1[2024江苏南通中考]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$.若小正方形面积为5，$(m+n)^2=21$，则大正方形面积为（）

A.12
B.13
C.14
D.15

1. B 【解析】由题意可知,中间小正方形的边长为 m-n,
∴ (m-n)²=5,即 m²+n²-2mn=5. ①
∵ (m+n)²=21,
∴ m²+n²+2mn=21. ② ①+②,得 2(m²+n²)=26,
∴ m²+n²=13,
∴ 大正方形的面积为 13,故选 B.

2[2025安徽中考]如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=√3,则AC的长是 ()

A.$4\sqrt{3}$
B.$6$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3$

(第2题图)
(第3题图)

2. B 【解析】
∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠A = 120°,
∴ ∠C=(180°−120°)/2=30°.
∵ D 是 AC 中点,
∴ 设 CD = x,则 AC = 2x.
∵ ED ⊥ AC,
∴ △EDC 是直角三角形,
∴ EC = 2DE.
∵ DE =√3,
∴ EC = 2√3. 在 Rt△EDC 中,根据勾股定理得 EC²=DE²+CD²,
∴ (2√3)²=(√3)²+x²,解得 x=3(负值已舍去).
∵ AC=2x,
∴ AC=6. 故选 B.

3[2025广西中考]如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=$\sqrt{2}$,则AD=.

3. √3−1 【解析】
∵ AB = BC = CA = 2,
∴ △ABC 是等边三角形,点 A 在 BC 的垂直平分线上.
∵ BD = CD,
∴ 点 D 在 BC 的垂直平分线上. 如图,取 BC 的中点 E,连接 DE,则 A,D,E 三点共线,且 AE 垂直平分 BC,
∴ BE=1/2 BC=1,∠AEB=90°. 在 Rt△ABE 中,AB=2,BE=1,根据勾股定理得 AE=√(AB²−BE²)=√(4−1)=√3,在 Rt△DBE 中,BD=√2,BE=1,由勾股定理得 DE=√(BD²−BE²)=√(2−1)=1,
∴ AD=AE−DE=√3−1.

4[2025江苏连云港中考]如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为 m.

(第4题图) (第5题图)

4. 2.4 【解析】
∵ 长为 3 m 的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为 1.8 m,
∴ h =√(3²−1.8²)=2.4(m),故答案为 2.4.

5[2024江苏常州中考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE=.

5. 3/2 【解析】
∵ ∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边 AC 的中点,
∴ CD=1/2 AC=3,
∴ BD=√(BC²+CD²)=5.
∵ 将△CDE 沿 DE 翻折,点 C 落在 BD 上的点 F 处,
∴ CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=90°,
∴ BF=BD−DF=2,∠BFE=90°. 设 CE = x,则 EF = x,BE = BC−CE = 4−x. 在 Rt△BFE 中,由勾股定理,得 (4−x)² = x²+2²,解得 x=3/2,
∴ CE=3/2. 故答案为 3/2.

6[2025广东中考]《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数,则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.

(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?

6.【解】(1)令所求的数为 b,则 b²=26²−10²=(26+10)(26−10)=36×16,解得 b=24 或 b=−24(舍去),故答案为 24.
(2)①根据题表中数据(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29) 的规律能用含字母 n,m(m＞n,且 n,m 均为正整数)的代数式表示三角形的三边长,设 a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n².
证明:
∵ a²=(m²−n²)²=m⁴−2m²n²+n⁴,
b²=(2mn)²=4m²n²,
∴ a²+b²=m⁴+2m²n²+n⁴.
∵ c²=(m²+n²)²=m⁴+2m²n²+n⁴,
∴ a²+b²=c². 根据勾股定理的逆定理,得 a = m²−n²,b=2mn,c=m²+n² 能够成为直角三角形的三边长.
②根据题表中数据可知(6,8,10),(9,12,15),(21,28,35) 分别是 (3,4,5) 的 2 倍,3 倍,7 倍;(10,24,26),(14,48,50),(18,80,82),(22,120,122) 分别是 (5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61) 的 2 倍,经验算(9,40,41)满足 m²−n²,2mn,m²+n².
因此,题表中数据能用含字母 n,m,k(m＞n,且 n,m,k 均为正整数)的代数式表示三角形的三边长,设 a=k(m²−n²),b=2mnk,c=k(m²+n²).
证明:
∵ a²=[k(m²−n²)]²=m⁴k²−2m²n²k²+n⁴k²,
b²=(2mnk)²=4m²n²k²,
∴ a²+b²=m⁴k²+2m²n²k²+n⁴k².
∵ c²=[k(m²+n²)]²=m⁴k²+2m²n²k²+n⁴k²,
∴ a²+b²=c².
根据勾股定理的逆定理,得 k(m²−n²),2mnk,k(m²+n²) 能够成为直角三角形的三边长,所以利用 a=k(m²−n²),b=2mnk,c=k(m²+n²) 能够表示出题表中所有勾股数组.
(3)依题意设 a=20,且直角三角形三边长均为正整数. 由勾股定理可得 a²+b²=c²,则有 c²−b²=20²,即(c+b)(c−b)=400. 下面分 4 种情况讨论.
①$\begin{cases} c+b=40, \\ c-b=10, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} c=25, \\ b=15. \end{cases}$
∵ a＞b,
∴ 此种情况舍去.
②$\begin{cases} c+b=100, \\ c-b=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=52, \\ b=48. \end{cases}$
所需花为 4×120=480(株).
③$\begin{cases} c+b=200, \\ c-b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=101, \\ b=99. \end{cases}$
所需花为 4×220=880(株).
④$\begin{cases} c+b=50, \\ c-b=8, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=29, \\ b=21. \end{cases}$
所需花为 4×70=280(株).
答:这块绿地最少需要种植 280 株花.
思路分析
(1)根据勾股定理列式计算即可得到答案;
(2)根据表中数据得到的规律,分别用代数式表示出 a,b,c,求出 a²,b²,c² 的值,根据勾股定理的逆定理即可证明;
(3)由于该图案是由四个全等的直角三角形组成,所以只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可,根据题意设 a=20,则根据勾股定理可得 c²−b²=20²,即(c+b)(c−b)=400,再根据实际情况分类讨论即可得到答案.