1[2026河北衡水质检,中]如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数$y_1=k_1x+b_1$与$y_2=k_2x+b_2$($k_1k_2≠0$)的图象分别为直线$l_1,l_2$,下列结论正确的有 ()
①$b_2 - b_1 ＞ 0$;②$k_1k_2 ＞ 0$;③关于$x,y$的方程组$\begin{cases}k_1x + b_1 = y_1, \\k_2x + b_2 = y_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1, \\y=3.\end{cases}$


A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

1. C 【解析】由题图可知,直线 l₁ 经过第一、二、三象限,则 k₁＞0,b₁＞0;直线 l₂ 经过第一、二、四象限,则 k₂＜0,b₂＞0,
∴ k₁k₂＜0,故②不正确. 结合图象可得,b₂＞b₁,
∴ b₂−b₁＞0,故①正确.
∵ 一次函数 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂(k₁k₂≠0)的图象的交点为(1,3),
∴ 关于 x,y的方程组$\begin{cases}k_1x+b_1=y_1, \\ k_2x+b_2=y_2\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3, \end{cases}$故③正确. 故选 C.

2[2025 江苏连云港质检, 较难]已知函数 $y=\begin{cases}x+1(x≥0), \\ -x-1(x＜0),\end{cases}$ 且关于 $x,y$ 的二元一次方程 $ax-2a-y=0$ 有两组解, 则 $a$ 的取值范围是 ______ .

2.$-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$ 【解析】
∵ ax−2a−y=0 可化为y=a(x−2),
∴ 无论 a 取何值,直线 y=a(x−2)恒过点(2,0),
∴ 该直线随 a 值不同绕点(2,0)旋转. 作出函数$y=\begin{cases}x+1(x≥0), \\ -x-1(x＜0)\end{cases}$的图象如图.当直线 y=a(x−2) 与直线 y=−x−1 平行时,a=−1,此时 y=−(x−2);当直线 y=a(x−2)过点(0,1)时,1=a(0−2),解得$a=-\dfrac{1}{2}$,此时$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)$. 作出两直线如图所示,则可得当$-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$时,y=a(x−2)的图象与函数$y=\begin{cases}x+1(x≥0), \\ -x-1(x＜0)\end{cases}$的图象有两个交点,即关于 x,y 的二元一次方程 ax−2a−y=0 有两组解. 故答案为$-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$.

3[2025安徽六安期中,中]【问题背景】
某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分,考试项目增加5项,其中技能类考试项目增加了排球垫球.某校为更好地开展排球课程,计划购买一批排球,该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案:
甲商店:若购买超过20个,超过部分每个排球按标价的八折出售.
乙商店:若购买超过15个,超过部分每个排球按标价的九五折再优惠10元出售.
【问题研究】
若学校购买排球的数量为x个,购买排球的总费用为y元,其函数图象如图所示.
【问题解决】
(1)甲、乙两家商店每个排球的标价各是多少元?
(2)当x＞20时,在甲商店购买排球的总费用y甲与购买排球的数量x之间的函数关系式为.
当x＞15时,在乙商店购买排球的总费用y乙与购买排球的数量x之间的函数关系式为.
(3)求点C的坐标,并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算.

3.【解】(1)根据题图可知,甲、乙两家商店每个排球的标价相同. 因为在甲商店购买 20 个排球的总费用为 2 000 元,
∴ 每个排球的标价为2 000÷20 = 100(元/个),
∴ 甲、乙两家商店每个排球的标价均是 100 元/个.
(2)当 x＞20 时,y甲=100×20+100×0.8(x−20)=80x+400,
∴ y甲=80x+400.
当 x＞15 时,y乙=100×15+(100×0.95−10)(x−15)=85x+225,
∴ y乙=85x+225.
故答案为 y甲=80x+400,y乙=85x+225.
(3)联立$\begin{cases} y=80x+400, \\ y=85x+225, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=35, \\ y=3\ 200, \end{cases}$
∴ C 点坐标为(35,3 200). 观察图象可知,当 0≤x≤15 或 x=35 时,在甲、乙两家商店购买排球的总费用相同;当 15＜x＜35 时,选择乙商店购买排球更合算;当 x＞35 时,选择甲商店购买排球更合算.

4 思想方法 数形结合 [2025江苏常州期中,较难]请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数$y=|x|+1$的图象和性质,并解决问题.
(1)①当$x=0$时,$y=|x|+1=1$;
②当$x＞0$时,$y=|x|+1=$;
③当$x＜0$时,$y=|x|+1=$.
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)在如图的平面直角坐标系中,作出函数$y=|x|+1$的图象.
(3)一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象过点(1, -3),若$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=|x|+1 \end{cases}$无解,结合函数的图象,直接写出$k$的取值范围.

4.【解】(1)①当 x=0 时,y=|x|+1=1;②当 x＞0时,y=|x|+1=x+1;③当 x＜0 时,y=|x|+1=−x+1. 故答案为 x+1,−x+1.
(2)当 x=−2 时,y=3;当 x=−1 时,y=2;当 x=0 时,y=1;当 x=1 时,y=2;当 x=2 时,y=3,描点,连线,如图(1)所示.
(3)−1≤k≤1 且 k≠0. 如图(2),根据题意可知,直线 y=kx+b(k≠0)绕定点(1,−3)旋转.若$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=|x|+1 \end{cases}$无解,说明 y=kx+b(k≠0)与 y=|x|+1 的图象没有交点. 若 k＞0,当直线 y=kx+b(k≠0)与直线 y=x+1 平行时,方程组无解,此时 k=1,
∴ 当 0＜k≤1 时,满足题意. 若 k＜0,当直线 y=kx+b(k≠0)与直线 y=−x+1平行时,方程组无解,此时 k=−1,
∴ 当 −1≤k＜0 时,满足题意. 综上,k 的取值范围是 −1≤k≤1 且 k≠0.