如图1所示,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1) 思路梳理.
∵AB=CD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F,D,G共线.其依据是,易证△AFG≌,得EF=BE+DF.
(2) 类比引申.
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°.点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°.若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系时,仍有EF=BE+DF.

(3) 联想拓展.
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD,DE,EC应满足的等量关系,并写出推理过程.

(1) $SAS$ $△ AFE$
(2) $∠B+∠D=180°$
(3) 猜想$DE^2=BD^2+EC^2$,提示:根据$△ AEC$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ ABF$.

【分析】
本题围绕半角模型的线段关系展开，解题核心是通过旋转构造全等三角形实现线段的转化：
1. 第(1)问：将△ABE旋转至△ADG后，可得AE=AG，∠EAG=90°，结合已知∠EAF=45°，推出∠GAF=∠EAF=45°，再加公共边AF，即可判定△AFG和△AFE全等，进而得到EF=FG=BE+DF。
2. 第(2)问：要仍满足EF=BE+DF，需要旋转后点F、D、G共线，即∠ADG+∠ADF=180°，由于∠ADG=∠B，因此只要∠B+∠ADC=180°即可。
3. 第(3)问：沿用旋转思路，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，可证BF=EC，∠FBD=90°，再通过SAS证明△AFD≌△AED得DE=DF，最后利用勾股定理即可推出三条线段的平方关系。
【解析】
(1) 旋转后可得$AE=AG$，$∠ EAG=90°$，$\because ∠ EAF=45°$，$\therefore ∠ GAF=∠ EAG-∠ EAF=45°=∠ EAF$，又$\because AF=AF$，$\therefore △ AFG ≌ △ AFE(SAS)$，故第一空填SAS，第二空填$△ AFE$。
(2) 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则$∠ ADG=∠ B$，$BE=DG$，$AE=AG$，$∠ EAG=90°$。要使点F、D、G共线，需$∠ ADG+∠ ADC=180°$，即$∠ B+∠ D=180°$，此时同(1)可证$△ AFG ≌ △ AFE$，得$EF=FG=DG+DF=BE+DF$。
(3) 猜想：$DE^2=BD^2+EC^2$，推理过程如下：
将△AEC绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△ABF，连接DF。
由旋转性质可知：$BF=EC$，$AF=AE$，$∠ FAB=∠ EAC$，$∠ ABF=∠ C$。
$\because ∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ ABF+∠ ABC=∠ C+∠ ABC=90°$，即$∠ FBD=90°$，
由勾股定理得$DF^2=BD^2+BF^2=BD^2+EC^2$。
$\because ∠ DAE=45°$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ EAC=∠ BAC-∠ DAE=45°$，
又$\because ∠ FAB=∠ EAC$，$\therefore ∠ FAB+∠ BAD=∠ FAD=45°=∠ DAE$，
在△AFD和△AED中：
$\begin{cases}AF=AE \\∠ FAD=∠ EAD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ AFD ≌ △ AED(SAS)$，$\therefore DF=DE$，
$\therefore DE^2=BD^2+EC^2$。
【答案】
(1) $SAS$；$△ AFE$
(2) $∠ B+∠ D=180°$
(3) $DE^2=BD^2+EC^2$，推理过程见解析
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是半角模型的典型应用，核心解题方法是通过旋转构造全等三角形，将分散的线段转化到同一个图形中建立关系，熟练掌握旋转构造的技巧和全等、勾股定理的应用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6