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7.如图
,已知∠AOB=30°,∠AOD=150°,OC⊥OA,点A记作(3,0°),点B记作(2,30°),点C记作(5,90°),照此规律,点D可记作
,已知∠AOB=30°,∠AOD=150°,OC⊥OA,点A记作(3,0°),点B记作(2,30°),点C记作(5,90°),照此规律,点D可记作(4,150°)
。答案
7.(4,150°)
解析
【分析】
解题首先要明确题目给出的点的记法规则，观察已知的三个点的坐标和对应位置：①坐标第一个数是点到圆心O的距离，对应所在同心圆的刻度值，比如点A在刻度3的圆上，第一个数就是3；②坐标第二个数是点与O的连线和射线OA（0°方向）的逆时针夹角，比如点B和OA夹角30°，第二个数就是30°。接下来分别确定点D到O的距离、OD与OA的夹角，就能写出点D的坐标。
【解析】
1. 总结坐标表示规则：由已知点的记法可知，点的坐标形式为$\boldsymbol{(\mathrm{到圆心}O\mathrm{的距离}, \mathrm{该点与}O\mathrm{的连线和}OA\mathrm{的夹角})}$。
2. 确定点D的第一个参数：观察同心圆刻度，点D位于刻度为4的同心圆上，所以第一个数值为4。
3. 确定点D的第二个参数：题目已知$∠ AOD=150°$，所以第二个角度数值为$150°$。
综上，点D可记作$(4,150°)$。
【答案】
$(4,150°)$
【知识点】
新定义坐标，角的度量
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是先从已知示例中提炼出坐标的表示规则，再结合图形特征和已知条件求解即可，侧重考查信息提取与应用能力。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确题目给出的点的记法规则，观察已知的三个点的坐标和对应位置：①坐标第一个数是点到圆心O的距离，对应所在同心圆的刻度值，比如点A在刻度3的圆上，第一个数就是3；②坐标第二个数是点与O的连线和射线OA（0°方向）的逆时针夹角，比如点B和OA夹角30°，第二个数就是30°。接下来分别确定点D到O的距离、OD与OA的夹角，就能写出点D的坐标。
【解析】
1. 总结坐标表示规则：由已知点的记法可知，点的坐标形式为$\boldsymbol{(\mathrm{到圆心}O\mathrm{的距离}, \mathrm{该点与}O\mathrm{的连线和}OA\mathrm{的夹角})}$。
2. 确定点D的第一个参数：观察同心圆刻度，点D位于刻度为4的同心圆上，所以第一个数值为4。
3. 确定点D的第二个参数：题目已知$∠ AOD=150°$，所以第二个角度数值为$150°$。
综上，点D可记作$(4,150°)$。
【答案】
$(4,150°)$
【知识点】
新定义坐标，角的度量
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是先从已知示例中提炼出坐标的表示规则，再结合图形特征和已知条件求解即可，侧重考查信息提取与应用能力。
【难度系数】
0.8
8.若点$M(a,b)$，且$ab＜0$，$b＞0$，则点$M$位于第
二
象限。答案
8.二
解析
【分析】
解题时先利用有理数乘法的符号规律判断a的正负，再结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，确定点M的位置。第一步：回忆有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，由ab＜0可知a和b符号相反，结合已知b＞0就能推出a的符号；第二步：熟记各象限内点的坐标符号特点，将a、b的符号对应匹配，即可得到答案。
【解析】
解：
∵ab＜0，根据有理数乘法“异号相乘得负”的法则，可知a与b符号相反，
又
∵b＞0，
∴a＜0，
则点M(a,b)的横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点M位于第二象限。
【答案】
二
【知识点】
有理数乘法符号法则；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，结合有理数符号判断和象限坐标特点考察，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先利用有理数乘法的符号规律判断a的正负，再结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，确定点M的位置。第一步：回忆有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，由ab＜0可知a和b符号相反，结合已知b＞0就能推出a的符号；第二步：熟记各象限内点的坐标符号特点，将a、b的符号对应匹配，即可得到答案。
【解析】
解：
∵ab＜0，根据有理数乘法“异号相乘得负”的法则，可知a与b符号相反，
