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1. 计算:
(1)$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)-(2\sqrt{3}-1)^2$；
(2)$(π-1)^0+(\dfrac{1}{2})^{-1}+\vert5-\sqrt{27}\vert-\dfrac{1}{2}\sqrt{10^2-6^2}$。
(1)$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)-(2\sqrt{3}-1)^2$；
(2)$(π-1)^0+(\dfrac{1}{2})^{-1}+\vert5-\sqrt{27}\vert-\dfrac{1}{2}\sqrt{10^2-6^2}$。
答案
(1)原式$=-9+6\sqrt{3}$；
(2)原式$=3\sqrt{3}-6$。
(2)原式$=3\sqrt{3}-6$。
解析
【分析】
(1) 第一小问考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，解题思路如下：首先观察到原式前半部分是两个相同因式的乘积，可改写为完全平方形式，后半部分本身就是完全平方形式，先分别用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开两个式子，再去括号，最后合并同类二次根式和常数项即可，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
(2) 第二小问是实数的混合运算，需逐项计算：①非零数的0次幂等于1；②负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数；③绝对值化简要先判断内部的正负，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}＞5$，因此去绝对值后为$\sqrt{27}-5$；④先计算根号内的平方差，开方后再计算乘法，最后将所有项合并即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}+1)^2-(2\sqrt{3}-1)^2\\&=[(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×1+1^2]-[(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2]\\&=(3+2\sqrt{3}+1)-(12-4\sqrt{3}+1)\\&=(4+2\sqrt{3})-(13-4\sqrt{3})\\&=4+2\sqrt{3}-13+4\sqrt{3}\\&=-9+6\sqrt{3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+2+(\sqrt{27}-5)-\frac{1}{2}\sqrt{10^2-6^2}\\&=3+3\sqrt{3}-5-\frac{1}{2}\sqrt{64}\\&=3\sqrt{3}-2-\frac{1}{2}×8\\&=3\sqrt{3}-2-4\\&=3\sqrt{3}-6\end{aligned}$
【答案】
(1)$-9+6\sqrt{3}$；(2)$3\sqrt{3}-6$
【知识点】
二次根式混合运算、完全平方公式、零/负指数幂运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的常规题型，综合了多个基础运算考点，计算时要注意公式正确使用、去括号符号变化、二次根式化简为最简形式，熟练掌握基础运算规则是正确解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，解题思路如下：首先观察到原式前半部分是两个相同因式的乘积，可改写为完全平方形式，后半部分本身就是完全平方形式，先分别用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开两个式子，再去括号，最后合并同类二次根式和常数项即可，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
(2) 第二小问是实数的混合运算，需逐项计算：①非零数的0次幂等于1；②负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数；③绝对值化简要先判断内部的正负，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}＞5$，因此去绝对值后为$\sqrt{27}-5$；④先计算根号内的平方差，开方后再计算乘法，最后将所有项合并即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}+1)^2-(2\sqrt{3}-1)^2\\&=[(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×1+1^2]-[(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2]\\&=(3+2\sqrt{3}+1)-(12-4\sqrt{3}+1)\\&=(4+2\sqrt{3})-(13-4\sqrt{3})\\&=4+2\sqrt{3}-13+4\sqrt{3}\\&=-9+6\sqrt{3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+2+(\sqrt{27}-5)-\frac{1}{2}\sqrt{10^2-6^2}\\&=3+3\sqrt{3}-5-\frac{1}{2}\sqrt{64}\\&=3\sqrt{3}-2-\frac{1}{2}×8\\&=3\sqrt{3}-2-4\\&=3\sqrt{3}-6\end{aligned}$
【答案】
(1)$-9+6\sqrt{3}$；(2)$3\sqrt{3}-6$
【知识点】
二次根式混合运算、完全平方公式、零/负指数幂运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的常规题型，综合了多个基础运算考点，计算时要注意公式正确使用、去括号符号变化、二次根式化简为最简形式，熟练掌握基础运算规则是正确解题的核心。
【难度系数】
0.7
2. 已知$x=2-\sqrt{3}$，求代数式$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$的值.
