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1[2026 河南南阳调研]在$△ ABC$中,若$AC^2 + AB^2 = BC^2$,则 (
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.不能确定哪个角是直角
A
)A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.不能确定哪个角是直角
答案
1. A 【解析】
∵ AC²+AB²=BC²,
∴ BC 为斜边,且∠A 对边是 BC,
∴ ∠A=90°. 故选 A.
∵ AC²+AB²=BC²,
∴ BC 为斜边,且∠A 对边是 BC,
∴ ∠A=90°. 故选 A.
2[2026江苏常州期中]如果梯子的底端离建筑物5 m，那么长13 m的梯子可以达到该建筑物的高度是（
A.11 m
B.12 m
C.13 m
D.14 m
B
）A.11 m
B.12 m
C.13 m
D.14 m
答案
2. B 【解析】设梯子可以达到建筑物的高度为 h m.
∵ 梯子长 13 m,底端离建筑物 5 m,
∴ 由勾股定理得 h²+5²=13²,
∴ h²=169−25=144,
∴ h=12. 故选 B.
∵ 梯子长 13 m,底端离建筑物 5 m,
∴ 由勾股定理得 h²+5²=13²,
∴ h²=169−25=144,
∴ h=12. 故选 B.
3 新素材[2026江苏苏州质检]
中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市开幕.中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计,既展现了中国古代数学的辉煌成就,又通过直观图形激发数学学习兴趣.如图所示的赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形构成的大正方形,大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边长(x＞y),下列四个说法:①$x^2+y^2=49$;②$x-y=2$;③$2xy+4=49$;④$x+y=9$,其中说法正确的是 (
A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市开幕.中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计,既展现了中国古代数学的辉煌成就,又通过直观图形激发数学学习兴趣.如图所示的赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形构成的大正方形,大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边长(x＞y),下列四个说法:①$x^2+y^2=49$;②$x-y=2$;③$2xy+4=49$;④$x+y=9$,其中说法正确的是 (
B
)A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
答案
3. B 【解析】①
∵ 大正方形的面积是 49,
∴ 大正方形的边长是 7,
∴ 由勾股定理可得 x²+y²=7²=49,故①说法正确,符合题意. ②
∵ 小正方形的面积为 4,
∴ 小正方形的边长是 2,
∴ x=y+2,
∴ x−y=2,故②说法正确,符合题意. ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积,即 4×1/2 xy+4=49,化简得 2xy+4=49,故③说法正确,符合题意. ④
∵ 2xy+4=49,
∴ 2xy=45,
∴ (x+y)²=x²+y²+2xy=49+45=94,
∴ x+y=√94≠9,故④说法不正确,不符合题意. 综上所述,说法正确的是①②③. 故选 B.
∵ 大正方形的面积是 49,
∴ 大正方形的边长是 7,
∴ 由勾股定理可得 x²+y²=7²=49,故①说法正确,符合题意. ②
∵ 小正方形的面积为 4,
∴ 小正方形的边长是 2,
∴ x=y+2,
∴ x−y=2,故②说法正确,符合题意. ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积,即 4×1/2 xy+4=49,化简得 2xy+4=49,故③说法正确,符合题意. ④
∵ 2xy+4=49,
∴ 2xy=45,
∴ (x+y)²=x²+y²+2xy=49+45=94,
∴ x+y=√94≠9,故④说法不正确,不符合题意. 综上所述,说法正确的是①②③. 故选 B.
4[2025江苏连云港期末]如图，$∠ MON=90°$，已知$△ ABC$中，$AC=BC=10$，$AB=12$，$△ ABC$的顶点$A,B$分别在边$OM,ON$上，当点$B$在边$ON$上运动时，点$A$随之在边$OM$上运动，$△ ABC$的形状保持不变，在运动过程中，点$C$到点$O$的最大距离为（
A.$12.5$
B.$13$
C.$14$
D.$15$
（第4题图）
（第5题图）
C
）A.$12.5$
B.$13$
C.$14$
D.$15$
（第4题图）
（第5题图）
答案
4. C 【解析】取 AB 的中点 D,连接 CD,如图所示.
∵ AC=BC=10,AB=12,点 D 是 AB 边中点,
∴ BD=1/2 AB=6,CD ⊥ AB,
∴ CD=√(BC²−BD²)=√(10²−6²)=8. 连接 OD,OC,则 OC ≤ OD+DC,
∴ 当 O,D,C 三点共线时,OC 有最大值,最大值是 OD+CD. 又
∵ △AOB 为直角三角形,D 为斜边 AB 的中点,
∴ OD=1/2 AB=6,
∴ OD+CD=6+8=14,即点 C 到点 O 的最大距离为 14,故选 C.
