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1. 计算:
(1)$(\sqrt{8} × \sqrt{3} - \sqrt{12}) ÷ \sqrt{6}$；
(2)$4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ (-6) × \frac{1}{3}\sqrt{12}$；
(3)$(\sqrt{2026} - π)^0 - \frac{\sqrt{8} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + (-1)^{2026} + |1 - \sqrt{2}|$；
(4)$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026} × (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2025}$。
(1)$(\sqrt{8} × \sqrt{3} - \sqrt{12}) ÷ \sqrt{6}$；
(2)$4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ (-6) × \frac{1}{3}\sqrt{12}$；
(3)$(\sqrt{2026} - π)^0 - \frac{\sqrt{8} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + (-1)^{2026} + |1 - \sqrt{2}|$；
(4)$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026} × (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2025}$。
答案
(1)原式$=2-\sqrt{2}$；(2)原式$=-\dfrac{2\sqrt{6}}{9}$；(3)原式$=\sqrt{2}$；(4)原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
这是一组二次根式的混合运算题，解题时遵循先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序，有括号先算括号内的内容。解题思路：①先将各二次根式化为最简二次根式；②优先处理特殊运算：非零数的零次幂等于1，负数的偶次幂为正，去绝对值前先判断绝对值内式子的正负；③乘除运算可将系数和二次根式分别计算，高次幂运算可利用积的乘方逆运算、平方差公式简化计算，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先计算括号内的二次根式乘法，再做除法：
原式$=(\sqrt{24} - \sqrt{12}) ÷ \sqrt{6} = (2\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) ÷ \sqrt{6}$
$=2\sqrt{6} ÷ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} ÷ \sqrt{6}$
$=2 - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2 - \sqrt{2}$
(2) 将系数和二次根式分别运算，注意符号：
原式$=4\sqrt{\frac{1}{2}} × (-\frac{1}{6}) × \frac{1}{3}\sqrt{12}$
$=[4 × (-\frac{1}{6}) × \frac{1}{3}] × (\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12})$
$=(-\frac{2}{9}) × \sqrt{6} = -\frac{2\sqrt{6}}{9}$
(3) 分别计算各特殊项，再合并：
$\because \sqrt{2026} - π ≠ 0$，$\therefore (\sqrt{2026} - π)^0 =1$
$\frac{\sqrt{8} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} -1 =2-1=1$
$(-1)^{2026}=1$，$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
原式$=1 - 1 + 1 + (\sqrt{2} -1) = \sqrt{2}$
(4) 先去绝对值，再利用积的乘方逆运算简化高次幂：
$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026} × (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2025}$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × [(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})]^{2025}$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × (3-2)^{2025} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
原式$=(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$-\dfrac{2\sqrt{6}}{9}$；(3)$\sqrt{2}$；(4)$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，零指数幂运算，绝对值化简
【点评】
本组题目侧重考查二次根式相关的综合运算能力，解题时要严格遵循运算顺序，灵活运用运算性质简化计算，需注意零指数幂的底数不为0、去绝对值前先判断正负，高次幂运算可借助乘法公式降次，计算过程中要注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.6
这是一组二次根式的混合运算题，解题时遵循先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序，有括号先算括号内的内容。解题思路：①先将各二次根式化为最简二次根式；②优先处理特殊运算：非零数的零次幂等于1，负数的偶次幂为正，去绝对值前先判断绝对值内式子的正负；③乘除运算可将系数和二次根式分别计算，高次幂运算可利用积的乘方逆运算、平方差公式简化计算，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先计算括号内的二次根式乘法，再做除法：
原式$=(\sqrt{24} - \sqrt{12}) ÷ \sqrt{6} = (2\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) ÷ \sqrt{6}$
$=2\sqrt{6} ÷ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} ÷ \sqrt{6}$
$=2 - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2 - \sqrt{2}$
(2) 将系数和二次根式分别运算，注意符号：
原式$=4\sqrt{\frac{1}{2}} × (-\frac{1}{6}) × \frac{1}{3}\sqrt{12}$
$=[4 × (-\frac{1}{6}) × \frac{1}{3}] × (\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12})$
$=(-\frac{2}{9}) × \sqrt{6} = -\frac{2\sqrt{6}}{9}$
(3) 分别计算各特殊项，再合并：
$\because \sqrt{2026} - π ≠ 0$，$\therefore (\sqrt{2026} - π)^0 =1$
$\frac{\sqrt{8} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} -1 =2-1=1$
$(-1)^{2026}=1$，$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
原式$=1 - 1 + 1 + (\sqrt{2} -1) = \sqrt{2}$
(4) 先去绝对值，再利用积的乘方逆运算简化高次幂：
$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026} × (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2025}$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × [(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})]^{2025}$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × (3-2)^{2025} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
原式$=(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$2-\sqrt{2}$；(2)$-\dfrac{2\sqrt{6}}{9}$；(3)$\sqrt{2}$；(4)$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，零指数幂运算，绝对值化简
【点评】
本组题目侧重考查二次根式相关的综合运算能力，解题时要严格遵循运算顺序，灵活运用运算性质简化计算，需注意零指数幂的底数不为0、去绝对值前先判断正负，高次幂运算可借助乘法公式降次，计算过程中要注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.6
2. 新考法 过程纠错改错 阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程.
