240-405-60+5=2780(\mathrm{m^2})$。
解析
【分析】
本题求解健身器材区域的面积，可采用“总面积减去扣除部分面积”的思路解题：
1. 先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，分别计算原长方形场地的总面积和篮球场的面积；
2. 第一问用总面积减去篮球场面积，再根据多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则展开，合并同类项得到化简后的面积表达式；
3. 第二问将a、b的取值直接代入第一问得到的化简后的代数式，按照运算顺序计算即可得到具体面积值。
【解析】
(1) 首先计算原长方形场地的面积：$(9a - 1)(3b - 5)$，再计算篮球场的面积：$b(3a + 1)$，安装健身器材的面积为两者的差：
$\begin{aligned}&(9a - 1)(3b - 5) - b(3a + 1)\\=&27ab - 45a - 3b + 5 - 3ab - b\\=&24ab - 45a - 4b + 5\end{aligned}$
即安装健身器材的区域面积为$(24ab - 45a - 4b + 5)\mathrm{m^2}$。
(2) 把$a=9$，$b=15$代入$24ab - 45a - 4b + 5$得：
$\begin{aligned}&24×9×15 - 45×9 - 4×15 + 5\\=&3240 - 405 - 60 + 5\\=&2780\end{aligned}$
即此时安装健身器材的区域面积为$2780\mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $\boxed{(24ab - 45a - 4b + 5)\mathrm{m^2}}$
(2) $\boxed{2780\mathrm{m^2}}$
【知识点】
长方形面积计算；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的实际应用类题目，核心是利用面积的和差关系列出代数式，需要熟练掌握整式乘法的运算法则，展开计算时注意符号问题，代入求值时要遵循先乘除后加减的运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
本题求解健身器材区域的面积，可采用“总面积减去扣除部分面积”的思路解题：
1. 先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，分别计算原长方形场地的总面积和篮球场的面积；
2. 第一问用总面积减去篮球场面积，再根据多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则展开，合并同类项得到化简后的面积表达式；
3. 第二问将a、b的取值直接代入第一问得到的化简后的代数式，按照运算顺序计算即可得到具体面积值。
【解析】
(1) 首先计算原长方形场地的面积：$(9a - 1)(3b - 5)$，再计算篮球场的面积：$b(3a + 1)$，安装健身器材的面积为两者的差：
$\begin{aligned}&(9a - 1)(3b - 5) - b(3a + 1)\\=&27ab - 45a - 3b + 5 - 3ab - b\\=&24ab - 45a - 4b + 5\end{aligned}$
即安装健身器材的区域面积为$(24ab - 45a - 4b + 5)\mathrm{m^2}$。
(2) 把$a=9$，$b=15$代入$24ab - 45a - 4b + 5$得：
$\begin{aligned}&24×9×15 - 45×9 - 4×15 + 5\\=&3240 - 405 - 60 + 5\\=&2780\end{aligned}$
即此时安装健身器材的区域面积为$2780\mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $\boxed{(24ab - 45a - 4b + 5)\mathrm{m^2}}$
(2) $\boxed{2780\mathrm{m^2}}$
【知识点】
长方形面积计算；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的实际应用类题目，核心是利用面积的和差关系列出代数式，需要熟练掌握整式乘法的运算法则，展开计算时注意符号问题，代入求值时要遵循先乘除后加减的运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