答案
$\because x=2-\sqrt{3}$,
$\therefore x^2=7-4\sqrt{3}$,
$\therefore (7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=(7+4\sqrt{3})×(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}$
$=49-48+4-3+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
$\therefore x^2=7-4\sqrt{3}$,
$\therefore (7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=(7+4\sqrt{3})×(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}$
$=49-48+4-3+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题时不要直接将x代入原式硬算，首先观察到代数式中第一项的系数为$7+4\sqrt{3}$，我们可以先利用完全平方公式计算出$x^2$的值，会发现$x^2=7-4\sqrt{3}$，和$7+4\sqrt{3}$互为有理化因式，二者相乘可利用平方差公式得到整数；同理第二项的系数$2+\sqrt{3}$和$x=2-\sqrt{3}$也满足平方差公式的形式，代入后可快速简化计算，大幅降低运算量。
【解析】
解：$\because x=2-\sqrt{3}$
$\therefore x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$
将$x=2-\sqrt{3}$、$x^2=7-4\sqrt{3}$代入代数式得：
$\begin{aligned}原式&=(7+4\sqrt{3})×(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}\\&=7^2-(4\sqrt{3})^2 + 2^2-(\sqrt{3})^2 +\sqrt{3}\\&=49-48 + 4-3 +\sqrt{3}\\&=1+1+\sqrt{3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常考题型，解题的核心是灵活运用乘法公式简化运算，避免直接代入展开带来的复杂计算，熟练掌握乘法公式在二次根式运算中的应用能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.6
本题是二次根式的化简求值题，解题时不要直接将x代入原式硬算，首先观察到代数式中第一项的系数为$7+4\sqrt{3}$，我们可以先利用完全平方公式计算出$x^2$的值，会发现$x^2=7-4\sqrt{3}$，和$7+4\sqrt{3}$互为有理化因式，二者相乘可利用平方差公式得到整数；同理第二项的系数$2+\sqrt{3}$和$x=2-\sqrt{3}$也满足平方差公式的形式，代入后可快速简化计算，大幅降低运算量。
【解析】
解：$\because x=2-\sqrt{3}$
$\therefore x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$
将$x=2-\sqrt{3}$、$x^2=7-4\sqrt{3}$代入代数式得：
$\begin{aligned}原式&=(7+4\sqrt{3})×(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}\\&=7^2-(4\sqrt{3})^2 + 2^2-(\sqrt{3})^2 +\sqrt{3}\\&=49-48 + 4-3 +\sqrt{3}\\&=1+1+\sqrt{3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常考题型，解题的核心是灵活运用乘法公式简化运算，避免直接代入展开带来的复杂计算，熟练掌握乘法公式在二次根式运算中的应用能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.6
3. 已知$x+y=-2,xy=3$,求代数式$\sqrt{\dfrac{y}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{y}}$的值.
答案
$\because x+y=-2,xy=3$,
$\therefore x＜0,y＜0$。
$\therefore$原式$=\frac{\sqrt{y^2}+\sqrt{x^2}}{\sqrt{xy}}=\frac{-y-x}{\sqrt{xy}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore x＜0,y＜0$。
$\therefore$原式$=\frac{\sqrt{y^2}+\sqrt{x^2}}{\sqrt{xy}}=\frac{-y-x}{\sqrt{xy}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
解题时首先要结合二次根式有意义的条件判断字母的符号：被开方数必须为非负数，由已知$xy=3＞0$可得$x$、$y$同号，再结合$x+y=-2＜0$，可推出$x$、$y$均为负数，避免后续化简时出现符号错误。接下来将待求的两个二次根式通分，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号，再代入已知数值计算，最后做分母有理化即可得到结果。
【解析】
$\because x+y=-2＜0，xy=3＞0$
$\therefore x、y$均为负数，即$x＜0，y＜0$
$\therefore \sqrt{\dfrac{y}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{xy}}=\dfrac{|y|+|x|}{\sqrt{xy}}$
$\because x＜0,y＜0，\therefore |x|=-x，|y|=-y$
$\therefore 原式=\dfrac{-y -x}{\sqrt{xy}}=\dfrac{-(x+y)}{\sqrt{xy}}$
把$x+y=-2，xy=3$代入得：
原式$=\dfrac{-(-2)}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题的易错点是未先判断$x$、$y$的符号，直接将$\sqrt{\dfrac{y}{x}}$化简为$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$，忽略负数没有平方根的规则导致错误。解题时需先根据已知条件确定字母的符号，再结合二次根式的性质正确化简计算，最后注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6
解题时首先要结合二次根式有意义的条件判断字母的符号：被开方数必须为非负数，由已知$xy=3＞0$可得$x$、$y$同号，再结合$x+y=-2＜0$，可推出$x$、$y$均为负数，避免后续化简时出现符号错误。接下来将待求的两个二次根式通分，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号，再代入已知数值计算，最后做分母有理化即可得到结果。
【解析】
$\because x+y=-2＜0，xy=3＞0$
$\therefore x、y$均为负数，即$x＜0，y＜0$
$\therefore \sqrt{\dfrac{y}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{xy}}=\dfrac{|y|+|x|}{\sqrt{xy}}$
$\because x＜0,y＜0，\therefore |x|=-x，|y|=-y$
$\therefore 原式=\dfrac{-y -x}{\sqrt{xy}}=\dfrac{-(x+y)}{\sqrt{xy}}$
把$x+y=-2，xy=3$代入得：
