1. (2025·南京期中)某排球比赛的积分规则为比赛中以$3:0$(胜3局负0局)或者$3:1$取胜的球队积3分,负队积0分;比赛中以$3:2$取胜的球队积2分,负队积1分.若$n$($n$是正整数,$n＞1$)支排球队进行单循环比赛(参赛的每两个队之间都要比赛一场),则比赛结束后所有球队的积分的和为________分.(用含$n$的式子表示)

$\dfrac{3n(n-1)}{2}$

2. 图①是三条长度都为$ a $的线段构成的小三角形；图②是4个边长都为$ a $的小三角形拼成的大三角形；图③是9个边长都为$ a $的小三角形拼成的大三角形；图④是16个边长都为$ a $的小三角形拼成的大三角形.按此规律排列,图$\textcircled{n}$中共有长度为$ a $的线段条.

＞＞ 对点专练 P73

$\dfrac{3n^2+3n}{2}$

3. (2025·宿迁期末)已知$a,b,c,d$为四个不相同的正整数,且满足$(a-3)(b-3)(c-3)(d-3)=4$,则$a+2b+3c+4d$的最小值为________.

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4. |跨学科融合 探索、研究:仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…),受堆放条件限制,堆放时应符合下列条件:每层堆放仪器箱的个数$a_n$与层数$n$之间满足关系式$a_n = n^2 - 32n + 247,1≤n＜16,n$为整数.
(1)例如,当$n=2$时,$a_2 = 2^2 - 32×2 + 247 = 187$,则$a_5 =$,$a_6 =$.
(2)假设堆放时上层仪器箱的总质量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力,压力单位是牛顿(N),设每个仪器箱重54 N,每个仪器箱能承受的最大压力为160 N,并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的.
①若仪器箱仅堆放第1,2两层,求第1层中每个仪器箱承受的平均压力;
②在确保仪器箱不被损坏的情况下,仪器箱最多可以堆放几层?为什么?

(1)112，91
【解析】当 $n=5$ 时, $a_5=5^2-32×5+247=112$; 当 $n=6$ 时, $a_6=6^2-32×6+247=91$.
(2)①由题意得 $\dfrac{(2^2-32×2+247)×54}{1^2-32×1+247}=\dfrac{187×54}{216}=46.75(\mathrm{N})$.
答:第1层中每个仪器箱承受的平均压力是 46.75 N.
②该仪器箱最多可以堆放 5 层,理由如下:当 $n=1$ 时, $a_1=216$; 当 $n=2$ 时, $a_2=187$; 当 $n=3$ 时, $a_3=160$; 当 $n=4$ 时, $a_4=135$; 当 $n=5$ 时, $a_5=112$; 当 $n=6$ 时, $a_6=91$. 当 $n=5$ 时, 第1层中每个仪器箱承受的平均压力为 $\dfrac{(187+160+135+112)×54}{216}=148.5(\mathrm{N})＜160\ \mathrm{N}$; 当 $n=6$ 时, 第1层中每个仪器箱承受的平均压力为 $\dfrac{(187+160+135+112+91)×54}{216}=171.25(\mathrm{N})＞160\ \mathrm{N}$. 所以,该仪器箱最多可以堆放 5 层.