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10. 如图,在菱形ABCD中,E是AC上一点,AE＜CE,连接DE,过点B作BF//DE交AC于点F,连接BE,DF.
(1) 求证:四边形DEBF是菱形.
(2) 延长DE交AB于点G,连接FG,其中CE=CD.
①探究FG与DF的数量关系,并说明理由；
②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长.
(1) 求证:四边形DEBF是菱形.
(2) 延长DE交AB于点G,连接FG,其中CE=CD.
①探究FG与DF的数量关系,并说明理由；
②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长.
答案
10. (1) 连接BD交AC于点O,$\because △ DAE≌△ BFC(AAS)$,$\therefore DE=BF$,$\because DE// BF$,$\therefore$ 四边形DEBF是平行四边形,$\because$ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AC⊥BD$,即$EF⊥BD$,$\therefore ▱DEBF$是菱形.
(2) ①$FG=DF$,理由如下:$\because CE=CD$,$\therefore ∠CDE=∠CED$,$\therefore ∠AEG=∠AGE$,$∠AFB=∠ABF$,$\therefore AE=AG$,$\therefore EF=GB$,又$FB=BF$,$\therefore △ GBF≌△ EFB(SAS)$,$\therefore FG=EB$,$\because ▱DEBF$是菱形,$\therefore FG=EB=DF$.
②解:连接BD交AC于点O,$\therefore DO⊥AC$,设$EF=a$,$AE=2a$,$\therefore CE=CD=3a$,$\because ▱DEBF$是菱形,$\therefore FO=EO=\frac{1}{2}a$,$\therefore CO=\frac{5}{2}a$,$\because DF^2-FO^2=DC^2-CO^2$,$\therefore 9-(\frac{1}{2}a)^2=9a^2-(\frac{5}{2}a)^2$,$\therefore a_1=\sqrt{3}$,$a_2=-\sqrt{3}$(舍去),$\therefore$ 菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$.
(2) ①$FG=DF$,理由如下:$\because CE=CD$,$\therefore ∠CDE=∠CED$,$\therefore ∠AEG=∠AGE$,$∠AFB=∠ABF$,$\therefore AE=AG$,$\therefore EF=GB$,又$FB=BF$,$\therefore △ GBF≌△ EFB(SAS)$,$\therefore FG=EB$,$\because ▱DEBF$是菱形,$\therefore FG=EB=DF$.
②解:连接BD交AC于点O,$\therefore DO⊥AC$,设$EF=a$,$AE=2a$,$\therefore CE=CD=3a$,$\because ▱DEBF$是菱形,$\therefore FO=EO=\frac{1}{2}a$,$\therefore CO=\frac{5}{2}a$,$\because DF^2-FO^2=DC^2-CO^2$,$\therefore 9-(\frac{1}{2}a)^2=9a^2-(\frac{5}{2}a)^2$,$\therefore a_1=\sqrt{3}$,$a_2=-\sqrt{3}$(舍去),$\therefore$ 菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形DEBF是菱形，可先证它是平行四边形，再证对角线互相垂直。首先利用菱形ABCD的性质得到边和角的相等关系，结合BF//DE的条件证明△DAE≌△BCF，得到DE=BF，即可证DEBF是平行四边形；再利用菱形ABCD对角线互相垂直的性质，得平行四边形DEBF的对角线互相垂直，即可得证。
(2) ①探究FG与DF的数量关系时，先由菱形DEBF的性质得DF=EB，因此只需证FG=EB即可。利用CE=CD倒角得到等腰三角形，推出AE=AG，进一步得到EF=GB，再证明△GBF≌△EFB即可得到FG=EB，从而得到二者的等量关系。
②已知FG=3，结合①的结论得DF=3，设参数表示各线段长度，利用菱形对角线垂直的性质，在两个共直角边的直角三角形中用勾股定理列方程求解参数，即可得到菱形边长。
【解析】
(1) 连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵BF//DE，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△DAE和△BCF中，$\{\begin{array}{l}∠ AED=∠ CFB\\ ∠ DAE=∠ BCF\\ AD=BC\end{array} $，
∴△DAE≌△BCF(AAS)，
∴DE=BF，
又
∵DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形。
(2) ①$FG=DF$，理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB，AB//CD，
∴∠CDE=∠AGE，又
∵∠CED=∠AEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BF，推导可得EF=GB，
