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1. (2024·湖州市德清县期末)某商店4月份购进一批T恤衫,进价合计3 200元。由于该T恤衫十分畅销,商店于5月份又购进一批同品牌的T恤衫,进价合计6 800元,数量是4月份的2倍,但每件进价涨了2.5元。
(1)求该商店4月份购进T恤衫多少件。
(2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售,到6月初,该商店把剩下的40件打九折出售,很快售完,求该商店共获毛利润(销售收入减去进价总计)多少元。
(1)求该商店4月份购进T恤衫多少件。
(2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售,到6月初,该商店把剩下的40件打九折出售,很快售完,求该商店共获毛利润(销售收入减去进价总计)多少元。
答案
(1)解:设该商店4月份购进T恤衫x件,则5月份购进了2x件。由题意,得$\frac{3200}{x}=\frac{6800}{2x}-2.5$,解得x=80。经检验,x=80是分式方程的解,且符合题意。答:该商店4月份购进T恤衫80件。
(2)解:由题意,得5月份购进T恤衫80×2=160(件),则毛利润为60×(80+160-40)+60×90%×40-3200-6800=4160(元)。答:该商店共获毛利润4160元。
(2)解:由题意,得5月份购进T恤衫80×2=160(件),则毛利润为60×(80+160-40)+60×90%×40-3200-6800=4160(元)。答:该商店共获毛利润4160元。
解析
【分析】
第(1)问需通过设未知数，利用两批T恤衫的进价差建立等量关系：设4月份购进x件，则5月份购进2x件，4月每件进价为$\frac{3200}{x}$元，5月每件进价为$\frac{6800}{2x}$元，根据“5月每件进价比4月多2.5元”列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问先算出两批总件数，再分别计算按60元出售的收入和打九折出售的收入，两者相加得总销售收入，最后用总销售收入减去两批总进价，即可得到毛利润。
【解析】
(1)设该商店4月份购进T恤衫$x$件，则5月份购进$2x$件。
根据题意，5月份每件进价比4月份多2.5元，可列方程：
$\frac{3200}{x} = \frac{6800}{2x} - 2.5$
解方程：
两边同乘$2x$消分母得：$6400 = 6800 - 5x$
移项得：$5x = 6800 - 6400 = 400$
解得：$x = 80$
经检验，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该商店4月份购进T恤衫80件。
(2)由(1)知，5月份购进T恤衫$2×80=160$件，两批总件数为$80+160=240$件。
总销售收入分为两部分：按60元出售的有$240-40=200$件，收入为$60×200$；打九折出售的40件，收入为$60×90\%×40$。
总销售收入 = $60×200 + 60×0.9×40 = 12000 + 2160 = 14160$元。
两批总进价为$3200 + 6800 = 10000$元。
毛利润 = 总销售收入 - 总进价 = $14160 - 10000 = 4160$元。
答：该商店共获毛利润4160元。
【答案】
(1)该商店4月份购进T恤衫80件；(2)该商店共获毛利润4160元。
【知识点】
分式方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是分式方程与销售利润的综合应用题，解题关键在于找准等量关系列方程，注意分式方程需检验解的合理性；利润计算需区分不同售价的销售部分，整体难度适中，考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5
第(1)问需通过设未知数，利用两批T恤衫的进价差建立等量关系：设4月份购进x件，则5月份购进2x件，4月每件进价为$\frac{3200}{x}$元，5月每件进价为$\frac{6800}{2x}$元，根据“5月每件进价比4月多2.5元”列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问先算出两批总件数，再分别计算按60元出售的收入和打九折出售的收入，两者相加得总销售收入，最后用总销售收入减去两批总进价，即可得到毛利润。
【解析】
(1)设该商店4月份购进T恤衫$x$件，则5月份购进$2x$件。
根据题意，5月份每件进价比4月份多2.5元，可列方程：
$\frac{3200}{x} = \frac{6800}{2x} - 2.5$