又
∵b＞0，
∴a＜0，
则点M(a,b)的横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点M位于第二象限。
【答案】
二
【知识点】
有理数乘法符号法则；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，结合有理数符号判断和象限坐标特点考察，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
9. 已知点$P(2m+3, m-6)$，且点$P$到两坐标轴的距离相等，则点$P$的坐标为
(-15,-15)或(5,-5)
。答案
9.(-15,-15)或(5,-5)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确点到两坐标轴距离的含义：点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值。题目中点P到两坐标轴距离相等，说明横、纵坐标的绝对值相等，而绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数，因此分两种情况列方程求解m的值，再代入点P的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
∵ 点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且点P到两坐标轴的距离相等
∴ $|2m + 3| = |m - 6|$
分两种情况讨论：
1. 当$2m + 3 = m - 6$时，
移项得：$2m - m = -6 - 3$
解得：$m = -9$
将$m = -9$代入点P坐标：
横坐标：$2×(-9) + 3 = -15$，纵坐标：$-9 - 6 = -15$
此时点P坐标为$(-15, -15)$
2. 当$2m + 3 = -(m - 6)$时，
去括号得：$2m + 3 = -m + 6$
移项得：$2m + m = 6 - 3$
合并同类项得：$3m = 3$
解得：$m = 1$
将$m = 1$代入点P坐标：
横坐标：$2×1 + 3 = 5$，纵坐标：$1 - 6 = -5$
此时点P坐标为$(5, -5)$
【答案】
$(-15,-15)$或$(5,-5)$
【知识点】
点到坐标轴的距离、绝对值的性质、解一元一次方程
【点评】
本题易错点是容易忽略绝对值相等时两个数互为相反数的情况，导致漏解，解题时要注意分情况全面讨论，避免丢分。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确点到两坐标轴距离的含义：点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值。题目中点P到两坐标轴距离相等，说明横、纵坐标的绝对值相等，而绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数，因此分两种情况列方程求解m的值，再代入点P的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
∵ 点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且点P到两坐标轴的距离相等
∴ $|2m + 3| = |m - 6|$
分两种情况讨论：
1. 当$2m + 3 = m - 6$时，
移项得：$2m - m = -6 - 3$
解得：$m = -9$
将$m = -9$代入点P坐标：
横坐标：$2×(-9) + 3 = -15$，纵坐标：$-9 - 6 = -15$
此时点P坐标为$(-15, -15)$
2. 当$2m + 3 = -(m - 6)$时，
去括号得：$2m + 3 = -m + 6$
移项得：$2m + m = 6 - 3$
合并同类项得：$3m = 3$
解得：$m = 1$
将$m = 1$代入点P坐标：
横坐标：$2×1 + 3 = 5$，纵坐标：$1 - 6 = -5$
此时点P坐标为$(5, -5)$
【答案】
$(-15,-15)$或$(5,-5)$
【知识点】
点到坐标轴的距离、绝对值的性质、解一元一次方程
【点评】
本题易错点是容易忽略绝对值相等时两个数互为相反数的情况，导致漏解，解题时要注意分情况全面讨论，避免丢分。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10.已知四边形OACB的四个顶点分别是$O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0)$.在直角坐标系中画出这个四边形,并求这个四边形的面积.
10.已知四边形OACB的四个顶点分别是$O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0)$.在直角坐标系中画出这个四边形,并求这个四边形的面积.