在△GBF和△EFB中，$\{\begin{array}{l}GB=EF\\ ∠ GBF=∠ EFB\\ BF=FB\end{array} $，
∴△GBF≌△EFB(SAS)，
∴FG=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EB=DF，
∴FG=DF。
②解：连接BD交AC于点O，
∴BD⊥AC，即DO⊥AC，
设$EF=a$，
∵AE=2EF，
∴$AE=2a$，
∵CE=CD，且$CE=AE+EF=3a$，
∴$CD=3a$，
∵四边形DEBF是菱形，
∴对角线互相平分，$FO=EO=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}a$，
∴$CO=CE-EO=3a-\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，
在$Rt△ DOF$和$Rt△ DOC$中，由勾股定理得：
$DO^2=DF^2-FO^2$，$DO^2=DC^2-CO^2$，
∴$DF^2-FO^2=DC^2-CO^2$，
∵FG=3，由①得DF=FG=3，代入得：
$3^2-(\frac{1}{2}a)^2=(3a)^2-(\frac{5}{2}a)^2$，
解得$a_1=\sqrt{3}$，$a_2=-\sqrt{3}$(舍去)，
∴菱形ABCD的边长$CD=3a=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形DEBF是菱形；
(2) ①$FG=DF$；②菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊平行四边形的性质与判定，同时结合全等三角形、勾股定理解决线段关系和求值问题，解题时要注意利用菱形对角线垂直的性质构造直角三角形，通过设参数列方程的方法简化几何计算，同时熟练掌握角的推导和边的等量转化是解决本题的关键。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明四边形DEBF是菱形，可先证它是平行四边形，再证对角线互相垂直。首先利用菱形ABCD的性质得到边和角的相等关系，结合BF//DE的条件证明△DAE≌△BCF，得到DE=BF，即可证DEBF是平行四边形；再利用菱形ABCD对角线互相垂直的性质，得平行四边形DEBF的对角线互相垂直，即可得证。
(2) ①探究FG与DF的数量关系时，先由菱形DEBF的性质得DF=EB，因此只需证FG=EB即可。利用CE=CD倒角得到等腰三角形，推出AE=AG，进一步得到EF=GB，再证明△GBF≌△EFB即可得到FG=EB，从而得到二者的等量关系。
②已知FG=3，结合①的结论得DF=3，设参数表示各线段长度，利用菱形对角线垂直的性质，在两个共直角边的直角三角形中用勾股定理列方程求解参数，即可得到菱形边长。
【解析】
(1) 连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵BF//DE，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△DAE和△BCF中，$\{\begin{array}{l}∠ AED=∠ CFB\\ ∠ DAE=∠ BCF\\ AD=BC\end{array} $，
∴△DAE≌△BCF(AAS)，
∴DE=BF，
又
∵DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形。
(2) ①$FG=DF$，理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB，AB//CD，
∴∠CDE=∠AGE，又
∵∠CED=∠AEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BF，推导可得EF=GB，
在△GBF和△EFB中，$\{\begin{array}{l}GB=EF\\ ∠ GBF=∠ EFB\\ BF=FB\end{array} $，
∴△GBF≌△EFB(SAS)，
∴FG=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EB=DF，
∴FG=DF。
②解：连接BD交AC于点O，
∴BD⊥AC，即DO⊥AC，
设$EF=a$，
∵AE=2EF，
∴$AE=2a$，
∵CE=CD，且$CE=AE+EF=3a$，
∴$CD=3a$，
∵四边形DEBF是菱形，
∴对角线互相平分，$FO=EO=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}a$，
∴$CO=CE-EO=3a-\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，
在$Rt△ DOF$和$Rt△ DOC$中，由勾股定理得：
$DO^2=DF^2-FO^2$，$DO^2=DC^2-CO^2$，
∴$DF^2-FO^2=DC^2-CO^2$，
∵FG=3，由①得DF=FG=3，代入得：
$3^2-(\frac{1}{2}a)^2=(3a)^2-(\frac{5}{2}a)^2$，
解得$a_1=\sqrt{3}$，$a_2=-\sqrt{3}$(舍去)，
∴菱形ABCD的边长$CD=3a=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形DEBF是菱形；
(2) ①$FG=DF$；②菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊平行四边形的性质与判定，同时结合全等三角形、勾股定理解决线段关系和求值问题，解题时要注意利用菱形对角线垂直的性质构造直角三角形，通过设参数列方程的方法简化几何计算，同时熟练掌握角的推导和边的等量转化是解决本题的关键。
【难度系数】
0.5
