1. (教材例题变式)一元二次方程 $x^{2}-5x+2=0$ 的根的判别式的值是（）

A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$

C 解析:
∵a=1,b=-5,c=2,
∴b²-4ac=(-5)²-4×1×2=25-8=17.

【分析】首先明确一元二次方程根的判别式公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。解题时需先确定题目所给方程中$a$、$b$、$c$的取值，再代入公式计算判别式的值，最后匹配选项得出答案。
【解析】对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=2$。根据根的判别式公式$\Delta = b^2 -4ac$，代入得：$\Delta = (-5)^2 -4×1×2 =25 -8=17$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题为基础题型，是教材例题的变式，核心考查一元二次方程根的判别式的计算，解题关键是准确确定方程中$a$、$b$、$c$的值并正确代入公式计算，难度较低。
【难度系数】0.8

2. (2025·河南)一元二次方程$x^{2}-2x=0$的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

A 解析:根据题意,得Δ=(-2)²-4×1×0=4＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.

【分析】要判断一元二次方程根的情况，需运用根的判别式Δ=b²-4ac：先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，计算Δ后，根据Δ与0的大小关系判断根的情况——Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程没有实数根。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - 2x = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=0$，计算根的判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4$，因为$4＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是准确确定判别式并计算，难度较低。
【难度系数】0.8

3. (2025·甘肃)关于$x$的一元二次方程$3x^{2}-6x+m=0$有两个实数根,则$m$的取值范围是（）

A.$m＜3$
B.$m≤ 3$
C.$m＞3$
D.$m≥ 3$

B 解析:根据题意,得Δ=(-6)²-4×3m≥0,
∴m≤3.

【分析】
要确定一元二次方程中参数$m$的取值范围，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。本题先确定方程的$a、b、c$值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的范围，进而选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -6x + m =0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=m$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，
代入得：$(-6)^2 -4×3×m ≥0$，
计算得：$36 -12m ≥0$，
移项得：$-12m ≥ -36$，
两边同时除以$-12$（不等号方向改变），得：$m ≤3$。
所以$m$的取值范围是$m≤3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，关键在于明确“两个实数根”包含两个相等的实数根，因此判别式需满足$\Delta≥0$，避免误写为$\Delta＞0$，是学生易忽略的细节，整体难度较低。
【难度系数】
0.7

4. 对于一元二次方程$x^{2}-3x-4=0$，计算$b^{2}-4ac$的结果是.

25

【分析】
要计算一元二次方程的判别式$b^2 - 4ac$，需先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），从给定方程中确定$a$、$b$、$c$的取值，再代入判别式公式计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$，其一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-4$。
将$a$、$b$、$c$代入判别式公式：
$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25$。
【答案】
25
【知识点】
一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程判别式的基础计算，只需准确确定方程中$a$、$b$、$c$的值，代入公式即可得出结果，属于简单的基础题型。
【难度系数】
0.9

5. (1)(2025·广东)不解方程,判断一元二次方程$2x^{2}+x-1=0$的根的情况是.
(2)一元二次方程$x(x-1)=2$的一般形式是,根的情况为.

(1)有两个不相等的实数根 解析:
∵Δ=1²-4×2×(-1)=9＞0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)$x^2-x-2=0$ 有两个不相等的实数根 解析:将原方程化为一般形式为$x^2-x-2=0$.
∵Δ=(-1)²-4×1×(-2)=9＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.