答案
10.解:如图，先描点O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0),然后连线，
∴四边形OACB即为所求。
分别过点B,C作BD⊥x轴于点D,CE⊥x轴于点E，
∴$S_{四边形OACB}=S_{△OBD} + S_{梯形BCED} + S_{△ACE} = \frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}(6+8)×6+\frac{1}{2}×2×8=59$。
解析
【分析】
解决本题分两步：第一步先按各点坐标在坐标系中描点、连线得到所求四边形；第二步求面积，该四边形是不规则图形，没有直接的面积计算公式，因此采用割补法，过B、C向x轴作垂线，将四边形分割为我们学过的三角形、梯形这三类规则图形，分别计算各规则图形的面积后求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
1. 绘制四边形：在平面直角坐标系中依次描出$O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0)$四个点，顺次连接O、B、C、A，得到四边形OACB。
2. 作辅助线：分别过点B作$BD⊥x$轴于D，过点C作$CE⊥x$轴于E。
3. 分别计算各规则图形面积：
$△ OBD$的底$OD=3$，高$BD=6$，面积为$\frac{1}{2}×3×6=9$；
梯形$BCED$的上底$BD=6$，下底$CE=8$，高$DE=9-3=6$，面积为$\frac{1}{2}×(6+8)×6=42$；
$△ ACE$的底$EA=11-9=2$，高$CE=8$，面积为$\frac{1}{2}×2×8=8$。
4. 求和得四边形面积：将三个图形的面积相加，$9+42+8=59$。
【答案】
如图，先描点O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0),然后连线，
∴四边形OACB即为所求。
分别过点B,C作BD⊥x轴于点D,CE⊥x轴于点E，
∴$S_{四边形OACB}=S_{△OBD} + S_{梯形BCED} + S_{△ACE} = \frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}(6+8)×6+\frac{1}{2}×2×8=59$。
【知识点】
坐标系描点、割补法求面积、规则图形面积计算
【点评】
本题是坐标系中求不规则图形面积的典型题，核心解题思路是通过割补法将陌生的不规则图形转化为熟悉的规则图形，掌握三角形、梯形的面积公式即可顺利求解，该方法是平面直角坐标系中面积计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
解决本题分两步：第一步先按各点坐标在坐标系中描点、连线得到所求四边形；第二步求面积，该四边形是不规则图形，没有直接的面积计算公式，因此采用割补法，过B、C向x轴作垂线，将四边形分割为我们学过的三角形、梯形这三类规则图形，分别计算各规则图形的面积后求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
1. 绘制四边形：在平面直角坐标系中依次描出$O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0)$四个点，顺次连接O、B、C、A，得到四边形OACB。
2. 作辅助线：分别过点B作$BD⊥x$轴于D，过点C作$CE⊥x$轴于E。
3. 分别计算各规则图形面积：
$△ OBD$的底$OD=3$，高$BD=6$，面积为$\frac{1}{2}×3×6=9$；
梯形$BCED$的上底$BD=6$，下底$CE=8$，高$DE=9-3=6$，面积为$\frac{1}{2}×(6+8)×6=42$；
$△ ACE$的底$EA=11-9=2$，高$CE=8$，面积为$\frac{1}{2}×2×8=8$。
4. 求和得四边形面积：将三个图形的面积相加，$9+42+8=59$。
【答案】
如图，先描点O(0,0),B(3,6),C(9,8),A(11,0),然后连线，
∴四边形OACB即为所求。
分别过点B,C作BD⊥x轴于点D,CE⊥x轴于点E，
∴$S_{四边形OACB}=S_{△OBD} + S_{梯形BCED} + S_{△ACE} = \frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}(6+8)×6+\frac{1}{2}×2×8=59$。
【知识点】
坐标系描点、割补法求面积、规则图形面积计算
【点评】
本题是坐标系中求不规则图形面积的典型题，核心解题思路是通过割补法将陌生的不规则图形转化为熟悉的规则图形，掌握三角形、梯形的面积公式即可顺利求解，该方法是平面直角坐标系中面积计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
11.在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(2+a,2a-6)$.
(1)若点A在y轴上,求点A的坐标;
(2)若点$B(2,14)$,直线$AB// x$轴,求$a$的值;
(3)点C的坐标为$(4,b+1)$,若直线$AC// y$轴,且线段AC的长为5,求$b$的值及点C的坐标.
(1)若点A在y轴上,求点A的坐标;
(2)若点$B(2,14)$,直线$AB// x$轴,求$a$的值;
(3)点C的坐标为$(4,b+1)$,若直线$AC// y$轴,且线段AC的长为5,求$b$的值及点C的坐标.