化简：$\sqrt{-a^3} - a^2 · \sqrt{-\dfrac{1}{a}} + \sqrt{a^2} \ (a＜0)$.
解：原式$=a\sqrt{-a} - a^2 · \dfrac{1}{a} · \sqrt{-a} + a = a\sqrt{-a} - a\sqrt{-a} + a = a$.
化简：$\sqrt{-a^3} - a^2 · \sqrt{-\dfrac{1}{a}} + \sqrt{a^2} \ (a＜0)$.
解：原式$=a\sqrt{-a} - a^2 · \dfrac{1}{a} · \sqrt{-a} + a = a\sqrt{-a} - a\sqrt{-a} + a = a$.
答案
错误，正确的过程如下：
原式$=-a\sqrt{-a} - a^2 · (-\dfrac{\sqrt{-a}}{a}) - a = -a$.
原式$=-a\sqrt{-a} - a^2 · (-\dfrac{\sqrt{-a}}{a}) - a = -a$.
解析
【分析】
解题前首先明确已知条件$a＜0$，二次根式化简需遵循两个核心规则：一是被开方数必须为非负数，二是$\sqrt{x^2}=|x|$，开方结果为非负数。原解答的错误根源是忽略$a＜0$的取值，化简二次根式时直接去掉根号未加绝对值处理，导致符号全部错误。解题思路为：先逐个化简原式中的三个二次根式，每一步开根号都结合$a＜0$的条件把绝对值转化为相反数，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：原解答错误，正确解答如下：
$\because a＜0$，
$\therefore$逐项化简：
①$\sqrt{-a^3}=\sqrt{a^2·(-a)}=|a|\sqrt{-a}=-a\sqrt{-a}$；
②$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{\sqrt{-a}}{a}$，因此$-a^2·\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-a^2·(-\dfrac{\sqrt{-a}}{a})=a\sqrt{-a}$；
③$\sqrt{a^2}=|a|=-a$。
将三项代入原式得：
原式$=-a\sqrt{-a} + a\sqrt{-a} - a = -a$。
【答案】
原解答错误，正确化简结果为$\boldsymbol{-a}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简的易错题型，核心易错点是忽略给定的字母取值范围，直接对根号下的平方项开方导致符号错误。解题时要牢记$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，结合字母的正负性正确去绝对值，再进行运算。
【难度系数】
0.5
解题前首先明确已知条件$a＜0$，二次根式化简需遵循两个核心规则：一是被开方数必须为非负数，二是$\sqrt{x^2}=|x|$，开方结果为非负数。原解答的错误根源是忽略$a＜0$的取值，化简二次根式时直接去掉根号未加绝对值处理，导致符号全部错误。解题思路为：先逐个化简原式中的三个二次根式，每一步开根号都结合$a＜0$的条件把绝对值转化为相反数，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：原解答错误，正确解答如下：
$\because a＜0$，
$\therefore$逐项化简：
①$\sqrt{-a^3}=\sqrt{a^2·(-a)}=|a|\sqrt{-a}=-a\sqrt{-a}$；
②$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{\sqrt{-a}}{a}$，因此$-a^2·\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-a^2·(-\dfrac{\sqrt{-a}}{a})=a\sqrt{-a}$；
③$\sqrt{a^2}=|a|=-a$。
将三项代入原式得：
原式$=-a\sqrt{-a} + a\sqrt{-a} - a = -a$。
【答案】
原解答错误，正确化简结果为$\boldsymbol{-a}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简的易错题型，核心易错点是忽略给定的字母取值范围，直接对根号下的平方项开方导致符号错误。解题时要牢记$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，结合字母的正负性正确去绝对值，再进行运算。
【难度系数】
0.5