【分析】
要解决这两个问题，需掌握两个核心内容：一是一元二次方程根的判别式的应用，二是一元二次方程一般形式的转化。对于判断根的情况，步骤为：①确定一元二次方程的一般形式（$ax²+bx+c=0$，$a≠0$），明确$a、b、c$的取值（需包含符号）；②计算判别式$\Delta=b²-4ac$；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。对于将方程化为一般形式，步骤为：去括号、移项，将所有项移到等号左侧，右侧为0，合并同类项即可。
【解析】
(1) 方程$2x²+x-1=0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=1$，$c=-1$。计算判别式：$\Delta=1² - 4×2×(-1)=1+8=9＞0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将方程$x(x-1)=2$化为一般形式：去括号得$x² - x = 2$，移项合并得$x² - x - 2=0$；再计算判别式，对于方程$x² -x -2=0$，$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，$\Delta=(-1)² -4×1×(-2)=1+8=9＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；(2) $x^2 - x - 2 = 0$，有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查方程一般形式的转化和根的判别式的计算，需注意确定$a、b、c$时要带符号，避免计算错误，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8

6. (1) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2-2x+1=0$ 无实数根,则 $k$ 的取值范围是.
(2) 若关于 $x$ 的方程 $x^2+3x+a=0$ 有两个相等的实数根,则 $a$ 的值是.
(3) 若关于 $x$ 的方程 $ax^2-4x-1=0$ 有两个不相等的实数根,则 $a$ 的取值范围是.

(1)$k＞1$ 解析:
∵关于x的一元二次方程$kx^2-2x+1=0$无实数根,
∴Δ=(-2)²-4k＜0,且k≠0,解得$k＞1$.
(2)$\dfrac{9}{4}$ 解析:
∵关于x的方程$x^2+3x+a=0$有两个相等的实数根,
∴Δ=3²-4×1×a=0,解得$a=\dfrac{9}{4}$.
(3)$a＞-4$ 且 $a≠0$ 解析:根据题意,得$a≠0$且Δ=(-4)²-4a×(-1)＞0,解得$a＞-4$且$a≠0$.

【分析】
本题围绕一元二次方程根的情况求参数范围，核心是利用根的判别式Δ与根的关系，同时需注意：若题目明确为一元二次方程，必须保证二次项系数不为0。具体思路：1. 先判断方程类型，确定二次项系数的限制；2. 根据根的情况确定Δ的符号（无实根→Δ＜0，两相等实根→Δ=0，两不等实根→Δ＞0）；3. 联立不等式求解参数范围，确保不遗漏限制条件。
【解析】
(1) 因为方程是关于x的一元二次方程且无实数根，所以需满足：
二次项系数k≠0，且判别式Δ=(-2)² - 4k×1 ＜ 0，
计算得：4 - 4k ＜ 0 → 4k ＞ 4 → k ＞ 1，结合k≠0，最终k＞1。
(2) 方程有两个相等的实数根，对于二次项系数为1的一元二次方程，判别式Δ=3² - 4×1×a = 0，
计算得：9 - 4a = 0 → a = 9/4。
(3) 方程有两个不相等的实数根，需满足：
首先为一元二次方程，故二次项系数a≠0，且判别式Δ=(-4)² - 4×a×(-1) ＞ 0，
计算Δ：16 + 4a ＞ 0 → 4a ＞ -16 → a ＞ -4，结合a≠0，得a ＞ -4且a≠0。
【答案】(1)$k＞1$；(2)$\dfrac{9}{4}$；(3)$a＞-4$且$a≠0$
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，解题关键是准确区分“一元二次方程”与“方程”的表述，避免忽略二次项系数不为0的限制，第三问易遗漏a≠0的条件，需仔细审题。
【难度系数】0.6

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2+(2m+3)x+m+1=0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)当 $m$ 取最小整数时,求方程的根.

(1)
∵一元二次方程$mx^2+(2m+3)x+m+1=0$有两个不相等的实数根,
∴Δ=$(2m+3)^2-4m(m+1)=8m+9＞0$且$m≠0$,解得$m＞-\dfrac{9}{8}$且$m≠0$.
(2)满足条件的$m$的值为-1,此时方程为$-x^2+x=0$,解得$x_1=0$,$x_2=1$.