答案
11.解:(1)由题意可得2+a=0,解得a=-2，
∴2a-6=-10，
∴A(0,-10)。
(2)
∵直线$AB// x$轴，
∴A,B两点的纵坐标相等，
即2a-6=14,解得a=10。
(3)
∵直线$AC// y$轴，
∴A,C两点的横坐标相等，
即2+a=4,解得a=2,
∴2a-6=-2，
∴点A的坐标为(4,-2)。
∵线段AC的长为5，
∴当点C在点A上方时,AC=b+1-(-2)=5，
解得b=2,此时点C的坐标为(4,3)；
当点C在点A下方时,AC=-2-(b+1)=5,解得b=-8,此时点C的坐标为(4,-7)。
综上所述,当b的值为2时,点C的坐标为(4,3)；当b的值为-8时,点C的坐标为(4,-7)。
∴2a-6=-10，
∴A(0,-10)。
(2)
∵直线$AB// x$轴，
∴A,B两点的纵坐标相等，
即2a-6=14,解得a=10。
(3)
∵直线$AC// y$轴，
∴A,C两点的横坐标相等，
即2+a=4,解得a=2,
∴2a-6=-2，
∴点A的坐标为(4,-2)。
∵线段AC的长为5，
∴当点C在点A上方时,AC=b+1-(-2)=5，
解得b=2,此时点C的坐标为(4,3)；
当点C在点A下方时,AC=-2-(b+1)=5,解得b=-8,此时点C的坐标为(4,-7)。
综上所述,当b的值为2时,点C的坐标为(4,3)；当b的值为-8时,点C的坐标为(4,-7)。
解析
【分析】
本题可根据平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征逐步求解：
(1) y轴上的点横坐标为0，据此列方程求出a的值，再代入计算点A的纵坐标即可得到点A的坐标；
(2) 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，令点A、B的纵坐标相等列方程，即可求出a的值；
(3) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，先令点A、C的横坐标相等求出a的值，得到点A的坐标；再结合线段AC长度为5，分点C在点A上方、点C在点A下方两种情况，根据纵坐标的差计算b的值，进而得到点C的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点A在y轴上，y轴上点的横坐标为0，
∴2+a=0，解得a=-2，
将a=-2代入2a-6得：2×(-2)-6=-10，
∴点A的坐标为(0,-10)。
(2)
∵直线$AB// x$轴，平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，
∴点A与点B的纵坐标相等，即$2a-6=14$，
解得$a=10$。
(3)
∵直线$AC// y$轴，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，
∴点A与点C的横坐标相等，即$2+a=4$，解得$a=2$，
将a=2代入2a-6得：$2×2-6=-2$，
∴点A的坐标为$(4,-2)$。
∵线段AC的长为5，
当点C在点A上方时：$b+1 - (-2)=5$，解得$b=2$，此时点C的坐标为$(4,2+1)$即$(4,3)$；
当点C在点A下方时：$-2 - (b+1)=5$，解得$b=-8$，此时点C的坐标为$(4,-8+1)$即$(4,-7)$。
综上所述，b的值为2或-8，对应的点C坐标为$(4,3)$或$(4,-7)$。
【答案】
(1) $(0,-10)$
(2) $a=10$
(3) 当$b=2$时，点C坐标为$(4,3)$；当$b=-8$时，点C坐标为$(4,-7)$
【知识点】
坐标轴上点的特征；平行于坐标轴的直线性质；两点距离计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，整体难度适中，前两问侧重基础性质的直接应用，第三问需要结合点的相对位置分类讨论，是平面直角坐标系的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可根据平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征逐步求解：
(1) y轴上的点横坐标为0，据此列方程求出a的值，再代入计算点A的纵坐标即可得到点A的坐标；
(2) 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，令点A、B的纵坐标相等列方程，即可求出a的值；
(3) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，先令点A、C的横坐标相等求出a的值，得到点A的坐标；再结合线段AC长度为5，分点C在点A上方、点C在点A下方两种情况，根据纵坐标的差计算b的值，进而得到点C的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点A在y轴上，y轴上点的横坐标为0，
∴2+a=0，解得a=-2，
将a=-2代入2a-6得：2×(-2)-6=-10，
∴点A的坐标为(0,-10)。
(2)
∵直线$AB// x$轴，平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，
∴点A与点B的纵坐标相等，即$2a-6=14$，
解得$a=10$。
(3)
∵直线$AC// y$轴，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，
∴点A与点C的横坐标相等，即$2+a=4$，解得$a=2$，
将a=2代入2a-6得：$2×2-6=-2$，
∴点A的坐标为$(4,-2)$。
∵线段AC的长为5，
当点C在点A上方时：$b+1 - (-2)=5$，解得$b=2$，此时点C的坐标为$(4,2+1)$即$(4,3)$；
当点C在点A下方时：$-2 - (b+1)=5$，解得$b=-8$，此时点C的坐标为$(4,-8+1)$即$(4,-7)$。
综上所述，b的值为2或-8，对应的点C坐标为$(4,3)$或$(4,-7)$。
【答案】
(1) $(0,-10)$
(2) $a=10$
(3) 当$b=2$时，点C坐标为$(4,3)$；当$b=-8$时，点C坐标为$(4,-7)$
【知识点】
坐标轴上点的特征；平行于坐标轴的直线性质；两点距离计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，整体难度适中，前两问侧重基础性质的直接应用，第三问需要结合点的相对位置分类讨论，是平面直角坐标系的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
