1[2026浙江温州调研,中]如图(1),平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b交y轴于点A(0,3),交x轴于点B(6,0),直线x=2交AB于点D.
(1)求直线AB的表达式和D点坐标;
(2)如图(2),点P坐标为(2,-4),求△ABP的面积;
(3)以AB为腰在第一象限作等腰Rt△ABC,写出点C的坐标.

(1)把A(0,3),B(6,0)代入y=kx+b得
$\begin{cases}b=3,\\6k+b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
∵点D在直线AB上,横坐标为2,把x=2代入$y=-\dfrac{1}{2}x+3$可得y=2,
∴点D的坐标为(2,2).
(2)
∵点P坐标为(2,-4),D(2,2),
∴PD=2-(-4)=6.
∵$S_{△ PAB}=S_{△ PDA}+S_{△ PDB}$,
∴$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}PD(x_D-x_A)+\dfrac{1}{2}PD(x_B-x_D)=\dfrac{1}{2}PD(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×6×6=18$.
(3)
①当△ABC₁是等腰直角三角形时,∠ABC₁=90°,AB=BC₁,作C₁M⊥x轴于M.
∵∠ABO+∠C₁BM=90°,∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠C₁BM=∠OAB.
∵AB=BC₁,∠AOB=∠BMC₁=90°,
∴△ABO≌△BC₁M(AAS),
∴BM=OA=3,C₁M=OB=6,
∴OM=9,
∴C₁(9,6).
②当△BAC₂是等腰直角三角形时,∠BAC₂=90°,AB=AC₂,同理可得C₂(3,9).
综上所述,满足条件的点C的坐标为(9,6)或(3,9).

2[2025江苏南京质检,中]已知关于x的一次函数$y=mx+2$的图象经过点$(-2,6)$。
(1)求$m$的值。
(2)画出此函数的图象;观察图象,当$x≤2$时,$y$的取值范围是。
(3)平移此函数的图象,使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4,求平移后的图象所对应的函数表达式。

(1)将(-2,6)代入y=mx+2,得6=-2m+2,解得m=-2.
(2)由(1)知,该函数是一次函数y=-2x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=1,
∴该函数的图象经过点(0,2),(1,0).其图象如图所示.
当x=2时,y=-4+2=-2.
∵y随x的增大而减小,
∴当x≤2时,y的取值范围是y≥-2.
(3)设平移后的图象所对应的函数表达式为y=-2x+b.当x=0时,y=b;当y=0时,$x=\dfrac{b}{2}$.
∵平移此函数的图象,使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4,
∴$\dfrac{1}{2}×|b|×\left|\dfrac{b}{2}\right|=4$,解得b=±4,
∴平移后的图象所对应的函数表达式是y=-2x+4或y=-2x-4.

3[2025广东广州质检,中]如图,直线$y=x+3$与两坐标轴分别交于点A,C,直线BC与直线AC关于y轴对称(直线BC与x轴交于点B).
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)若过点O的直线l将$△ ABC$分成面积之比为1:2的两部分,求该直线的表达式.

(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=-3,所以A(-3,0),C(0,3).因为直线BC与直线AC关于y轴对称(直线BC与x轴交于点B),所以点B与点A关于y轴对称,所以点B坐标为(3,0).
(2)由(1)得A(-3,0),C(0,3),B(3,0),所以OA=OB=OC=3,AB=6,所以$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×6×3=9$.
①设直线l交AC于K,当$S_{△ AOK}:S_{四边形KOBC}=1:2$时,过K作KH⊥AB于H,,所以$S_{△ AOK}=\dfrac{1}{3}S_{△ ABC}=3$,所以$\dfrac{1}{2}OA·HK=3$,所以KH=2.对于y=x+3,令y=2,得x=-1,所以K(-1,2).设直线l的表达式为y=px(p≠0),将K(-1,2)代入,得2=-p,解得p=-2,所以直线l的表达式为y=-2x.
②设直线l交BC于T,当$S_{△ BOT}:S_{四边形AOTC}=1:2$时,过T作TH'⊥AB于H',,同理可得TH'=2.易得直线BC的表达式为y=-x+3.对于y=-x+3,令y=2,得x=1,所以T(1,2),易得直线l的表达式为y=2x.
综上所述,直线l的表达式为y=-2x或y=2x.