【分析】
要解决这道题，需分两步思考：(1) 对于一元二次方程有两个不相等实数根，需满足两个条件：一是二次项系数不为0（保证是一元二次方程），二是判别式Δ＞0，据此计算m的取值范围；(2) 在(1)的m范围内找到最小整数，代入方程后用因式分解法求解方程的根。
【解析】
(1)
∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数m≠0。
又
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式Δ=(2m+3)² -4m(m+1)=4m²+12m+9-4m²-4m=8m+9＞0，
解不等式8m+9＞0得m＞-9/8，结合m≠0，故m的取值范围是m＞-9/8且m≠0。
(2) 在m＞-9/8且m≠0中，最小的整数为-1，将m=-1代入原方程得：
-x² + (2×(-1)+3)x + (-1)+1=0，化简得 -x² +x=0，
提取公因式得x(-x+1)=0，解得x₁=0，x₂=1。
【答案】
(1) m＞-9/8且m≠0；(2) x₁=0，x₂=1
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的核心性质，关键是牢记“一元二次方程有两个不相等实数根需满足二次项系数不为0且判别式大于0”，需注意隐含条件的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2-2kx+k^2-1=0$.
(1)若方程有一个根为 5,求 $k$ 的值.
(2)求证:不论 $k$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.

(1)将$x=5$代入$x^2-2kx+k^2-1=0$,整理,得$k^2-10k+24=0$,解得$k_1=4$,$k_2=6$,
∴$k$的值为4或6.
(2)证明:
∵Δ=$(-2k)^2-4(k^2-1)=4＞0$,
∴不论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.

【分析】
对于第(1)问，根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程可得到关于k的一元二次方程，解此方程即可求出k的值；对于第(2)问，利用一元二次方程根的判别式，计算判别式Δ，若Δ＞0，则方程总有两个不相等的实数根，化简判别式后判断其取值范围即可完成证明。
【解析】
(1) 将$x=5$代入方程$x^2-2kx+k^2-1=0$，得：
$5^2 - 2k×5 + k^2 -1 = 0$，
整理得：$k^2 -10k +24 =0$，
因式分解得：$(k-4)(k-6)=0$，
解得$k_1=4$，$k_2=6$，
∴k的值为4或6。
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
在方程$x^2-2kx+k^2-1=0$中，$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-1$，
则$\Delta = (-2k)^2 -4×1×(k^2-1) =4k^2 -4k^2 +4=4$，
∵$4＞0$，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1)k的值为4或6；(2)证明成立，不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程的根，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的根的定义及根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是掌握根的定义和判别式的计算方法，难度适中。
【难度系数】
0.6

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2ax+ab=\dfrac{1}{4}b^{2}+1$，其中 $a$、$b$ 满足 $2a-b=1$. 关于该方程根的情况,下列判断正确的是（）

A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

C 解析:整理方程$x^2-2ax+ab=\dfrac{1}{4}b^2+1$,得$x^2-2ax+ab-\dfrac{1}{4}b^2-1=0$,则Δ=$(-2a)^2-4(ab-\dfrac{1}{4}b^2-1)=4a^2-4ab+b^2+4=(2a-b)^2+4$.又
∵$2a-b=1$,
∴Δ=$1^2+4=5＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.

【分析】要判断一元二次方程根的情况，需先计算根的判别式Δ的值，根据Δ与0的大小关系确定根的情况。首先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再代入判别式公式计算，最后利用已知条件2a - b = 1对判别式化简，判断其正负即可得出结论。
【解析】先将原方程整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 2ax + ab - \frac{1}{4}b^2 - 1 = 0$
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，此处$A=1$，$B=-2a$，$C=ab - \frac{1}{4}b^2 -1$，代入得：
$\Delta = (-2a)^2 - 4×1×(ab - \frac{1}{4}b^2 -1)$
$=4a^2 - 4ab + b^2 + 4$
$=(2a - b)^2 + 4$
已知$2a - b =1$，代入上式得：
$\Delta = 1^2 +4=5＞0$
因为$\Delta＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，代数式化简求值
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是利用已知条件对判别式进行变形化简，属于基础题型，需注意判别式公式的正确应用和代数式的运算准确性。
【难度系数】0.6