5 如图, 在 $Rt △ ABC$ 和 $Rt △ BDE$ 中, $∠ ABC = ∠ BDE = 90°$, 点 A 是边 DE 的中点, 若 $AB=BC$, $DB=DE=2$, 连接 $CE$, 则 $CE^2$ 的值为 (
A.14
B.15
C.16
D.17
D
)A.14
B.15
C.16
D.17
答案
5. D 【解析】延长 ED 到 F,使得 DF = DE,连接 CF,BF,如图所示.
∵ BD = DE = 2,∠BDE = 90°,
∴ ∠BDE = ∠BDF = 90°,EF = 4. 又
∵ BD = BD,
∴ △BDE ≅ △BDF(SAS),
∴ BE = BF,易得 ∠BEA = ∠BFA = ∠EBD = ∠FBD = 45°,
∴ ∠EBF = 90°.
∵ ∠EBA+∠ABF = 90°,∠ABF+∠FBC = 90°,
∴ ∠EBA = ∠FBC.
∵ BE = BF,BA = BC,
∴ △EBA ≅ △FBC(SAS),
∴ ∠BEA = ∠BFC = 45°,AE = CF,
∴ ∠CFE = ∠BFC+∠AFB = 90°.
∵ 点 A 为 DE 的中点,
∴ AE = 1,
∴ CF = 1,
∴ EC² = EF²+CF² = 4²+1² = 17. 故选 D.
思路分析
延长 ED 到 F,使得 DF=DE,连接 CF,BF,然后根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理,即可求得 CE² 的值.
6[2026广东中山质检]已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的两直角边长分别是3,4,则$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边上的高是
2.4
.答案
6. 2.4 【解析】设 Rt△ABC 的斜边上的高为 h.
∵ Rt△ABC 的两直角边长分别是 3,4,
∴ 斜边=√(3²+4²)=5,
∴ 1/2×5h=1/2×3×4,
∴ h=2.4,
∴ Rt△ABC 的斜边上的高是 2.4. 故答案为 2.4.
方法总结
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长,再根据面积法求出斜边上的高.
∵ Rt△ABC 的两直角边长分别是 3,4,
∴ 斜边=√(3²+4²)=5,
∴ 1/2×5h=1/2×3×4,
∴ h=2.4,
∴ Rt△ABC 的斜边上的高是 2.4. 故答案为 2.4.
方法总结
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长,再根据面积法求出斜边上的高.
7[2025安徽阜阳期中]如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，相交于点O。若AB=3CD=6，则$AD^2 + BC^2 =$
40
。答案
7. 40 【解析】
∵ AB=3CD=6,
∴ CD=2.
∵ AC ⊥ BD,
∴ AD²+BC²=(AO²+DO²)+(BO²+CO²)=(AO²+BO²)+(DO²+CO²)=AB²+CD²=6²+2²=40. 故答案为 40.
∵ AB=3CD=6,
∴ CD=2.
∵ AC ⊥ BD,
∴ AD²+BC²=(AO²+DO²)+(BO²+CO²)=(AO²+BO²)+(DO²+CO²)=AB²+CD²=6²+2²=40. 故答案为 40.
8 如图，将$△ ABC$沿$AC$翻折得到$△ ADC$，$BD$交$AC$于点$E$，$F$为$CD$中点，连接$AF$并延长交$BC$的延长线于点$G$，连接$EF$，若$AB=15$，$AE=9$，$△ ADF$的面积为42，则$△ DEF$的面积为
（第8题图）
（第9题图）
15
。（第8题图）
（第9题图）
答案
8. 15 【解析】
∵ 将△ABC 沿 AC 翻折得到△ADC,
∴ AC ⊥ BD,BE = DE.
∵ AB = 15,AE = 9,
∴ BE² = DE² = AB²−AE² = 12²,
∴ BE = DE = 12.
∵ △ADF 的面积为 42,F 为 CD 中点,
∴ S△ACD=2S△ADF=2×42=84,
∴ 1/2 AC · DE = 84,
∴ AC = 14,
∴ CE = AC−AE = 5,
∴ S△CDE=2S△DEF=1/2 CE · DE = 1/2×5×12 = 30,
∴ △DEF 的面积为 15. 故答案为 15.
关键点拨
本题考查了折叠问题、勾股定理以及三角形面积的计算,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
∵ 将△ABC 沿 AC 翻折得到△ADC,
∴ AC ⊥ BD,BE = DE.
∵ AB = 15,AE = 9,
∴ BE² = DE² = AB²−AE² = 12²,
∴ BE = DE = 12.