解方程：
两边同乘$2x$消分母得：$6400 = 6800 - 5x$
移项得：$5x = 6800 - 6400 = 400$
解得：$x = 80$
经检验，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该商店4月份购进T恤衫80件。
(2)由(1)知，5月份购进T恤衫$2×80=160$件，两批总件数为$80+160=240$件。
总销售收入分为两部分：按60元出售的有$240-40=200$件，收入为$60×200$；打九折出售的40件，收入为$60×90\%×40$。
总销售收入 = $60×200 + 60×0.9×40 = 12000 + 2160 = 14160$元。
两批总进价为$3200 + 6800 = 10000$元。
毛利润 = 总销售收入 - 总进价 = $14160 - 10000 = 4160$元。
答：该商店共获毛利润4160元。
【答案】
(1)该商店4月份购进T恤衫80件；(2)该商店共获毛利润4160元。
【知识点】
分式方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是分式方程与销售利润的综合应用题，解题关键在于找准等量关系列方程，注意分式方程需检验解的合理性；利润计算需区分不同售价的销售部分，整体难度适中，考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5
2. (2025·杭州市上城区期末)某水果店销售苹果的单价为8元/千克，梨的单价为6元/千克。
(1)小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的质量。
(2)水果店推出一种苹果与梨搭配销售的方式，若搭配方式由苹果$a$千克、梨$b$千克组成，则苹果的单价下降$2m$元/千克，梨的单价上涨$m$元/千克。
①用含$a,b,m$的代数式表示搭配销售的方式水果的平均单价为$\underline{\hspace{5cm}}$。
②按搭配销售的方式购买后，发现无论$m$为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售的方式中苹果的质量$a$的值。
(1)小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的质量。
(2)水果店推出一种苹果与梨搭配销售的方式，若搭配方式由苹果$a$千克、梨$b$千克组成，则苹果的单价下降$2m$元/千克，梨的单价上涨$m$元/千克。
①用含$a,b,m$的代数式表示搭配销售的方式水果的平均单价为$\underline{\hspace{5cm}}$。
②按搭配销售的方式购买后，发现无论$m$为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售的方式中苹果的质量$a$的值。
答案
(1)解:设小明购买苹果x千克,购买梨y千克。由题意,得$\begin{cases}8x + 6y = 44,\\x - y = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 2。\end{cases}$答:小明购买苹果4千克,购买梨2千克。
(2)①$\frac{8a + 6b - 2am + bm}{a + b}$元/千克 【解析】因为苹果的单价下降2m元/千克,梨的单价上涨m元/千克,所以此时苹果的单价为(8-2m)元/千克,梨的单价为(6+m)元/千克,所以搭配销售的方式水果的平均单价为$\frac{a(8-2m)+b(6+m)}{a + b}=\frac{8a + 6b - 2am + bm}{a + b}$元/千克。
②解:按搭配销售的方式购买,需要付款a(8-2m)+b(6+m)=8a+6b-2am+bm=[8a+6b+(b-2a)m]元。因为按搭配销售的方式购买后,发现无论m为何值,支付的金额始终与小明相同,所以b-2a=0,即b=2a,所以按搭配销售的方式购买,需要付款8a+6b=8a+6×2a=20a(元)。因为支付的金额始终与小明相同,所以20a=44,解得a=2.2。答:搭配销售的方式中苹果的质量a的值为2.2。
(2)①$\frac{8a + 6b - 2am + bm}{a + b}$元/千克 【解析】因为苹果的单价下降2m元/千克,梨的单价上涨m元/千克,所以此时苹果的单价为(8-2m)元/千克,梨的单价为(6+m)元/千克,所以搭配销售的方式水果的平均单价为$\frac{a(8-2m)+b(6+m)}{a + b}=\frac{8a + 6b - 2am + bm}{a + b}$元/千克。