原式$=\dfrac{-(-2)}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题的易错点是未先判断$x$、$y$的符号，直接将$\sqrt{\dfrac{y}{x}}$化简为$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$，忽略负数没有平方根的规则导致错误。解题时需先根据已知条件确定字母的符号，再结合二次根式的性质正确化简计算，最后注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6
[归纳一般结论]观察并总结规律：
$\because (\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=1,\therefore \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}.$
$\because (\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,\therefore \sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.$
$\because (2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})=1,\therefore 2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}.$
利用此规律，计算：
(1)$(\sqrt{2\,024}+\sqrt{2\,023})×(\sqrt{2\,024}-\sqrt{2\,023})$；
(2)用含$n$的式子($n$为自然数)表示其规律.
$\because (\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=1,\therefore \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}.$
$\because (\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,\therefore \sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.$
$\because (2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})=1,\therefore 2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}.$
利用此规律，计算：
(1)$(\sqrt{2\,024}+\sqrt{2\,023})×(\sqrt{2\,024}-\sqrt{2\,023})$；
(2)用含$n$的式子($n$为自然数)表示其规律.
答案
(1)$(\sqrt{2\,024}+\sqrt{2\,023})×(\sqrt{2\,024}-\sqrt{2\,023})=1$。
(2)$\because (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=1$,
$\therefore \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$。
(2)$\because (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=1$,
$\therefore \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$。
解析
【分析】
我们可以结合已知给出的示例思路解题：1. 第(1)问的式子是两个数的和乘这两个数的差，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可；2. 第(2)问是规律归纳，把示例中的具体数值替换成含自然数$n$的代数式，用和第(1)问相同的方法推导，就能得到通用规律。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})×(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})&=(\sqrt{2024})^2 - (\sqrt{2023})^2\\&=2024 - 2023\\&=1\end{aligned}$
(2) 设$n$为自然数，类比上述计算过程推导：
$\begin{aligned}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})&=(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2\\&=(n+1)-n\\&=1\end{aligned}$
将等式两边同时除以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，可得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
【答案】
(1)$(\sqrt{2\,024}+\sqrt{2\,023})×(\sqrt{2\,024}-\sqrt{2\,023})=1$；
(2)$\because (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=1$,$\therefore \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
【知识点】
平方差公式，二次根式运算，规律归纳
【点评】
本题侧重考查乘法公式在二次根式运算中的应用，以及从特殊实例归纳一般规律的能力，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，整体难度较低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
我们可以结合已知给出的示例思路解题：1. 第(1)问的式子是两个数的和乘这两个数的差，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可；2. 第(2)问是规律归纳，把示例中的具体数值替换成含自然数$n$的代数式，用和第(1)问相同的方法推导，就能得到通用规律。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})×(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})&=(\sqrt{2024})^2 - (\sqrt{2023})^2\\&=2024 - 2023\\&=1\end{aligned}$
(2) 设$n$为自然数，类比上述计算过程推导：
$\begin{aligned}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})&=(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2\\&=(n+1)-n\\&=1\end{aligned}$
将等式两边同时除以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，可得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
【答案】
(1)$(\sqrt{2\,024}+\sqrt{2\,023})×(\sqrt{2\,024}-\sqrt{2\,023})=1$；
(2)$\because (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=1$,$\therefore \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
【知识点】
平方差公式，二次根式运算，规律归纳
【点评】
本题侧重考查乘法公式在二次根式运算中的应用，以及从特殊实例归纳一般规律的能力，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，整体难度较低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