∵ △ADF 的面积为 42,F 为 CD 中点,
∴ S△ACD=2S△ADF=2×42=84,
∴ 1/2 AC · DE = 84,
∴ AC = 14,
∴ CE = AC−AE = 5,
∴ S△CDE=2S△DEF=1/2 CE · DE = 1/2×5×12 = 30,
∴ △DEF 的面积为 15. 故答案为 15.
关键点拨
本题考查了折叠问题、勾股定理以及三角形面积的计算,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
9 如图,笔直的河流一侧有一营地 C,河边有两个漂流点 A,B,其中 AB=AC,由于周边施工,由 C到 A 的路 AC 现在已经不通,为方便游客通行,在河边新建一个漂流点 H(A,H,B 在同一直线上),并新修一条路 CH,测得 BC=10 千米,CH=8 千米,BH=6 千米,则原路 AC 的长为
8 1/3
千米.答案
9. 8 1/3 【解析】
∵ BC = 10 千米,CH = 8 千米,BH = 6 千米,
∴ CH²+BH²=8²+6²=100,BC²=100,
∴ CH²+BH²=BC²,
∴ △HBC 是直角三角形且∠CHB=90°. 设 AC=AB=x 千米,则 AH=AB−BH=(x−6) 千米. 在 Rt△ACH 中,由勾股定理得 AC²=AH²+CH²,
∴ x²=(x−6)²+8²,解得 x=8 1/3,故答案为 8 1/3.
∵ BC = 10 千米,CH = 8 千米,BH = 6 千米,
∴ CH²+BH²=8²+6²=100,BC²=100,
∴ CH²+BH²=BC²,
∴ △HBC 是直角三角形且∠CHB=90°. 设 AC=AB=x 千米,则 AH=AB−BH=(x−6) 千米. 在 Rt△ACH 中,由勾股定理得 AC²=AH²+CH²,
∴ x²=(x−6)²+8²,解得 x=8 1/3,故答案为 8 1/3.
10[2025山东青岛期末]在直角三角形纸片ABC中，$∠ A = 90°$，折叠纸片使得点A落在BC边上点D处，折痕是BE（如图(1)）。将纸片复原，再次折叠纸片，使得点B落在边AC上的点E处，折痕是MN（如图(2)）。若AB=6，AC=8，则CN的长为
25/4
。答案
10. 25/4 【解析】
∵ AB=6,AC=8,∠A=90°,
∴ BC=√(AB²+AC²)=10. 如题图(1),
∵ 折叠纸片使得点 A 落在 BC 边上点 D 处,折痕是 BE,
∴ AB=BD=6,AE=DE,∠BDE=∠A=90°,∠ABE=∠CBE,
∴ ∠CDE=90°,CD=BC−BD=4,
∴ DE²+CD²=CE²,
∴ AE²+4²=(8−AE)²,
∴ AE=3. 如题图(2),
∵ 折叠纸片,使得点 B 落在边 AC 上的点 E 处,折痕是 MN,
∴ BN=EN,
∴ ∠NBE=∠NEB.
∵ ∠ABE=∠CBE,
∴ ∠ABE=∠NEB,
∴ EN // AB,
∴ ∠CEN=∠A=90°,
∴ CN²=NE²+CE²,
∴ CN²=(10−CN)²+(8−3)²,
∴ CN=25/4,故答案为 25/4.
关键点拨
根据折叠的性质、平行线的判定和性质求出 ∠CEN = ∠A = 90°是解题的关键.
∵ AB=6,AC=8,∠A=90°,
∴ BC=√(AB²+AC²)=10. 如题图(1),
∵ 折叠纸片使得点 A 落在 BC 边上点 D 处,折痕是 BE,
∴ AB=BD=6,AE=DE,∠BDE=∠A=90°,∠ABE=∠CBE,
∴ ∠CDE=90°,CD=BC−BD=4,
∴ DE²+CD²=CE²,
∴ AE²+4²=(8−AE)²,
∴ AE=3. 如题图(2),
∵ 折叠纸片,使得点 B 落在边 AC 上的点 E 处,折痕是 MN,
∴ BN=EN,
∴ ∠NBE=∠NEB.
∵ ∠ABE=∠CBE,
∴ ∠ABE=∠NEB,
∴ EN // AB,
∴ ∠CEN=∠A=90°,
∴ CN²=NE²+CE²,
∴ CN²=(10−CN)²+(8−3)²,
∴ CN=25/4,故答案为 25/4.
关键点拨
根据折叠的性质、平行线的判定和性质求出 ∠CEN = ∠A = 90°是解题的关键.