②解:按搭配销售的方式购买,需要付款a(8-2m)+b(6+m)=8a+6b-2am+bm=[8a+6b+(b-2a)m]元。因为按搭配销售的方式购买后,发现无论m为何值,支付的金额始终与小明相同,所以b-2a=0,即b=2a,所以按搭配销售的方式购买,需要付款8a+6b=8a+6×2a=20a(元)。因为支付的金额始终与小明相同,所以20a=44,解得a=2.2。答:搭配销售的方式中苹果的质量a的值为2.2。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是二元一次方程组的实际应用，需通过设未知数，根据“总支付金额”和“苹果比梨多买2千克”两个等量关系列方程组求解；第(2)问①考查平均单价的计算，需用总售价除以总质量，结合搭配后单价的变化列式；②考查代数式的恒等性，需根据“无论m为何值支付金额不变”，得出含m项的系数为0，进而求解a的值。
【解析】
(1)设小明购买苹果$x$千克，购买梨$y$千克。
根据题意，得$\begin{cases}8x + 6y = 44 \\ x - y = 2\end{cases}$
由$x - y = 2$得$x = y + 2$，代入$8x + 6y = 44$：
$8(y + 2) + 6y = 44$
$8y + 16 + 6y = 44$
$14y = 28$，解得$y = 2$，则$x = 2 + 2 = 4$。
(2)① 搭配后苹果单价为$(8 - 2m)$元/千克，梨单价为$(6 + m)$元/千克，总售价为$a(8 - 2m) + b(6 + m) = 8a + 6b - 2am + bm$，总质量为$a + b$，因此平均单价为$\frac{8a + 6b - 2am + bm}{a + b}$元/千克。
② 搭配销售的付款金额为$8a + 6b - 2am + bm = 8a + 6b + (b - 2a)m$。
因为无论$m$为何值，支付金额始终为44元，所以含$m$的项系数为0，即$b - 2a = 0$，得$b = 2a$。
代入付款金额得：$8a + 6×2a = 20a$，由$20a = 44$，解得$a = 2.2$。
【答案】
(1)小明购买苹果4千克，梨2千克；
(2)①$\frac{8a +6b -2am +bm}{a+b}$元/千克；②$a=2.2$
【知识点】
二元一次方程组的应用、代数式的运算、恒等式的性质
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查二元一次方程组和代数式的相关知识，需准确提取等量关系，理解恒等式的特点，属于中等难度的期末应用题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是二元一次方程组的实际应用，需通过设未知数，根据“总支付金额”和“苹果比梨多买2千克”两个等量关系列方程组求解；第(2)问①考查平均单价的计算，需用总售价除以总质量，结合搭配后单价的变化列式；②考查代数式的恒等性，需根据“无论m为何值支付金额不变”，得出含m项的系数为0，进而求解a的值。
【解析】
(1)设小明购买苹果$x$千克，购买梨$y$千克。
根据题意，得$\begin{cases}8x + 6y = 44 \\ x - y = 2\end{cases}$
由$x - y = 2$得$x = y + 2$，代入$8x + 6y = 44$：
$8(y + 2) + 6y = 44$
$8y + 16 + 6y = 44$
$14y = 28$，解得$y = 2$，则$x = 2 + 2 = 4$。
(2)① 搭配后苹果单价为$(8 - 2m)$元/千克，梨单价为$(6 + m)$元/千克，总售价为$a(8 - 2m) + b(6 + m) = 8a + 6b - 2am + bm$，总质量为$a + b$，因此平均单价为$\frac{8a + 6b - 2am + bm}{a + b}$元/千克。
② 搭配销售的付款金额为$8a + 6b - 2am + bm = 8a + 6b + (b - 2a)m$。
因为无论$m$为何值，支付金额始终为44元，所以含$m$的项系数为0，即$b - 2a = 0$，得$b = 2a$。
代入付款金额得：$8a + 6×2a = 20a$，由$20a = 44$，解得$a = 2.2$。
【答案】
(1)小明购买苹果4千克，梨2千克；
(2)①$\frac{8a +6b -2am +bm}{a+b}$元/千克；②$a=2.2$
【知识点】
二元一次方程组的应用、代数式的运算、恒等式的性质
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查二元一次方程组和代数式的相关知识，需准确提取等量关系，理解恒等式的特点，属于中等难度的期末应用题。
【难度系数】
0.6
